Como Calcular a Massa de uma Esfera

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Neste Artigo:

Determinando o volume de uma esfera

Calculando a massa a partir do volume

Resolvendo um problema-exemplo

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Referências

Em poucas palavras, a esfera é uma bola sólida e perfeitamente redonda. Para calcular sua massa, é necessário conhecer seu tamanho (volume) e sua densidade. Você pode calcular o volume usando o raio, a circunferência ou o diâmetro. Também é possível imergi-la em água para observar o quanto ela se desloca. Ao saber o valor do volume, você pode multiplicá-lo pela densidade para encontrar a amassa.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Determinando o volume de uma esfera

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   Lembre-se da fórmula usada para calcular o volume de uma esfera. Esse é um sólido circular de três dimensões. A fórmula primária para se determinar o volume de uma esfera é:

   • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
     • $\pi =3,14$
     • $r={\text{raio}}$
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   Determine o volume de uma esfera com raio conhecido. O raio representa a medida que vai do centro da esfera até sua borda externa. Se você tem um problema que pede o cálculo do volume, é provável que o raio tenha sido dado. De outro modo, será difícil medi-lo, pois não se pode alcançar o centro de um objeto sólido de forma precisa.

   • Suponha que a esfera exista dentro de um raio de 10 cm. Determine o volume da seguinte maneira:
     • ${\begin{aligned}{\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}&={\frac {4}{3}}\times (3,14)\times 10^{3}\\&=4,18667\times 1000\\&=4.186,67\ {\text{cm}}^{3}\end{aligned}}$
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   Determine o volume se o diâmetro for conhecido. Alternativamente, uma certa situação pode revelar o diâmetro de uma esfera. Esse valor corresponde ao dobro do raio. Em termos mais concretos, o diâmetro representa a distancia que vai de uma borda da esfera à outra, passando pelo centro. Para calcular o volume começando com o diâmetro $d$, revise a fórmula como se segue:

   • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
   • Como exemplo para esse cálculo, determine o volume de uma esfera cujo diâmetro é igual a 10 cm:
     • ${\begin{aligned}{\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}&={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {10}{2}})^{3}\\&={\frac {4}{3}}\times (3,14)\times (5^{3})\\&=4,18667\times 125\\&=523,3\ {\text{cm}}^{3}\end{aligned}}$
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   Caso conheça o valor da circunferência, adapte a fórmula. A circunferência de uma esfera é provavelmente a mais fácil de se mensurar diretamente. Você pode usar uma fita métrica para envolver o perímetro mais amplo da esfera e simplesmente tirar a medida. De outro modo, a circunferência pode ter sido dada no problema. Para determinar o volume partindo do valor da circunferência ($C$), adapte a fórmula da seguinte maneira:

   • ${\begin{aligned}{\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}&={\frac {4}{3}}\pi \times ({\frac {C}{2\pi }})^{3}\\&={\frac {4}{3}}\pi \times ({\frac {C^{3}}{8\pi ^{3}}})\\&={\frac {C^{3}}{6\pi ^{2}}}\end{aligned}}$
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   Calcule o volume se a circunferência for conhecida. Imagine ter uma esfera com circunferência de 32 cm. Para descobrir seu volume:

   • ${\begin{aligned}{\text{Volume}}={\frac {C^{3}}{6\pi ^{2}}}&={\frac {32^{3}}{6\times 3,14^{2}}}\\&={\frac {32.768}{59,158}}\\&=553,9\ {\text{cm}}^{3}\end{aligned}}$
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   Meça o volume observando o deslocamento. Um método final e prático para se medir o volume é submergir a esfera em água. Você precisa de um béquer grande o suficiente para recebê-la, com marcações volumétricas precisas.

   • Coloque água suficiente no béquer para cobrir a esfera. Tome nota da medida.
   • Coloque a esfera na água e observe que o nível dela sobe. Anote também a nova medida.
   • Subtraia a primeira medida da segunda. O resultado equivale ao volume da esfera.
     • Por exemplo, suponha que o nível de água se eleve de 100 mℓ para 625 mℓ com a submersão da esfera. O volume, por sua vez, será igual a 525 mℓ. Observe que 1 mℓ = 1 cm³.
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Método 2

Método 2 de 3:

Calculando a massa a partir do volume

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   Encontre a densidade. Para calcular a massa a partir do volume, você deve conhecer a densidade do objeto. Diferentes materiais apresentam densidades distintas. Considere uma esfera feita de isopor, por exemplo, e compare seu peso com uma esfera de mesmo tamanho, mas feita de ferro. O ferro possui densidade muito mais elevada e, por isso, essa esfera apresentará uma maior massa.

   • Você pode encontrar as densidades de vários materiais sólidos pesquisando por tabelas online, em livros didáticos ou em outros catálogos da indústria.
   • Por exemplo, aqui estão as densidades registradas de alguns materiais sólidos:
     • Alumínio = 2.700 kg/m³;
     • Manteiga = 870 kg/m³;
     • Chumbo = 11.350 kg/m³;
     • Madeira prensada = 190 kg/m³.
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   Converta as unidades conforme necessário. As unidades usadas no cálculo do volume devem se combinar com as unidades de volume presentes na medida da densidade. Se isso não ocorrer, é preciso convertê-las.

   • Todos os exemplos na seção anterior resultaram em volumes medidos em centímetros cúbicos. No entanto, a tabela de densidade citada traz valores baseados em metros cúbicos. Como há 100 centímetros em um metro, há 10⁶ centímetros cúbicos em um metro cúbico. Divida as densidades dadas por 10⁶ para representá-las em termos de kg/cm³ (você pode fazê-lo facilmente movendo os pontos decimais seis espaços para a esquerda).
   • Para os quatro materiais da amostra, as densidades convertidas ficam da seguinte maneira:
     • Alumínio = 2.700 kg/m³ = 0,0027 kg/cm³;
     • Manteiga = 870 kg/m³ = 0,00087 kg/cm³;
     • Chumbo = 11.350 kg/m³ = 0,01135 kg/cm³;
     • Madeira prensada = 190 kg/m³ = 0,00019 kg/cm³.
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   Multiplique o volume pela densidade para encontrar o valor da massa. Lembre-se de que a fórmula para a densidade é ${\text{Densidade}}={\frac {\text{Massa}}{\text{Volume}}}$. Rearranjando-se as variáveis para se encontrar a massa, a equação fica expressa como ${\text{Densidade}}\times {\text{Volume}}={\text{Massa}}$.

   • Usando os quatro materiais da amostra, alumínio, manteiga, chumbo e madeira prensada, calcule a massa de uma esfera com volume de 500 cm³.
     • Alumínio: $500\ {\text{cm}}^{3}\times 0,0027{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=1,35\ {\text{kg}}$;
     • Manteiga: $500\ {\text{cm}}^{3}\times 0,00087{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,435\ {\text{kg}}$;
     • Chumbo: $500\ {\text{cm}}^{3}\times 0,01135{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=5,675\ {\text{kg}}$;
     • Madeira prensada: $500\ {\text{cm}}^{3}\times 0,00019{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,095\ {\text{kg}}$.
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolvendo um problema-exemplo

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   Leia o problema com cuidado. Ao resolver questões sobre cálculos de massa, você precisa ler o enunciado de forma cuidadosa. À medida em que a leitura avança, pode ser útil destacar os dados relevantes. Leia-o sempre por completo para saber o que foi pedido. Por exemplo, considere a seguinte questão:

   • Uma grande esfera feita em bronze sólido possui diâmetro de 1,2 m. Calcule a massa da esfera.
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   Identifique os dados conhecidos ou desconhecidos. Através da leitura cuidadosa do problema, você deve conseguir identificar que o diâmetro foi dado e, por isso, é possível usar a fórmula adaptada:

   • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
   • Vale também notar que a esfera é feita de bronze. Você deve pesquisar pela densidade desse material em uma tabela online.
     • A partir da página EngineeringToolbox.com, é possível determinar que a densidade do bronze é igual a 8.480 kg/m³. Como o diâmetro da esfera foi dado em metros, seu volume pode ser calculado em metros cúbicos, não sendo necessário converter a necessidade.
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   Calcule o volume. Para calcular o volume, use a fórmula correta, preencha-a com os dados apropriados e faça os cálculos como se segue:

   • ${\begin{aligned}{\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}&={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {1,2}{2}})^{3}\\&=4,18667\times 0,6^{3}\\&=4,18667\times 0,216\\&=0,90432\ {\text{m}}^{3}\end{aligned}}$
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   Use a densidade para calcular a massa. Lembre-se que ${\text{Massa}}={\text{Densidade}}\times {\text{Volume}}$. Insira os valores conhecidos para encontrar a massa:

   • ${\begin{aligned}{\text{Massa}}={\text{Densidade}}\times {\text{Volume}}&=8.480\ {\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}\times 0,90432\ {\text{m}}^{3}\\&=7.668,60\ {\text{kg}}\end{aligned}}$
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Dicas

• Assume-se, nesses casos, que a densidade da esfera deve ser uniforme em toda sua extensão. Na maioria dos problemas de física e matemática, trata-se de algo esperado. No entanto, é possível que uma esfera tenha o núcleo feito à base de um material e a superfície feita à base de outro.

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