كيفية حساب السرعة المتجهة المتوسطة

تنزيل المقال

تنزيل المقال

لحساب السرعة المتوسطة لجسم ما، تحتاج لإزاحة الجسم الكلية أو التغيّر في موقعه، مع الزمن الكلي لهذه الإزاحة. تذكّر دائمَا أن السرعة كمية متجهة، أي أنها تقيس الاتجاه بجانب سرعة تحرك الجسم. لذا يجب أن تشتمل إجابتك على اتجاه السرعة أيضًا، مثل: "شمالًا" أو "إلى الأمام" أو "يسارًا"، وليس قيمتها فقط. لو احتوت المسألة على قيمة التسارع أو العجلة، فسنتعلم معًا طريقة مختصرة تجعل إيجاد الحل حينئذ أسهل.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 2:

حساب السرعة المتوسطة بمعرفة الإزاحة والزمن

تنزيل المقال

1. 
   1
   تذكّر أن السرعة كمية متجهة تضم اتجاه تحرك الجسم بجانب قيمة السرعة. تصف السرعة معدل التغير في موقع جسم ما. يتم ذلك بتحديد سرعة تحرك الجسم ولكن من المهم أيضَا تحديد اتجاه حركة هذا الجسم. يظهر بالتالي أنّ "100 متر بالثانية شمالَا" هي قيمة سرعة تختلف عن "100 متر بالثانية شرقَا".

   • تُسمى الكميات الفيزيائية التي تشمل اتجاه بـ "كميات متجهة". يمكن تمييز تلك الكميات المتجهة عن الكميات غير المتجهة أو "الكميات العددية" بكتابة سهم فوق رمز هذه الكمية المتغيرة. على سبيل المثال، "v" تمثل السرعة ككمية عددية وتسمى أيضًا السرعة القياسية أمّا v^→ فتمثّل السرعة المتجهة (أو قيمة سرعة الجسم + اتجاه هذه السرعة). لاحظ أن كل مرات استخدام الرمز "v" في هذه المقالة سوف يُشير للسرعة المتجهة.
   • يجب استخدام وحدة المتر أو وحدة مترية أخرى للمسافة عند حل المسائل العلمية، ولكن في إطار الحياة اليومية يمكنك استخدام أي وحدة تناسبك.
2. 
   2
   احسب الإزاحة الكلية. تعرف الإزاحة أنها تغير موقع الجسم، أو المسافة بين نقطة بداية الجسم ونقطة النهاية. لا يهم أين تحرّك الجسم أو الطريق الذي اتخذه ليصل موقعه النهائي، ما يهم فقط هي المسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية. سنستخدم في مثالنا الأول جسمَا يتحرك بسرعة ثابتة.

   • لنفترض أن صاروخًا انطلق شمالًا لمدة 5 دقائق بسرعة ثابتة 120 مترًا بالدقيقة. لتحسب موقعه النهائي، استخدم قانون المسافة التالي "المسافة =السرعة x الزمن" وصيغته s = vt أو استخدم المنطق لإدراك أن الصاروخ الذي بدأ التحرك بسرعة 120 مترًا بالدقيقة واستمر في الحركة لمدة 5 دقائق، قد قطع مسافة = "600 مترًا شمالًا"؛ أي أنه على بُعد 600 مترًا شمالًا من نقطة انطلاقه، بعد انقضاء تلك المدة المحددة وحركته بالسرعة الثابتة المذكورة.
   • في حالة المسائل التي تشمل تسارعًا ثابتًا للجسم، يمكنك حلها بالقانون s = vt + ½at² أو اطلع على بقية خطوات المقال لإيجاد الحل بطريقة أقصر وأسهل.
3. 
   3
   احسب إجمالي الزمن المستغرق. إذا نظرنا إلى مثالنا، فإن الصاروخ قد تحرّك لمدة 5 دقائق. يمكنك التعبير عن السرعة بأي وحدة زمنية، لكن تستخدم الثانية عادةً كوحدة قياس دولية للزمن. سنقوم بالتعبير عن الزمن بوحدة الثانية في هذا المثال: (5 دقائق) x (60 ثانية/الدقيقة الواحدة) = ""300 ثانية"".

   • حتى في المسائل العلمية، لو كانت المسألة تستخدم وحدات كبيرة من الوقت، مثل الساعات، فقد يكون من الأسهل حساب السرعة أولًا ثمّ تحويل الناتج النهائي اوحدة متر / ثانية.
4. 
   4
   احسب السرعة المتوسطة عن طريق قسمة الإزاحة على الزمن. إذا كنت تعرف لأي مدى قد تحرّك الجسم والمدة التي استغرقها ليصل لتلك النقطة، بالتالي فأنت تعرف السرعة التي تحرك بها هذا الجسم. في المثال السابق كانت السرعة المتوسطة للصاروخ (600 متر شمالَا) / (300 ثانية) = "2 مترًا/ثانية شمالًا"

   • تذكّر دائمًا أن تكتب الاتجاه بعد قيمة السرعة (مثل "للأمام" أو "شمالًا")
   • في صيغة القانون v_av = Δs/Δt يعني الرمز دلتا Δ "التغير في" أي أنّ Δs/Δt تعني التغيّر في الموقع (أو الإزاحة) على التغير في الزمن.
   • يكتب رمز السرعة المتوسطة v_av أو على شكل حرف v مع خط أفقي فوقه.
5. 
   5
   ابدأ في حل مسائل أكثر تعقيدًا. إذا قام الجسم بتغيير اتجاهه أو تغيير سرعته، فلا داعي للحيرة، إذ نحسب السرعة المتوسطة "فقط" من الإزاحة الكلية والزمن الكلي. لا يهم ما يحدث بين نقطة البداية والنهاية. فيما يلي بعض الأمثلة على حالات حركة/ إزاحة تحتوي على نفس الإزاحة والوقت بالضبط، وبالتالي نفس السرعة المتوسطة.

   • تمشي آية في اتجاه الغرب بسرعة 1 متر/ثانية لمدة ثانيتين، ثم تزداد سرعتها بشكل لحظي لتصبح 3 متر/ثانية وتستمر في المشي غربًا لثانيتين. لنحسب إجمالي المسافة (الإزاحة) التي قطعتها = (1 متر/ثانية غربًا) (2 ثانية) + (3 متر/ثانية غربًا) (2 ثانية) = 8 متر غربًا. الزمن الكلي = 2 ثانية + 2 ثانية = 4 ثوانٍ. سرعتها المتوسطة تساوي 8 متر غربًا / 4 توانٍ = 2 متر/ثانية غربًا.
   • يمشي محمد في اتجاه الغرب بسرعة 5 متر/ثانية لمدة 3 ثوانٍ، ثم يغير اتجاهه نحو الشرق وينطلق بسرعة 7 متر/ثانية لمدة ثانية واحدة. يمكننا معاملة الحركة باتجاه الشرق "كحركة سلبية غربًا"، لذا ستصبح الإزاحة الكلية = (5 متر/ثانية غربًا) (3 ثوانٍ) + (-7 متر/ثانية غربًا) (1 ثانية) = 8 متر. الزمن الكلي = 4 ثوانٍ. السرعة المتوسطة = 8 متر غربًا / 4 ثانية = "2 متر/ثانية غربًا".
   • تمشي ساندرا في اتجاه الشمال مترًا واحدًا، ثم تمشي غربًا 8 أمتار، ثم تمشي جنوبًا لمسافة 1 متر. يستغرقها من الوقت 4 ثوانٍ لتمشي هذه المسافة. ارسم رسمًا بيانيا على ورقة، وسيظهر لك أنها قد قطعت 8 أمتار في اتجاه الغرب من نقطة البداية، وتلك قيمة الإزاحة المقطوعة. يبلغ الزمن الإجمالي 4 ثوانٍ مرة أخرى، لذا مازالت قيمة السرعة المتوسطة 8 متر غربًا / 4 ثوانٍ = 2" متر/ثانية غربًا".

جزء 2

جزء 2 من 2:

حساب السرعة المتوسطة من العجلة المنتظمة

تنزيل المقال

1. 
   1
   لاحظ السرعة الابتدائية والعجلة المنتظمة. لنقل أنّ مسألتك كالتالي "تبدأ دراجة في التحرك يمينًا بسرعة 5 متر/ثانية، ثم بشكل مستمر تتسارع بمقدار 2 m/s². لو تحركت لمدة 5 ثوانٍ، فما قيمة سرعتها المنتظمة؟"

   • لو كنت لا تفهم معنى الوحدة "m/s²" بهذه الصيغة، اكتبها إذَا بشكل "م/ث / ث" أو "متر لكل ثانية لكل ثانية". تعني عجلة مقدارها 2 متر/ثانية/ثانية (2 m/s/s) أنّ السرعة تزداد بمقدار 2 متر/ثانية، كل ثانية.
2. 
   2
   استخدم العجلة لحساب السرعة النهائية. تكتب العجلة "a" وتعبر عن معدل التغير في السرعة. تزداد السرعة بمعدل ثابت من الزيادة. يمكنك أن ترسم جدولًا باستخدام قيم العجلة أو التسارع لتوجد قيمة السرعة في أوقات مختلفة أثناء هذه الرحلة. لنحسب السرعة النهائية، فعلينا القيام بذلك في اللحظة الأخيرة من المسألة (أي في زمن t = 5s)، ولكن سنكتب الآن جدولًا أطول لمساعدتك على فهم هذه الفكرة:

   • في البداية (الزمن "t" = صفر ثانية)، تتحرك الدراجة يمينًا بسرعة 5 m/s .
   • بعد 1 ثانية ("t" تساوي 1)، تتحرك الدراجة بسرعة 5 m/s + (2 m/s²)(1 s) = 7 m/s
   • عند زمن "t" تساوي 2، تتحرك الدراجة يمينًا بسرعة 5+(2)(2) = 9 m/s.
   • عند زمن "t" تساوي 3، تتحرك الدراجة يمينًا بسرعة .5+(2)(3) = 11 m/s
   • عند زمن "t" تساوي 4، تتحرك الدراجة يمينًا بسرعة 5+(2)(4) = 13 m/s.
   • عند زمن "t" تساوي 5، تتحرك الدراجة يمينًا بسرعة 5+(2)(5) = 15 m/s.
3. 
   3
   استخدم هذا القانون لإيجاد السرعة المتوسطة. لو كانت العجلة منتظمة؛ أي أن معدل التسارع ثابت، فستصبح السرعة المتوسطة "فقط" في هذه الحالة تساوي متوسط السرعة الإبتدائية والسرعة النهائية: (v_f + v_i)/2 . بالعودة إلى مثالنا، تبلغ السرعة الابتدائية للدراجة v_i نحو 5 m/s. كما ذكرنا بالأعلى، تزداد سرعة الدراجة لتصل السرعة النهائية نحو v_f نحو 15 m/s. بالتعويض بهذه القيم، فسنجد (15 m/s + 5 m/s) / 2 = (20 m/s) / 2 = 10 m/s يمينًا.

   • تذكّر أن تضيف اتجاه الحركة، في هذه الحالة "يمينًا"
   • يمكن كتابة هذه المفاهيم بالرموز التالية v₀، ما يُعبر عن السرعة v عند الزمن صفر، وببساطة v (تعبر عن السرعة النهائية)
4. 
   4
   افهم قانون السرعة المتوسطة بشكل بديهي. يمكننا أن نحسب السرعة المتوسطة عبر حساب قيمة السرعة في كل لحظة ممكنة ثم نحسب متوسط القائمة بالكامل. (يعد هذا هو تعريف المتوسط أصلًا)، لكن سيحتاج ذلك لحسابات تفاضل وتكامل أواستخدام زمن لا نهائي، سنستفيد ممّا سبق لنصل لتفسير أكثر بديهية بدلًا من حساب المتوسط لكل قيم السرعة في كل الأوقات. لنأخذ متوسط السرعة في نقطتين فقط من الوقت ونرى ما قد نحصل عليه. ستكون احدى النقطتين قرب بداية الرحلة عندما تنطلق الدراجة ببطء، والنقطة الأخرى ستكون قريبة من نهاية الرحلة/ الحركة عندما تصبح الدراجة تتحرك بسرعة أكبر.
5. 
   5
   اختبر نظرية البديهية. استخدم الجدول بالأعلى الذي يوضح السرعات في نقاط زمنية مختلفة. بعض القيم التي تلائم المعايير هي (t=0 ، t=5) أو (t=1 ، t=4) أو (t=2، t=3). يمكنك اختبار ذلك باستخدام قيم غير صحيحة لـ t أيضًا إذا رغبت بذلك.

   • سيكون متوسط السرعات في تلك الأوقات هو نفسه دائمًا بغض النظر عن زوج النقاط الذي ستختاره. على سبيل المثال، ((5+15)/2) أو ((7+13)/2) أو ((9+11)/2) جميعها تساوي 10 m/s يمينًا.
6. 
   6
   أنهِ التفسير البديهي. لو استخدمنا هذه الطريقة وطبقناها على قائمة لكل لحظة من الوقت خلال الرحلة، سنستمر بحساب متوسط السرعة بين نقطة زمنية من النصف الأول مع نقطة أخرى من النصف الثاني من الرحلة. يتساوى الوقت بين نصفي الرحلة، ولذلك لن تكون هناك سرعات غير معلومة بعد أن ننتهي.

   • نظرًا لأنه إذا أخذنا المتوسط لأي زوج من هذه القيم، فذلك يعطينا نفس العدد، وبالتالي فالمتوسط لكل هذه السرعات سيكون مساوٍ لهذا العدد. نرى في مثالنا أن متوسط كل السرعات يساوي "10 m/s" وسيظل 10 m/s يمينًا.
   • يمكننا حساب السرعة المتوسطة تلك بأخذ متوسط أي سرعتين في نقطتين زمنيتين مختلفتين؛ على سبيل المثال، السرعة النهائية والسرعة الابتدائية. إذا نظرنا إلى مثالنا عند الزمن t=0 و t=5، فيمكن حساب السرعة المتوسطة باستخدام القانون بالأعلى كالتالي: (5+15)/2 = 10 m/s يمينًا.
7. 
   7
   افهم الصيغة رياضيًّا. إذا كنت تشعر براحة أكبر عند قراءة الإثبات على هيئة معادلات مكتوبة، يمكنك البدء بصيغة المسافة المقطوعة مع افتراض ثبات العجلة، واستخلص القانون من هناك كالتالي:

   • s = v_it + ½at²، حيث تشير s للمسافة المقطوعة. (من الأصح استخدام Δs و Δt أو التغير في الموقع والتغير في الزمن، لكن ستفهم إذا استخدمت s و t فقط).
   • تعرف السرعة المتوسطة v_av بأنها تساوي s/t، لذا يمكننا التعويض عنها في القانون ووضع s/t.
   • v_av = s/t = v_i + ½at
   • العجلة x الزمن = التغير الكلي في السرعة أو v_f - v_i. لذلك يمكن أيضًا استبدال at في المعادلة بالتغير في السرعة كما يلي:
   • v_av = v_i + ½(v_f - v_i).
   • بالتبسيط : v_av = v_i + ½v_f - ½v_i = ½v_i + ½v_f = (v_f + v_i)/2.

أفكار مفيدة

• تختلف السرعة المتجهة عن السرعة القياسية (أوالعددية). حيث تشمل الكميات المتجهة على اتجاه بجانب قيمة الكمية، بينما الكية القياسية تظهر القيمة قفط.
• إذا كان الجسم يتحرك في بعد واحد، يمينًا-يسارًا على سبيل المثال، فيمكنك استخدام الأرقام الموجبة لتعبر عن أحد الاتجاهين (اليمين مثلًا)، ثم التعبير بأرقام سابة للاتجاه الآخر (اليسار). اكتب ذلك أعلى الصفحة ليكون الأمر واضحًا لمن يقرأ عملك.