如何解方程组

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在本文中：

用相减法来解

相加解方程组

通过相乘来解

利用替代法解

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参考

解方程组需要你在多个方程中找出多个变量的解。可以通过叠加、减法、乘法或替代法来解方程。如果想解方程组，按以下步骤来解。

步骤

方法 1

方法 1 的 4:

用相减法来解

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   1
   在一个方程上写另一个方程。如果两个方程整理成：两个方程的一个变量系数相同，符号相同，则最好用相减法来解。比如两个方程都有2x，则相减消掉这个2x，从而解出其他变量。

   • 让x、y位置对应，一个方程式减去另一个，在第二个方程组外标上负号。
   • 比如两个方程2x + 4y = 8 ，2x + 2y = 2，第一个写第二个上面作为被减数，减号标在第二个方程外：
     • 2x + 4y = 8
     • -(2x + 2y = 2)
2. 
   2
   消去相同的项。两式相减得（可以分别减各项）：

   • 2x - 2x = 0
   • 4y - 2y = 2y
   • 8 - 2 = 6
     • 2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
3. 
   3
   解出剩下的变量。把x消掉后，可以解y了。把0移掉不影响等式。

   • 2y = 6
   • 把 2y、6 除以 2，y = 3
4. 
   4
   把解得的y代入回去，解出x。现在y=3，代回去就可以解得x，选那个先解不重要，答案是一样的。如果一个比较复杂，则先消掉，解出简单的。

   • y = 3 代入2x + 2y = 2 得到x
   • 2x + 2(3) = 2
   • 2x + 6 = 2
   • 2x = -4
   • x = - 2
     • 于是得到解： (x, y) = (-2, 3)
5. 
   5
   检查答案。可以将两解代回去，看看是否都符合。以下是步骤：

   • (-2, 3) 作为(x, y) ，代入2x + 4y = 8.
     • 2(-2) + 4(3) = 8
     • -4 + 12 = 8
     • 8 = 8
   • (-2, 3) 作为(x, y)，代入2x + 2y = 2.
     • 2(-2) + 2(3) = 2
     • -4 + 6 = 2
     • 2 = 2
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方法 2

方法 2 的 4:

相加解方程组

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   在一个方程上写另一个方程。如果两个方程整理成：两个方程的一个变量系数相同，符号相反，则最好用相加法来解。比如两个方程一个有-3x，一个有3x，则相加消掉x，从而解出其他变量。

   • 在一个方程上写另一个方程，让x、y位置对应，一个方程式加上另一个，在第二个方程组外标上加号。
   • 比如3x + 6y = 8 和 x - 6y = 4，第一个写第二个上面，加号标在第二个方程外，把两式相加：
     • 3x + 6y = 8
     • +(x - 6y = 4)
2. 
   2
   消去相同的项。两式相加得（可以分别加各项）：

   • 3x + x = 4x
   • 6y + -6y = 0
   • 8 + 4 = 12
   • 合并得到一次方程：
     • 3x + 6y = 8
     • +(x - 6y = 4)
     • = 4x + 0 = 12
3. 
   3
   解出剩下的变量。把y消掉后，可以解x了。把0移掉不影响等式。

   • 4x + 0 = 12
   • 4x = 12
   • 把 4x和12除以3 得到x = 3
4. 
   4
   将刚才得到的解代入，得到另一个变量。这里x = 3，代回去得到y。先解哪一个不重要，因为答案一致。不过如果一项比较复杂，则先消掉，解简单的。

   • x = 3 代入x - 6y = 4 解出y
   • 3 - 6y = 4
   • -6y = 1
   • 把 -6y和1 除以 -6 得到y = -1/6
     • 这样你解出方程组的解了： (x, y) = (3, -1/6)
5. 
   5
   检查答案。可以将两解代回去，看看是否都符合。以下是步骤：

   • (3, -1/6)作为(x, y) 代入3x + 6y = 8
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8
     • 9 - 1 = 8
     • 8 = 8
   • (3, -1/6) 作为(x, y) 代入x - 6y = 4.
     • 3 - (6 * -1/6) =4
     • 3 - - 1 = 4
     • 3 + 1 = 4
     • 4 = 4
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方法 3

方法 3 的 4:

通过相乘来解

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   1
   把一个方程写在另一个方程上。让x、y位置对应，系数化为整数。用这个方法时，两方程的所有变量系数都还不一样。

   • 3x + 2y = 10
   • 2x - y = 2
2. 
   2
   把一个方程两边同乘一数，使得其中一个变量和另一个方程的同变量系数一致。现在我们让整个第二个方程乘以2，-y 变为 -2y 和第一个方程的y系数一致：

   • 2 (2x - y = 2)
   • 4x - 2y = 4
3. 
   3
   相加或相减两式。现在根据两式对应变量的符号是否相同，选择加法或减法来解。本例子中因为是2y和-2y对应，所以用加法方法，将y项消为0。 如果两个变量都是正数（负数）则用减法方法。以下是解的步骤：

   • 3x + 2y = 10
   • + 4x - 2y = 4
   • 7x + 0 = 14
   • 7x = 14
4. 
   4
   解出剩余变量。7x = 14, 得到 x = 2.
5. 
   5
   将解出的变量代回方程，找出之前的变量值，尽量解更容易解的变量，这样解的过程比较轻松一点。

   • x = 2 ---> 2x - y = 2
   • 4 - y = 2
   • -y = -2
   • y = 2
   • 得到解 (x, y) = (2, 2)
6. 
   6
   检查答案。把两个解代入回原方程，验证是否正确。

   • (2, 2)作为(x, y) 代入3x + 2y = 10
   • 3(2) + 2(2) = 10
   • 6 + 4 = 10
   • 10 = 10
   • (2, 2) 作为(x, y) 代入2x - y = 2
   • 2(2) - 2 = 2
   • 4 - 2 = 2
   • 2 = 2
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方法 4

方法 4 的 4:

利用替代法解

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   1
   分离一个变量。本方法适用于一个方程中，一个变量的系数为1的情况，这时只要分离此变量，代入另一个方程即可。

   • 例如2x + 3y = 9和 x + 4y = 2，在第二个方程式分离出x。
   • x + 4y = 2
   • x = 2 - 4y
2. 
   2
   把这个等式代入另一个方程。把分离的变量用另一个变量替换，这样可以代入方程来解得另一个变量。如下：

   • x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
   • 2(2 - 4y) + 3y = 9
   • 4 - 8y + 3y = 9
   • 4 - 5y = 9
   • -5y = 9 - 4
   • -5y = 5
   • -y = 1
   • y = - 1
3. 
   3
   解出剩余的变量。用y = - 1代回解出x:

   • y = -1 --> x = 2 - 4y
   • x = 2 - 4(-1)
   • x = 2 - -4
   • x = 2 + 4
   • x = 6
   • 这样你就解出解了： (x, y) = (6, -1)
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   4
   验证解，要确保解都正确，只要把解代回原方程，看看是否都符合方程组：

   • (6, -1)作为(x, y)代入2x + 3y = 9
     • 2(6) + 3(-1) = 9
     • 12 - 3 = 9
     • 9 = 9
   • (6, -1)作为(x, y) 代入x + 4y = 2
   • 6 + 4(-1) = 2
   • 6 - 4 = 2
   • 2 = 2
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小提示

• 用以上四种方法，你可以解出任何线性方程组。不过用什么方法最快，取决于你的方程组如何。

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