Как решать системы уравнений

При решении системы уравнений требуется найти значение более, чем одной переменной. Для решения можно использовать сложение, вычитание, умножение и замену. Как именно решать системы уравнений, вы узнаете из этой статьи.

Метод 1

Метод 1 из 4:

Решение через вычитание

Загрузить PDF

1
Запишите уравнения в столбик – одно под другим. Способ решения вычитанием лучше всего подходит в ситуациях, когда коэффициент одной из переменных одинаков в обоих уравнениях и имеет одинаковый знак. Например, если в обоих уравнениях есть элемент 2х, то надо использовать решение вычитанием.
- Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Напишите знак вычитания ( - ) за пределами второго уравнения.
- Пример: Если уравнения: 2x + 4y = 8 и 2x + 2y = 2, то одно из них надо записать над другим и указать знак минус.
  - 2x + 4y = 8
  - -(2x + 2y = 2)
2
Выполните вычитание. Можно выполнять действия по очереди:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
  - 2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
3
Решите оставшееся уравнение. Избавившись от одной из переменных, можно без проблем найти значение второй.
- 2y = 6
- Разделите 2y и 6 на 2 и получится y = 3
4
Теперь подставляем значение у в одно из уравнений, решаем и находим значение х.
- Подставляем y = 3 в уравнение 2x + 2y = 2 и находим x.
- 2x + 2(3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
- x = - 2
  - Система уравнений решена через вычитание: (x, y) = (-2, 3).
5
Проверьте ответ. Для этого просто подставьте оба значения в каждое из уравнений и убедитесь, что все сходится. Вот так:
- Подставляем (-2, 3) вместо (x, y) в уравнение 2x + 4y = 8.
  - 2(-2) + 4(3) = 8
  - -4 + 12 = 8
  - 8 = 8
- Подставляем (-2, 3) вместо (x, y) в уравнение 2x + 2y = 2.
  - 2(-2) + 2(3) = 2
  - -4 + 6 = 2
  - 2 = 2
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

Решение через сложение

Загрузить PDF

1
Запишите оба уравнения в столбик, одно под другим. Способ решения через сложение лучше всего подходит в ситуациях, когда коэффициент одной из переменных одинаков в обоих уравнениях, но имеет разный знак. Например, в одном уравнении есть элемент 3х, а в другом -3х.^{[1]XИсточник информации}
- Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Напишите знак сложения ( + ) за пределами второго уравнения.
- Пример: Если нам даны уравнения 3x + 6y = 8 и x - 6y = 4, то одно из них надо записать над другим и указать знак плюс.
  - 3x + 6y = 8
  - +(x - 6y = 4)
2
Выполните сложение. Можно выполнять действия по очереди:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
- Получается:
  - 3x + 6y = 8
  - +(x - 6y = 4)
  - = 4x + 0 = 12
3
Решите оставшееся уравнение. Избавившись от одной из переменных, можно без проблем найти значение второй. Если убрать из уравнения 0, его значение не поменяется.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- Разделите 4x и 12 на 3 и получится x = 3
4
Теперь подставляем значение у в одно из уравнений, решаем и находим значение у.
- Подставляем x = 3 в уравнение x - 6y = 4 и находим y.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
- Разделите -6y и 1 на -6 и получится y = -1/6
  - Система уравнений решена через сложение (x, y) = (3, -1/6).
5
Проверьте ответ. Для этого просто подставьте оба значения в каждое из уравнений и убедитесь, что все сходится. Вот так:
- Подставьте (3, -1/6) вместо (x, y) в уравнение 3x + 6y = 8.
  - 3(3) + 6(-1/6) = 8
  - 9 - 1 = 8
  - 8 = 8
- Подставьте (3, -1/6) вместо (x, y) в уравнение x - 6y = 4.
  - 3 - (6 * -1/6) =4
  - 3 - - 1 = 4
  - 3 + 1 = 4
  - 4 = 4
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

Решение через умножение

Загрузить PDF

1
Запишите уравнения в столбик так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Одинаковых коэффициентов тут пока нет.^{[2]XИсточник информации}
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
2
Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты одной из переменных в обоих уравнениях стали равны. В этом случае второе уравнение можно умножить на 2, и переменная -у станет -2у, такой же как и в первом уравнении. Вот так:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
3
Сложите или вычтите уравнения. Теперь можно использовать способ сложения или вычитания. В этом случае мы имеем дело с 2у и -2у, поэтому проще использовать метод сложения. Если бы оба коэффициента были со знаком +, то лучше было бы использовать метод вычитания. Ну а сейчас мы используем сложение:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
Решаем и находим значение оставшейся переменной. Если 7x = 14, то x = 2.
5
Теперь подставляем значение у в одно из изначальных уравнений, решаем и находим значение у. Выберите уравнение попроще.
- x = 2 ---> 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- Система уравнений была решена через умножение. (x, y) = (2, 2)
6
Проверьте ответ. Для этого просто подставьте оба значения в каждое из уравнений и убедитесь, что все сходится. Вот так:
- Подставьте (2, 2) вместо (x, y) в уравнение 3x + 2y = 10.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- Подставьте (2, 2) вместо (x, y) в уравнение 2x - y = 2.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

Решение через замену

Загрузить PDF

1
Решение через замену удобнее всего использовать в тех случаях, когда один из коэффициентов в одном уравнении равен коэффициенту в другом. Надо просто изолировать переменную с коэффициентом 1.
- Если мы имеем дело с уравнениями 2x + 3y = 9 и x + 4y = 2, то перенести надо переменную х во втором уравнении.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
2
Теперь подставьте значение изолированной переменной в другое уравнение. Вот так:
- x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
- 2(2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
3
Вычислив, что у = -1, мы подставляем это значение в более простое уравнение и находим значение х. Вот так:
- y = -1 --> x = 2 - 4y
- x = 2 - 4(-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- Вы решили систему уравнений через замену. (x, y) = (6, -1)
4
Проверьте ответ. Для этого просто подставьте оба значения в каждое из уравнений и убедитесь, что все сходится. Вот так:
- Подставьте (6, -1) вместо (x, y) в уравнении 2x + 3y = 9.
  - 2(6) + 3(-1) = 9
  - 12 - 3 = 9
  - 9 = 9
- Подставьте (6, -1) вместо (x, y) в уравнении x + 4y = 2.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
Реклама