如何使用对数表

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在本文中：

简短说明：计算对数

深入说明：计算对数

计算逆对数

使用对数表计算数字的乘积

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参考

在发明计算机和计算器以前，人们使用对数表来快速计算对数。只要掌握了使用对数表的方法，你仍然可以利用它们来快速计算对数或大数乘积。

步骤

方法 1

方法 1 的 4:

简短说明：计算对数

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   选择正确的表格。要计算log_a(n)，你需要使用log_a表格。大部分对数表格针对的是以10为底的对数，它们被称为“常用对数”。

   • 例如，log₁₀(31.62)要用到的就是以10为底的对数表格。
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   找到正确的单元格。查询如下交叉点的单元格值，忽略所有小数位：

   • 标有n的前两位数字的行
   • 以n的第三位数字为表头的列
   • 例如，log₁₀(31.62)→ 行31，列6→单元格值为0.4997。
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   使用更小的表格来提高数字精确性。有些表格在图表右侧会有较小的几列数字。如果n有4位或更多位的数字，可以使用这类表格来调整答案：

   • 还是在同一行
   • 在小表格中找到以n的第四位数为表头的列
   • 将该数值与之前的数值相加
   • 例如，log₁₀(31.62)→ 行31，小表格列2→ 单元格值2 → 4997 + 2 = 4999。
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   先加上小数点。对数表告诉你的只是小数点后面的那部分答案，也就是所谓的“尾数”。

   • 本示例中，目前得到的答案是?.4999。
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   计算整数部分。这部分也被称为“首数”。不断尝试，找出p的值，让 a^p < n且a^p+1 > n。

   • 本示例中，10¹ = 10 < 31.62，而10² = 100 > 31.62。所以“首数”是1。最终答案是1.4999。
   • 这对以10为底的对数而言非常简单，只需要计算小数点左边的位数，然后减去1就可以了。
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方法 2

方法 2 的 4:

深入说明：计算对数

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   理解对数的概念。10²等于100。10³等于1000。指数2和3就是100和1000以10为底的对数。通常而言，a^b = c可以变形为log_ac = b。因此，说“10的2次幂等于100”，就相当于说“100以10为底的对数等于2”。每个对数表只能针对一个特定的底数使用，底数也就是以上方程中的a。到目前为止，最常见的对数表类型使用的是以10为底的对数，这种对数也被称为常用对数。

   • 两数相乘时，将它们的指数相加。例如，10² * 10³ = 10⁵，即100 * 1000 = 100,000。
   • 以“ln”表示的自然对数是以e为底的对数，其中e是常数2.718。这个数字在数学和物理的许多领域都会用到。自然对数表的使用方法与以10为底的常用对数表相同。
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   确定你所求的对数的首数。假设你想使用常用对数表求出15以10为底的对数。15位于10（10¹）到100（10²）之间，所以它的对数在1到2之间，等于一点几。150位于100（10²）到1000（10³）之间，所以它的对数在2到3之间，等于二点几。小数点后面的数字被称为尾数，你可以在对数表中找到它们。而小数点前面的数字是首数，例如第一个例子中的1，以及第二个例子中的2。
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   手指沿着对数表最左侧的一栏向下滑，找到适当的行。这一栏通常会显示真数的前两位数字，在某些较大的对数表中，会显示前三位数字。如果你在普通的对数表中查询15.27的对数，找到标有15的那一行。如果你查询2.57的对数，就找到标有25的那一行。

   • 有时这一行的数字会有小数点，这时，你应该查找2.5，而不是25。你可以忽略小数点，因为它不影响答案。
   • 此外，你应该忽略真数中的小数点，因为1.527的对数的尾数与152.7的对数的完全相同。
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   手指沿适当的行向右滑，找到适当的列。这一列的表头应该是真数的下一位数字。例如，如果你想计算15.27的对数，手指应该落到行15。然后沿着这一行滑动手指，直至找到列2。这时，手指指着的数字应该是1818。记下这个数字。
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   如果你的对数表还有一个尾差表，就将你的手指滑到该表中以真数下一位数字为表头的那一栏。以15.27为例，这个数字是7。你的手指现在位于行15，列2。将它滑到行15，尾差表列7。这时，手指指着的数字应该是20。记下这个数字。
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   将之前两步中的数字相加。对于15.27，你会得到1838。它就是15.27对数的尾数。
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   加上首数。由于15在10到100之间，即在10¹到10²之间，因此15的对数必定在1到2之间，等于一点几，所以首数为1。结合首数和尾数，得到最终答案。求得15.27的对数等于1.1838。
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方法 3

方法 3 的 4:

计算逆对数

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   理解逆对数表。当你知道一个数字的对数，但不知道这个数字本身时，请使用逆对数表。在方程10ⁿ = x中，n是x的常用对数，或者说以十为底的对数。如果你知道x，可以使用对数表求出n。如果你知道n，可以使用逆对数表求出x。

   • 逆对数通常也被称为反对数。
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   写下首数。它是小数点前面的数字。如果你要计算2.8699的逆对数，首数就是2。在心里将这个数字去掉，但一定要将它写下来，避免遗忘，它在之后的计算过程中十分重要。
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   找到与尾数第一部分匹配的行。在2.8699中，尾数是.8699。和大部分对数表一样，大部分反对数表最左侧一栏会有两位数字，所以手指沿该栏下滑，直至找到.86。
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   4
   将手指滑至标有尾数下一位数字的那一栏。以2.8699为例，将手指沿标有.86的那一行滑动，找到与栏9的交叉点。交叉点的数字应该是7396。记下这个数字。
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   5
   如果你的逆对数表还有尾差表，就将你的手指滑到该表中以尾数的下一位数字为表头的那一栏。确保手指是沿同一行滑动。这种情况下，你的手指会滑到表格的最后一栏，即栏9。.86行和尾差表栏9相交单元格的数字是15。记下这个数字。
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   将此前两个步骤找到的数字相加。在本示例中，它们是7396和15。相加后得到7411。
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   使用首数来确定小数点的位置。我们的首数是2。这意味着答案在10²到10³之间，即100到1000之间。为了让7411的大小位于100到1000之间，小数点必须位于第三位数字之后，所以该数字大约等于700多，而不是70多或7000多，前者太小，后者太大。所以最终的答案是741.1。
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方法 4

方法 4 的 4:

使用对数表计算数字的乘积

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   理解使用对数计算数字乘积的原理。我们知道10 * 100 = 1000。以指数或对数的形式可以写成10¹ * 10² = 10³。我们还知道1 + 2 = 3。总的来说，10^x * 10^y = 10^{x + y}。因此，在底数相同的情况下，两个不同数字的对数之和等于这两个数字乘积的对数。我们可以将两个同底数字的指数相加，来计算他们的乘积。
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   查找两个乘数的对数。用以上方法计算对数。例如，如果想计算15.27乘以48.54，你需要先求出15.27和48.54的对数，它们分别为1.1838和1.6861。
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   将两个对数相加，算出解的对数。本例中，1.1838加1.6861等于2.8699。这个数字就是答案的对数。
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   使用前文所述步骤找出结果的逆对数来求解。你可以在对数表中寻找与该数字尾数8699最为接近的数字。但是，更有效且更可靠的方法是使用前文所述的方法，在逆对数表中寻找答案。就本示例而言，你会得到741.1。
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小提示

• 仔细阅读页首标题。对数书有大约30页，使用错误位置的内容会得到错误的答案。
• 一定要在纸上计算，不要心算，因为对数涉及的都是大而复杂的数字，很容易出错。

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警告

• 本文所述的方法针对常见对数表，即以十为底数的对数表，所以使用前，请确认你查找的数字是以十为底数，或使用的是科学计数法。
• 大部分表格只精确到三到四位数。如果用计算器计算2.8699的逆对数，答案会等于741.2，而你使用对数表得到的答案会是741.1，它们都是四舍五入后的结果。如果你需要更精确的答案，可以使用计算器或对数表以外的其他方法。
• 一定要确保各次读数位于同一行。有时由于字和间距太小，我们会将行和列弄混。

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你需要准备

• 对数表或对数书
• 备用纸张