Como Resolver Equações com Variáveis dos Dois Lados

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Resolvendo equações com uma variável em ambos os lados

Resolvendo sistemas de equações com duas variáveis

Resolvendo exercícios de fixação

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Referências

Quando começa a estudar álgebra, você nota equações que têm uma variável em um lado, passando depois a encontrar com equações que as têm em ambos os lados. O mais importante a se lembrar nesses casos é que tudo o que for feito em um lado da equação deve ser feito também no outro. Com essa regra, fica fácil mover as variáveis para isolá-las e usar operadores básicos para determinar seu valor.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Resolvendo equações com uma variável em ambos os lados

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1. 
   1
   Se necessário, aplique a propriedade distributiva. Ela afirma que $a(b+c)=ab+ac$. Aqui, é possível cancelar os parênteses multiplicando cada termo interno pelo número que está fora deles.

   • Por exemplo, se a sua equação for $2(10-2x)=4(2x+2)$, use a propriedade distributiva para multiplicar os termos internos pelo valor externo:
     $2(10-2x)=4(2x+2)$
     $20-4x=8x+8$
2. 
   2
   Cancele a variável em um lado da equação. Para isso, complete a operação oposta. Por exemplo, se o termo é subtraído na equação, cancele-o através da soma. Se o termo é somado na equação, cancele-o através da subtração. Costuma ser mais fácil cancelar a variável que possui o menor coeficiente.

   • Por exemplo, na equação $20-4x=8x+8$, cancele o termo $-4x$ somando $4x$:
     $20-4x+4x=8x+8$
3. 
   3
   Mantenha a equação balanceada. O que for feito em um lado da equação deve também ser feito no outro lado. Desse modo, se você se usa de uma soma ou subtração para cancelar a variável em um dos lados, será necessário realizar o mesmo procedimento.

   • Por exemplo, se você somou $4x$ em um lado da equação para cancelar a variável, é necessário também somar $4x$ no outro lado:
     $20-4x+4x=8x+8+4x$
4. 
   4
   Simplifique a equação combinando termos semelhantes. Você agora deve estar com a variável em um dos lados da equação.

   • Por exemplo:
     $20-4x+4x=8x+8+4x$
     $20=12x+8$
5. 
   5
   Se necessário, passe as constantes para um dos lados da equação. Em um lado, você terá os termos variáveis e, no outro, ficarão os termos constantes. Para passar o que é constante para o outro lado, some ou subtraia para cancelar o termo em questão.

   • Por exemplo, para cancelar o termo constante $+8$ no lado das variáveis, subtraia $8$ em ambos os lados da equação:
     $20=12x+8$
     $20-8=12x+8-8$
     $12=12x$
6. 
   6
   Cancele o coeficiente da variável. Para isso, faça a operação oposta à exibida na equação. Geralmente, isso consiste em fazer uma divisão para cancelar um coeficiente sendo multiplicado por uma variável. Lembre-se de que o que for feito em um lado da equação, você deve fazer o mesmo no outro.

   • Por exemplo, para cancelar o coeficiente $12$ da equação, você dividirá ambos os lados por esse valor:
     $12=12x$
     ${\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}$
     $1=x$
7. 
   7
   Confira o seu trabalho. Para ter a certeza de que a sua resposta está correta, substitua o valor do resultado na equação original. Se a afirmação for verdadeira, isso indica que a resposta é verdadeira.

   • Por exemplo, se $1=x$, substitua a variável presente na equação por $1$ e calcule:
     $2(10-2x)=4(2x+2)$
     $2[10-2(1)]=4[2(1)+2]$
     $2(10-2)=4(2+2)$
     $20-4=8+8$
     $16=16$
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Método 2

Método 2 de 3:

Resolvendo sistemas de equações com duas variáveis

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1. 
   1
   Isole uma variável em uma equação. Isso pode já ter sido feito. Se não é o caso, use as regras da álgebra necessárias para isolar a variável em um dos lados da equação. Lembre-se de que tudo o que for feito deve afetar ambos os lados.

   • Por exemplo, para isolar a variável $y$ na equação $y+1=x-1$, você deve fazer uma subtração por $1$ em ambos os lados:
     $y+1=x-1$
     $y+1-1=x-1-1$
     $y=x-2$
2. 
   2
   Substitua o valor da variável isolada na outra equação. É importante que toda a expressão seja afetada pela substitução da variável. Como resultado, você terá uma equação com uma variável, o que possibilita determinar seu valor.

   • Por exemplo, se a primeira equação for $2x=20-2y$ e você determinou que $y=x-2$ usando a segunda equação, basta substituir $y$ por $x-2$ na primeira equação:
     $2x=20-2y$
     $2x=20-2(x-2)$
3. 
   3
   Calcule a variável. Para isso, passe o que é variável para um dos lados da equação e o que é constante para o outro. A seguir, isole a variável através de multiplicação ou divisão.

   • Por exemplo:
     $2x=20-2(x-2)$
     $2x=20-2x+4$
     $2x=24-2x$
     $2x+2x=24-2x+2x$
     $4x=24$
     ${\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}$
     $x=6$
4. 
   4
   Calcule a variável remanescente. Para isso, insira o valor da variável recém-calculada em uma das equações. Como resultado, você terá uma equação contendo apenas uma variável e, a seguir, basta resolvê-la usando as regras mais básicas da álgebra. Para determinar o valor da variável que restou, é possível usar qualquer equação.

   • Por exemplo, se você determinou que $x=6$, é possível substituir $x$ por $6$ na segunda equação:
     $y=x-2$
     $y=(6)-2$
     $y=4$
5. 
   5
   Confira o resultado. Insira os valores de ambas as variáveis em uma das equações. Se ela for verdadeira, isso indica que as soluções são corretas.

   • Por exemplo, se você determinou que $x=6$ e $y=4$, insira esses valores na equação original e resolva-a:
     $2x=20-2y$
     $2(6)=20-2(4)$
     $12=20-8$
     $12=12$
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolvendo exercícios de fixação

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1. 
   1
   Faça este problema usando a propriedade distributiva com uma variável:
   $5(x+4)=6x-5$

   • Use a propriedade distributiva para cancelar os parênteses:
     $5(x+4)=6x-5$
     $5x+20=6x-5$
   • Cancele o $5x$ no lado esquerdo da equação subtraindo esse valor em ambos os lados:
     $5x+20=6x-5$
     $5x+20-5x=6x-5-5x$
     $20=x-5$
   • Isole a variável somando $5$ em cada lado da equação:
     $20=x-5$
     $20+5=x-5+5$
     $25=x$
2. 
   2
   Resolva este problema envolvendo uma fração:
   $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$

   • Elimine a fração. Para isso, multiplique ambos os lados pelo denominador:
     $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$
     $2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})$
     $-14+6x=7-x$
   • Cancele o $-x$ no lado direito da equação somando $x$ em ambos os lados:
     $-14+6x=7-x$
     $-14+6x+x=7-x+x$
     $-14+7x=7$
   • Passe as constantes para um lado da equação somando $14$ em ambos os lados:
     $-14+7x=7$
     $-14+7x+14=7+14$
     $7x=21$
   • Cancele o coeficiente dividindo cada lado da equação por $7$:
     $7x=21$
     ${\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}$
     $x=3$
3. 
   3
   Resolva este sistema de equações:
   ${\begin{cases}9x+15=12y\\9y=9x+27\end{cases}}$

   • Isole a variável $y$ na segunda equação:
     $9y=9x+27$
     $9y=9(x+3)$
     ${\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}$
     $y=x+3$
   • Substitua $y$ na primeira equação por $x+3$:
     $9x+15=12y$
     $9x+15=12(x+3)$
   • Use a propriedade distributiva para cancelar os parênteses:
     $9x+15=12x+36$
   • Cancele a variável no lado esquerdo da equação subtraindo $9x$ de ambos os lados:
     $9x+15=12x+36$
     $9x+15-9x=12x+36-9x$
     $15=3x+36$
   • Passe as constantes para um lado subtraindo $36$ de ambos os lados:
     $15=3x+36$
     $15-36=3x+36-36$
     $-21=3x$
   • Cancele o coeficiente dividindo ambos os lados por $3$:
     $-21=3x$
     ${\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}$
     $-7=x$
   • Descubra o valor de $y$ inserindo o valor de $x$ em uma das equações:
     $9y=9x+27$
     $9y=9(-7)+27$
     $9y=-63+27$
     $9y=-36$
     ${\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}$
     $y=-4$
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Materiais Necessários

• Lápis;
• Papel;
• Calculadora.