Как решать уравнение с переменными (неизвестными) в обеих частях уравнения

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Решение уравнений с одной переменной на обеих сторонах уравнения

Решение системы уравнений с двумя переменными

Решение уравнений

Дополнительные статьи

Источники

В простых алгебраических уравнениях переменная находится только на одной стороне уравнения, а вот в более сложных уравнениях переменные могут находиться на обеих сторонах уравнения. Решая такие уравнения, всегда помните, что любая операция, которая выполняется на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. С помощью этого правила переменные можно переносить с одной стороны уравнения на другую, чтобы изолировать их и вычислить их значения.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

Решение уравнений с одной переменной на обеих сторонах уравнения

Загрузить PDF

1. 
   1
   Примените распределительный закон (если нужно). Этот закон гласит, что $a(b+c)=ab+ac$. Распределительный закон позволяет раскрыть скобки с помощью умножения члена, стоящего за скобками, на каждый член, заключенный в скобки.

   • Например, если дано уравнение $2(10-2x)=4(2x+2)$, воспользуйтесь распределительным законом, чтобы умножить член, стоящий за скобками, на каждый член в скобках:
     $2(10-2x)=4(2x+2)$
     $20-4x=8x+8$
2. 
   2
   Избавьтесь от переменной на одной стороне уравнения. Для этого вычтите или прибавьте такой же член с переменной. Например, если член с переменной вычитается, прибавьте такой же член, чтобы избавится от него; если же член с переменной прибавляется, вычтите такой же член, чтобы избавится от него. Как правило, проще избавиться от переменной с меньшим коэффициентом.

   • Например, в уравнении $20-4x=8x+8$ избавьтесь от члена $-4x$; для этого прибавьте $4x$:
     $20-4x+4x=8x+8$.
3. 
   3
   Следите, чтобы равенство не нарушалось. Любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. Поэтому если вы прибавляете или вычитаете какой-либо член, чтобы избавиться от переменной на одной стороне уравнения, прибавьте или вычтите тот же член на другой стороне уравнения.

   • Например, если к одной стороне уравнения прибавить $4x$, чтобы избавиться от переменной, нужно прибавить $4x$ и к другой стороне уравнения:
     $20-4x+4x=8x+8+4x$
4. 
   4
   Упростите уравнение за счет сложения или вычитания подобных членов. На данном этапе переменная должна находиться на одной стороне уравнения.

   • Например:
     $20-4x+4x=8x+8+4x$
     $20=12x+8$
5. 
   5
   Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения (если нужно). Необходимо сделать так, чтобы член с переменной находился на одной стороне, а свободный член – на другой. Чтобы перенести свободный член (и избавиться от него на одной стороне уравнения), прибавьте или вычтите его из обеих сторон уравнения.

   • Например, чтобы избавиться от свободного члена $+8$ на стороне с переменной, вычтите 8 из обеих сторон уравнения:
     $20=12x+8$
     $20-8=12x+8-8$
     $12=12x$
6. 
   6
   Избавьтесь от коэффициента при переменной. Для этого выполните операцию, противоположную операции между коэффициентом и переменной. В большинстве случаев просто разделите обе стороны уравнения на коэффициент при переменной. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.

   • Например, чтобы избавиться от коэффициента 12, разделите обе стороны уравнения на 12:
     $12=12x$
     ${\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}$
     $1=x$
7. 
   7
   Проверьте ответ. Для этого подставьте найденное значение в исходное уравнение. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

   • Например, если $1=x$, подставьте 1 (вместо переменной) в исходное уравнение:
     $2(10-2x)=4(2x+2)$
     $2(10-2(1))=4(2(1)+2)$
     $2(10-2)=4(2+2)$
     $20-4=8+8$
     $16=16$
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Решение системы уравнений с двумя переменными

Загрузить PDF

1. 
   1
   Изолируйте переменную в одном уравнении. Возможно, в одном из уравнений переменная уже будет изолирована; в противном случае воспользуйтесь математическими операциями, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.

   • Например, дано уравнение $y+1=x-1$. Чтобы изолировать переменную $y$, вычтите 1 из обеих сторон уравнения:
     $y+1=x-1$
     $y+1-1=x-1-1$
     $y=x-2$
2. 
   2
   Подставьте значение (в виде выражения) изолированной переменной в другое уравнение. Убедитесь, что подставляете выражение целиком. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить.

   • Например, первое уравнение имеет вид $2x=20-2y$, а во второе уравнение приведено к виду $y=x-2$. В этом случае в первое уравнение вместо $y$ подставьте $x-2$:
     $2x=20-2y$
     $2x=20-2(x-2)$
3. 
   3
   Найдите значение переменной. Для этого перенесите переменную на одну сторону уравнения. Затем перенесите свободные члены на другую сторону уравнения. Потом изолируйте переменную с помощью операции умножения или деления.

   • Например:
     $2x=20-2(x-2)$
     $2x=20-2x+4$
     $2x=24-2x$
     $2x+2x=24-2x+2x$
     $4x=24$
     ${\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}$
     $x=6$
4. 
   4
   Найдите значение другой переменной. Для этого найденное значение переменной подставьте в одно из уравнений. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить. Имейте в виду, что найденное значение переменной можно подставить в любое уравнение.

   • Например, если $x=6$, подставьте 6 (вместо $x$) во второе уравнение:
     $y=x-2$
     $y=(6)-2$
     $y=4$
5. 
   5
   Проверьте ответ. Для этого подставьте значения обеих переменных в одно из уравнений. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

   • Например, если вы нашли, что $x=6$ и $y=4$, подставьте эти значения в одно из исходных уравнений:
     $2x=20-2y$
     $2(6)=20-2(4)$
     $12=20-8$
     $12=12$
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Решение уравнений

Загрузить PDF

1. 
   1
   Решите следующее уравнение с одной переменной, используя распределительный закон: $5(x+4)=6x-5$.

   • Воспользуйтесь распределительным законом, чтобы раскрыть скобки:
     $5(x+4)=6x-5$
     $5x+20=6x-5$
   • Избавьтесь от $5x$ на левой стороне уравнения; для этого вычтите $5x$ из обеих сторон уравнения:
     $5x+20=6x-5$
     $5x+20-5x=6x-5-5x$
     $20=x-5$
   • Изолируйте переменную; для этого прибавьте 5 к обеим сторонам уравнения:
     $20=x-5$
     $20+5=x-5+5$
     $25=x$
2. 
   2
   Решите следующее уравнение с дробью: $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$.

   • Избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе стороны уравнения на выражение (или число), стоящее в знаменателе дроби:
     $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$
     $2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})$
     $-14+6x=7-x$
   • Избавьтесь от $-x$ на правой стороне уравнения; для этого прибавьте $x$ к обеим сторонам уравнения:
     $-14+6x=7-x$
     $-14+6x+x=7-x+x$
     $-14+7x=7$
   • Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения; для этого прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения:
     $-14+7x=7$
     $-14+7x+14=7+14$
     $7x=21$
   • Избавьтесь от коэффициента при переменной; для этого разделите обе стороны уравнения на 7:
     $7x=21$
     ${\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}$
     $x=3$
3. 
   3
   Решите следующую систему уравнений: $9x+15=12y;9y=9x+27$

   • Изолируйте переменную $y$ во втором уравнении:
     $9y=9x+27$
     $9y=9(x+3)$
     ${\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}$
     $y=x+3$
   • В первое уравнение вместо $y$ подставьте $x+3$:
     $9x+15=12y$
     $9x+15=12(x+3)$
   • Воспользуйтесь распределительным законом, чтобы раскрыть скобки:
     $9x+15=12x+36$
   • Избавьтесь от переменной на левой стороне уравнения; для этого вычтите $9x$ из обеих сторон уравнения:
     $9x+15=12x+36$
     $9x+15-9x=12x+36-9x$
     $15=3x+36$
   • Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения; для этого вычтите 36 из обеих сторон уравнения:
     $15=3x+36$
     $15-36=3x+36-36$
     $-21=3x$
   • Избавьтесь от коэффициента при переменной; для этого разделите обе стороны уравнения на 3:
     $-21=3x$
     ${\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}$
     $-7=x$
   • Найдите значение $y$; для этого подставьте найденное значение $x$ в одно из уравнений:
     $9y=9x+27$
     $9y=9(-7)+27$
     $9y=-63+27$
     $9y=-36$
     ${\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}$
     $y=-4$
   Реклама

Что вам понадобится

• Карандаш
• Бумага
• Калькулятор