사각기둥의 겉넓이 구하는 법

사각기둥은 우리가 흔히 보는 육면체의 일종으로 상자 모양을 하고 있다. 먼저 일상 생활 속의 사각기둥에는 어떤 것들이 있는지 생각해보자. 신발 상자, 벽돌 같은 것들이 있을 것이다. 이제 사각기둥을 머릿속에서 그려보고 어떻게 겉넓이를 구할 수 있을 지 생각해보자. 사각기둥의 겉넓이를 구하면 예를 들어 신발상자를 포장할 때 얼마 만큼의 포장지가 필요한 지 쉽게 알 수 있을 것이다. 이 글에서는 우리가 일상 생활 속에서 매일같이 마주하는 사각 기둥의 겉넓이를 구하는 법을 쉽게 단계별로 배워보도록 하겠다.

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겉넓이 구하기

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가로, 세로, 높이 정하기. 모든 사각기둥은 가로, 세로, 높이를 지니고 있다. 일단 위 그림처럼 사각기둥을 그린 뒤 l, w, h를 해당하는 모서리 옆에 표시해두자. l은 세로, w는 가로, h는 높이를 의미한다.
- 모서리를 정하는 것이 고민된다면 아무 점이나 짚어 그 점과 이어지는 세 모서리를 기준으로 삼도록 하자.
- 예를 들어 가로 세로 길이가 3인치, 4인치이고 높이가 5인치인 상자가 있다고 가정하자. 따라서 l = 4, w = 3, h = 5가 될 것이다.
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사각기둥의 여섯 면을 살펴보기. 사각기둥의 겉넓이를 구하기 위해서는 모든 면의 넓이를 구해 합해야 한다. 따라서 각 면이 어떻게 생겼는지 볼 필요가 있다. 예를 들어 시리얼 상자를 생각해보자. 모든 면의 생김새가 다르지 않은가?
- 윗면과 아랫면은 같은 크기를 가진다.^{[1]X출처 검색하기}
- 앞면과 뒷면 역시 같은 크기를 가진다.
- 왼쪽면과 오른쪽면도 같은 크기를 가진다.
- 머릿속으로 그리는 것이 힘들다면 실제로 종이 상자의 모서리를 잘라 펴놓고 보도록 하자.^{[2]X출처 검색하기}
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아랫면의 넓이 구하기. 사각기둥의 겉넓이를 구하기 위한 첫 번째 단계로 먼저 아랫면을 정해 넓이를 구하도록 하겠다. 일단 아랫면은 다른 면과 마찬가지로 직사각형 형태를 지니고 있다. 위 그림을 예로 들면 직사각형의 가로와 세로 길이가 사각기둥의 가로, 세로 길이와 일치하는 것을 확인할 수 있다. 이 직사각형의 넓이를 구하기 위해서는 가로와 세로 길이를 다음처럼 곱해주면 된다. 아랫면 넓이 = 가로 x 세로 = lw.
- 아까 위에서 언급했던 상자의 가로와 세로 길이가 기억나는가? 그 상자의 아랫면 넓이는 4 인치 x 3 인치 = 12 제곱인치가 될 것이다.
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윗면의 넓이 구하기. 넓이를 구하기 전에 잠깐 생각해보자. 아까 위에서 아랫면과 윗면은 같은 크기를 가진다고 한 것이 기억나는가? 따라서 윗면 역시 lw의 넓이를 가진다.
- 위에서 구한 아랫면의 넓이와 같으므로 윗면의 넓이는 12 제곱인치가 될 것이다.
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앞면과 뒷면의 넓이 구하기. 이제 다시 그림을 보도록 하자. 앞면에 보이는 직사각형의 가로와 세로 길이가 어떤 길이와 같을까? 정답은 가로 곱하기 높이인 wh이다. 아까 위에서 설명했던 것과 마찬가지로 뒷면의 넓이 역시 앞면과 동일하게 wh가 된다.
- 다시 우리가 계산하던 사각기둥의 예시로 돌아가보자. w = 3 인치, h = 5 인치이므로 넓이는 3 인치 x 5 인치 =15 제곱인치가 될 것이다. 뒷면의 넓이 역시 마찬가지로 15 제곱인치이다.
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왼쪽과 오른쪽면의 넓이 구하기. 이제 두 면의 넓이만 계산하면 끝이다. 게다가 운좋게도 두 면의 넓이는 같다. 이제 위의 그림을 보도록 하자. 왼쪽면은 세로 x 높이로 넓이를 구할 수 있는 것을 알 수 있다. 그러면 lh로 표시할 수 있고, 오른쪽면은 생각할 필요도 없이 lh로 쓰면 될 것이다.
- 우리 예시를 계속해서 풀어보자면, l = 4 인치, h = 5 인치이므로, 왼쪽면의 넓이 = 4 인치 x 5 인치 = 20 제곱인치가 될 것이다. 오른쪽면의 넓이 역시 20 제곱인치가 된다.
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여섯 면의 넓이 합치기. 이제 사각기둥의 모든 면의 넓이를 구했으니 다 합쳐서 전체 넓이, 즉, 겉넓이를 구해보자. 위에서 거쳐온 과정을 먼저 식으로 써보면 다음과 같을 것이다: lw + lw + wh + wh + lh + lh. 이 공식은 모든 사각기둥에 적용시킬 수 있으며, 겉넓이를 항상 정확하게 구할 수 있을 것이다.
- 마지막으로 계산을 정리해보겠다. 모든 단계의 파란 숫자를 합치면 된다: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 제곱인치가 우리에게 주어진 사각기둥의 겉넓이가 된다.
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공식 간략화하기

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공식 간략화하기. 여기까지 왔으면 당신은 세상에 존재하는 거의 모든 사각기둥의 겉넓이를 구할 수 있다고 해도 과언이 아니다. 하지만 겉넓이를 더 빠르게 구할 수 있는 방법이 있다. 만약 기본적인 교과 과정을 거쳤다면 다음처럼 공식을 간략화시키는 것이 쉽게 이해가 갈 것이다. 사각기둥의 겉넓이 = lw + lw + wh + wh + lh + lh. 이 식에서 같은 항을 모두 합한다면 아래와 같은 식을 얻을 수 있을 것이다:
- 사각기둥의 겉넓이 = 2lw + 2wh + 2lh
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공식의 2를 앞으로 빼기. 식을 묶는 방법을 학교에서 배웠다면 위 식을 더 짧게 만들 수도 있다:
- 사각기둥의 겉넓이 = 2lw + 2wh + 2lh = 2(lw + wh + lh).
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공식 사용해보기. 다시 처음에 우리에게 주어졌던 사각기둥을 생각해보자. 가로가 3, 세로가 4, 높이가 5인 사각기둥이었다. 이제 각 숫자를 공식에 대입해보자:
- 사각기둥의 겉넓이 = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4x3 + 3x5 + 4x5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 제곱인치. 이전에 구한 답과 같은 결과가 나왔다. 따라서 이 공식이 유효함을 알 수 있을 것이다. 이 공식을 사용하면 더 빨리 답을 구할 수 있으니 잘 활용하도록 하자.
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팁

넓이는 항상 "제곱단위"로 나타내야 한다. 제곱인치나 제곱센티미터처럼 말이다.^{[3]X출처 검색하기} 제곱센티미터는 말 그대로 가로가 1센티미터, 세로가 1센티미터인 사각형의 넓이를 의미한다. 만약 사각기둥의 겉넓이가 50제곱센티미터라면 앞에서 말한 가로 세로가 1센티미터인 사각형 50개가 그 안에 들어간다는 의미이다.
어떤 선생님은 가로 세로라는 말 대신에 폭(너비)과 깊이라는 용어를 사용하기도 한다. 어차피 구하는 방식은 똑같으니 공식에 잘못된 값을 대입하지 않게만 조심하면 된다.
사각기둥의 윗면이 어디인지 확실치 않다면 아무 곳이나 짚어 높이라고 부르면 된다. 보통 가로는 가장 긴 모서리를 의미하지만 그렇다고 항상 그런 것은 아니다. 당신이 정한 이름이 무엇이 되었든 제대로 된 값을 공식에 넣기만 하면 답은 항상 맞게 나올 것이다.^{[4]X출처 검색하기}