Как найти площадь поверхности прямоугольной призмы

Прямоугольная призма – название, используемое для обозначения шестигранного объекта, напоминающего обычную коробку. Представьте себе кирпич или коробку из-под обуви, и вы будете точно знать, что такое прямоугольная призма. Площадь поверхности призмы – это суммарная площадь всех ее граней. Вычисление площади поверхности призмы аналогично ответу на вопрос "сколько бумаги понадобится для того, чтобы обернуть эту коробку?".

Часть 1

Часть 1 из 2:

Вычисление площади поверхности

Загрузить PDF

1
Отметьте длину, ширину и высоту призмы. У каждой прямоугольной призмы есть длина, ширина и высота. Нарисуйте призму и подпишите ее различные ребра латинскими буквами l, w и h.
- Если вы не уверены, как отметить какое ребро, выберите любой угол призмы. Отметьте соответствующими буквами три ребра, выходящие из этого угла.
- Пусть, например, основанием призмы является прямоугольник 3 на 4 сантиметра, а высота призмы составляет 5 сантиметров. Так как длинная сторона основания равна 4 сантиметрам, получаем l = 4, w = 3 и h = 5.
2
Взгляните на шесть граней призмы. Чтобы покрыть всю поверхность фигуры, необходимо закрасить все ее шесть граней. Представьте себе каждую грань, либо возьмите коробку из-под овсяных хлопьев и посмотрите на нее:
- По одной грани расположено сверху и снизу, причем они имеют одинаковый размер.^{[1]XИсточник информации}
- По одной грани находится впереди и сзади, их площади равны.
- По грани расположено слева и справа, они также одинаковы.
- Если вам сложно представить эту картину, разрежьте коробку по краям и разверните ее.^{[2]XИсточник информации}
3
Найдем площадь основания призмы. Для начала узнаем площадь лишь одной грани, а именно, нижней. Эта грань, как и все остальные, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника была отмечена вами как длина, а вторая – как ширина. Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длину двух его сторон. Таким образом, Площадь (нижней грани) = длина, умноженная на ширину = lw.
- Возвращаясь к нашему примеру, для площади основания призмы получаем 4 сантиметра x 3 сантиметра = 12 квадратных сантиметров.
4
Найдем площадь верхней грани. Но подождите – мы же установили, что верхняя и нижняя грань имеют одинаковую площадь. Таким образом, площадь верхней грани также равна lw.
- В нашем примере площадь верхней грани составляет 12 квадратных сантиметров.
5
Определим площадь передней и задней граней. Вернемся к нашему рисунку и взглянем на переднюю грань: ее сторонами являются ширина и высота. Таким образом, площадь передней грани = ширина, умноженная на высоту = wh. Площадь задней грани также составляет wh.
- В нашем примере w = 3 сантиметра и h = 5 сантиметров, поэтому площадь передней грани составляет 3 сантиметра x 5 сантиметров = 15 квадратных сантиметров. Площадь задней грани также равна 15 квадратным сантиметрам.
6
Вычислим площадь левой и правой граней. Их размер одинаков, поэтому достаточно найти площадь левой грани. Она ограничена длиной и высотой призмы. Таким образом, площадь левой грани составляет lh; площадь правой грани также равна lh.
- В нашем примере l = 4 сантиметра и h = 5 сантиметров, так что площадь левой грани = 4 сантиметра x 5 сантиметров = 20 квадратных сантиметров. Площадь правой грани также равна 20 квадратным сантиметрам.
7
Сложим найденные площади. Итак, мы нашли площадь каждой из шести граней призмы. Сложив их вместе, найдем площадь поверхности всей призмы: lw + lw + wh + wh + lh + lh. Эту формулу можно использовать для вычисления площади поверхности любой прямоугольной призмы.
- Завершая рассмотрение нашего примера, найдем площадь приведенной в нем призмы, сложив все синие числа, полученные ранее: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 квадратных сантиметра.
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 2:

Сокращенная формула

Загрузить PDF

1
Упростим формулу. Мы уже знаем, как вычислить площадь поверхности любой прямоугольной призмы. Однако это можно сделать быстрее, если провести несложные алгебраические преобразования. Начнем с полученного выше уравнения: Площадь прямоугольной призмы = lw + lw + wh + wh + lh + lh. Объединяя одинаковые слагаемые, получаем:
- Площадь прямоугольной призмы = 2lw + 2wh + 2lh
2
Вынесем за скобки общий множитель 2. Если вы умеете раскладывать на множители алгебраическое уравнение, эту формулу можно упростить следующим образом:
- Площадь прямоугольной призмы = 2lw + 2wh + 2lh = 2(lw + wh + lh).
3
Проверим полученную формулу на нашем примере. Вернемся к рассмотренной ранее призме в виде коробки с длиной 4, шириной 3 и высотой 5 сантиметров. Подставим эти числа в нашу формулу:
- Площадь = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4x3 + 3x5 + 4x5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 квадратных сантиметра. Этот ответ совпадает с тем, что мы получили ранее. С помощью данного уравнения площадь поверхности прямоугольной призмы можно вычислить намного быстрее.
Реклама

Советы

Площадь всегда измеряется в "квадратных единицах", таких как квадратные сантиметры или квадратные дюймы.^{[3]XИсточник информации} Квадратный сантиметр в точности соответствует своему названию: это площадь квадрата с длиной стороны 1 сантиметр. Если площадь поверхности призмы равна 50 квадратным сантиметрам, это значит, что для покрытия всей поверхности призмы понадобится ровно 50 таких квадратов.
Некоторые учителя вместо понятия "ширина" используют термин "глубина" призмы. Это неважно, лишь бы вы ясно различали три отдельные ребра призмы.
Если вы не уверены в том, где у призмы верх, высотой можно назвать любое из трех ребер. За длину обычно принимают самое длинное ребро, но и это не столь важно. Главное, пользоваться одними и теми же обозначениями на протяжении всего решения задачи.^{[4]XИсточник информации}