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この記事の共著者 : Grace Imson, MA. グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。
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標準偏差を計算することにより、標本のばらつき具合がわかります。[1]手元の標本やデータセットの標準偏差値を求めるためには、平均と分散の数値が必要になるため、まず幾つかの計算を行う必要があります。分散とは手元のデータが平均からどれだけ離れているかを測った数値です。[2] 標準偏差値は標本分散の平方根を求める方法で算出します。この記事では平均値、標本分散、標準偏差の計算方法をご紹介します。
ステップ
標本を見てみましょう。これは統計学のどんな計算においても、非常に重要なステップです。たとえそれが平均値や中央値のような単純な数値であったとしてもです。[3]- 標本に幾つの数値があるかを調べます。
- これらの数値には大幅な差がありますか？それとも小数点以下の違いだけですか？
- データの種類を調べましょう。標本の数値は何を表していますか？テストの点数、心拍数、身長、体重などかもしれません。
- 例えばテストの点数ならば、10、8、10、8、8、4、のような数値でしょう。
データをすべて収集します。平均値を計算するためには標本内のすべての数値が必要になります。[4]- 平均値は標本内の数値の平均を表しています。
- 平均値を出すためには、標本内のすべての数値を足して、数値の個数（n）で割ります。
- テストの点数の標本（10、8、10、8、8、4）には6個の数値が含まれています。したがってｎ＝６になります。
標本内の数を足します。これが平均値を計算する第一段階です。[5]- ここではテストの点数10、8、10、8、8、4を使って計算していきます。
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48 これが標本の合計です。
- もう一度計算を繰り返して合計を確認しましょう。
合計を数値の個数（ｎ）で割ります。この数値が標本の平均値です。[6]- テストの点数の標本には6個の数値があります。そのため ｎ＝６になります。
- テストの点数の合計は４８でしたので、４８をｎで割って平均値を計算します。
- 48 ÷6 = 8
- 標本の平均点数は48点です。
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標本分散を求めます。標本分散は標本の数値が平均からどれだけ離れているかを表したものです。[7]- この数値はデータのばらつきを示しています。
- 分散値の低い標本は数値が平均値の近くに集まっています。
- 分散値の高い標本は数値が平均値より離れています。
- 分散値は二つの標本の分布を比較するために用いられることがあります。
標本内のそれぞれの数値から平均値を引きます。これで各数値がどのくらい平均値から離れているかがわかります。[8]- 先ほどのテストの点数を例にすると、10、8、10、8、8、4の平均値は８でした。
- 10 - 8 = 2 8 - 8 = 0 10 - 8 = 2 8 - 8 = 0 8 - 8 = 0 4 - 8 = -4.
- 計算を見直して確認します。各数値が正確であることは次のステップに進むためにとても重要です。
先ほど引き算した各回答を２乗します。標本の分散値を計算するためにこの数値が必要になります。[9]- 標本の各数値（10、8、10、8、8、4）から平均値（８）を引き、２、０、２、０、０、-４という回答が得られました。
- 次に、分散値を求めます。22, 02, 22, 02, 02, (-4)2 = 4, 0, 4, 0, 0, 16
- 次に進む前に、計算の見直しをしましょう。
先ほど２乗した数値をすべて足します。この数値は２乗和といいます。[10]- 先ほどのテストの点数で２乗した数値は4, 0, 4, 0, 0, 16でした。
- 復習すると、まず各点数から平均値を引き、その数値を２乗した後に全数字を足しました。 (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-2)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
- ２乗和は24です。
2乗和を (n-1)で割ります。ｎは標本内の数値の個数でした。この計算で分散値を求めることができます。ｎではなくn-1で割るのは、母分散と標本分散の偏りをなくすためです。.[11]- 先ほどのテストの点数の標本 (10, 8, 10, 8, 8, 4) には6個の数値がありました。したがってn=6です。
- n-1 = 5
- この標本の2乗和は24でした。
- 24 ÷5 = 4.8
- この標本の分散値は4.8になります。
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標本分散を求める。標準偏差値の計算には標本分散が必要です。[12]- 標本分散とはデータが平均値からどれだけ離れているかを表した数値です。
- 標準偏差もこれに似ていますが、標本データのばらつきを表します。
- 先ほどのテストの点数の例では、標本分散が4.8でした。
標本分散の平方根（ルート）を計算します。これで得られる数値が標準偏差値です。[13]- 標本内の数値の68%は平均値との差が標準偏差値よりも小さいのが一般的です。
- 先ほどのテストの点数の例では、標本分散が4.8でした。
- √4.8 = 2.19. このテストの点数の例では、標準偏差値は2.19になります。
- テストの点数の標本(10, 8, 10, 8, 8, 4)の中では、6個のうちの5個の数値（83%）で平均値との差が標準偏差値よりも小さくなっています。
平均値の計算、標本分散の計算、標準偏差値の計算をもう一度見直しましょう。回答が正しいかどうかを確認します。[14]- 手書きで計算する場合も計算機を使った場合もすべての計算をきちんと書き留めることが大切です。
- 見直しで違う数値が得られたら、すべてのステップを確認する必要があります。
- どこで間違えたのかがわからなかったら、もう一度最初から計算をやり直して、前回の計算と比べます。
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出典
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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数学教師
この記事の共著者 : Grace Imson, MA. グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。 この記事は77,638回アクセスされました。
カテゴリ: 数学 | 学び・コミュニケーション
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