Cara Memfaktorkan Polinomial Tingkat Dua (Persamaan Kuadrat)

Polinomial berisi variabel (x) dengan sebuah pangkat, yang dikenal sebagai tingkat, dan beberapa suku dan/atau konstanta. Untuk memfaktorkan polinomial berarti memecah persamaan menjadi persamaan-persamaan lebih sederhana yang dapat dikalikan. Keterampilan ini ada pada Aljabar 1 dan yang lebih tinggi, dan mungkin sulit untuk dipahami jika kemampuan matematikamu tidak setara dengan level ini.

Metode 1

Metode 1 dari 7:

Memulai

Unduh PDF

Format standar untuk persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0
Mulailah dengan mengurutkan suku-suku dalam persamaanmu dari pangkat tertinggi hingga terendah, sama seperti format standar ini. Misalnya:

6 + 6x² + 13x = 0
Kita akan mengurutkan ulang persamaan ini sehingga lebih mudah untuk dikerjakan dengan memindahkan suku-sukunya saja:

6x² + 13x + 6 = 0
Memfaktorkan polinomial akan menghasilkan dua persamaan yang lebih sederhana yang dapat dikalikan untuk menghasilkan polinomial awalnya:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
Dalam contoh ini, (2x + 3) dan (3x + 2) adalah faktor-faktor persamaan awalnya, 6x² + 13x + 6.
Kalikan faktor-faktor yang kamu miliki. Kemudian, gabungkan suku-suku sejenis dan kamu sudah selesai. Mulailah dengan:

(2x + 3)(3x + 2)
Ayo kita coba, kalikan suku-sukunya menggunakan PLDT (pertama – luar – dalam – terakhir), menghasilkan:

6x² + 4x + 9x + 6
Dari sini, kita bisa menjumlahkan 4x dan 9x karena merupakan suku-suku sejenis. Kita tahu bahwa faktor-faktor kita benar karena kita mendapatkan persamaan awal kita:

6x² + 13x + 6
Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 7:

Trial and Error

Unduh PDF

Jika kamu memiliki polinomial yang cukup sederhana, kamu mungkin dapat menemukan faktor-faktornya sendiri hanya dengan melihatnya. Misalnya, setelah berlatih, banyak matematikawan dapat mengetahui bahwa persamaan 4x² + 4x + 1 memiliki faktor (2x + 1) dan (2x + 1) hanya dengan sering melihatnya. (Hal ini tentunya tidak akan mudah untuk polinomial yang lebih rumit). Untuk contoh ini, mari gunakan persamaan yang kurang sering digunakan:

3x² + 2x - 8

Menggunakan format persamaan ax² + bx + c = 0, identifikasi suku-suku a dan c dan tuliskan faktor-faktor yang dimiliki kedua suku. Untuk 3x² + 2x - 8, artinya:

a = 3 dan memiliki satu set faktor: 1 * 3
c = -8 dan memiliki empat set faktor: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dan -1 * 8.
Kamu akan mengisi tempat kosong yang sudah kamu buat dengan konstanta untuk setiap persamaan:

( x )( x )
Untuk suku a dalam contoh kita, 3x², hanya ada satu kemungkinan untuk contoh kita:

(3x )(1x )
Misalkan kita memilih 8 dan 1. Tuliskan di dalamnya:

(3x 8)(x 1)
Bergantung pada tanda-tanda pada persamaan awal, mungkin untuk mencari tanda-tanda untuk konstanta. Misalkan kita sebut dua konstanta adalah h dan k untuk dua faktor kita:

Jika ax² + bx + c maka (x + h)(x + k)
Jika ax² - bx - c atau ax² + bx - c maka (x - h)(x + k)
Jika ax² - bx + c maka (x - h)(x - k)
Untuk contoh kita, 3x² + 2x - 8, tanda-tandanya adalah:(x - h)(x + k), memberikan kita dua faktor:

(3x + 8) dan (x - 1)
Tes cepat pertama adalah dengan melihat jika suku di tengah setidaknya memiliki nilai yang benar. Jika tidak, kamu mungkin telah memilih faktor-faktor c yang salah. Ayo kita uji jawaban kita:

(3x + 8)(x - 1)
Dengan perkalian, kita mendapatkan:

3x² - 3x + 8x - 8
Menyederhanakan persamaan ini dengan menjumlahkan suku-suku sejenis (-3x) dan (8x), kita mendapatkan:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
Sekarang kita tahu bahwa kita pasti menggunakan faktor-faktor yang salah:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8
Dalam contoh kita, mari kita coba 2 dan 4 dan bukan 1 dan 8:

(3x + 2)(x - 4)
Sekarang suku c kita adalah -8, tetapi hasil perkalian luar/dalam kita (3x * -4) dan (2 * x) adalah -12x dan 2x, yang jika digabungkan tidak akan menghasilkan suku b +2x yang benar.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Ayo coba tukarlah 2 dan 4:

(3x + 4)(x - 2)
Sekarang, suku c kita (4 * 2 = 8) benar, tetapi hasil perkalian luar/dalam adalah -6x dan 4x. Jika kita menggabungkannya:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xKita cukup dekat dengan 2x yang kita cari, tetapi tandanya salah.
Kita akan menggunakan urutan yang sama, tetapi tukarlah persamaan yang memiliki tanda kurang:

(3x - 4)(x + 2)
Sekarang suku c tidak ada masalah, dan hasil perkalian luar/dalam sekarang adalah (6x) dan (-4x). Karena:

6x - 4x = 2x
2x = 2xSekarang kita bisa menggunakan positif 2x dari soal awalnya. Ini pasti adalah faktor-faktor yang benar.
Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 7:

Penguraian

Unduh PDF

Cara ini akan mengidentifikasi semua faktor-faktor yang mungkin dari suku-suku a dan c dan menggunakannya untuk mencari faktor-faktor yang benar. Jika angka-angkanya terlalu besar atau cara menebak sepertinya akan menghabiskan waktu, gunakan cara ini. Ayo gunakan contoh:

6x² + 13x + 6

Dalam contoh ini, a adalah 6 dan c juga 6.

6 * 6 = 36
Kita mencari dua angka yang merupakan faktor dari hasil perkalian a * c yang sudah kita identifikasi dan juga jika ditambahkan sama dengan suku b (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Mari gunakan k dan h untuk mewakili kedua angka yang kita miliki, 4 dan 9:

ax² + kx + hx + c
6x² + 4x + 9x + 6
Aturlah persamaan sehingga kamu bisa mengeluarkan faktor persekutuan terbesar dari kedua suku-suku pertama dan suku-suku kedua. Kelompok faktor haruslah sama. Tambahkan Faktor Persekutuan Terbesar dan letakkan di dalam tanda kurung di sebelah kelompok faktor; hasilnya adalah kedua faktormu:

6x² + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Iklan

Metode 4

Metode 4 dari 7:

Triple Play

Unduh PDF

Hampir sama seperti cara penguraian, cara triple play memeriksa faktor-faktor yang mungkin dari perkalian suku-suku a dan c dan menggunakannya nilai b. Coba gunakan contoh persamaan ini:

8x² + 10x + 2

Seperti cara penguraian, hal ini akan membantu kita mengidentifikasi kandidat-kandidat untuk suku b. Dalam contoh ini, a adalah 8 dan c adalah 2.

8 * 2 = 16
Langkah ini sama seperti cara penguraian – kita menguji dan membuang kandidat-kandidat untuk konstantanya. Hasil perkalian suku a dan c adalah 16, dan suku c adalah 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Ambillah kedua angka kita dari langkah sebelumnya – mari kita sebut h dan k – dan masukkan ke dalam persamaan:

((ax + h)(ax + k))/ a

Kita akan mendapatkan:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Dalam contoh ini, kita melihat jika (8x + 8) atau (8x + 2) dapat dibagi dengan 8. (8x + 8) dapat dibagi dengan 8, sehingga kita akan membagi suku ini dengan a dan membiarkan faktor yang lain.

(8x + 8) = 8(x + 1)
Suku yang berada dalam tanda kurung di sini adalah yang tersisa setelah kita membaginya dengan suku a.
Dalam contoh ini, suku kedua, memiliki FPB 2, karena 8x + 2 = 2(4x + 1). Gabungkan hasil ini dengan suku yang kamu dapatkan dari langkah sebelumnya. Ini adalah faktor-faktor persamaanmu.

2(x + 1)(4x + 1)
Iklan

Metode 5

Metode 5 dari 7:

Selisih Akar Kuadrat

Unduh PDF

Beberapa koefisien dalam polinomial bisa merupakan ‘kuadrat’, atau hasil perkalian dua angka. Mengidentifikasi angka kuadrat ini memungkinkanmu untuk memfaktorkan beberapa polinomial dengan lebih cepat. Cobalah persamaan ini:

27x² - 12 = 0

Dalam kasus ini, kita bisa melihat bahwa 27 dan 12 dapat dibagi dengan 3, sehingga kita keluarkan:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)
Untuk menggunakan cara ini, kamu harus dapat mengakar kuadratkan kedua suku. (Perhatikan bahwa kita akan mengabaikan tanda negatifnya – karena angka-angka ini adalah kuadra sehingga bisa merupakan hasil perkalian dua angka positif atau negatif)

9x² = 3x * 3x dan 4 = 2 * 2
Kita akan mengambil nilai a dan c dari langkah kita di atas - a = 9 dan c = 4, kemudian mencari akar kuadratnya - √a = 3 dan √c = 2. Hasilnya adalah koefisien persamaan faktor:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Iklan

Metode 6

Metode 6 dari 7:

Rumus Kuadrat

Unduh PDF

Jika semua cara lain gagal dan persamaan tidak dapat difaktorkan dengan bulat, gunakan rumus kuadrat. Cobalah contoh ini:

x² + 4x + 1 = 0

x = -b ± √(b² - 4ac)
---------------------
2a
Kita mendapatkan persamaan:

x = -4 ± √(4² - 4•1•1) / 2
Kamu akan mendapatkan dua nilai. Seperti yang ditunjukkan di atas, kita mendapatkan dua jawaban:

x = -2 + √(3) or x = -2 - √(3)
Masukkan nilai-nilai x yang sudah kamu dapatkan ke dalam persamaan dua polinomial sebagai konstanta. Hasilnya adalah faktor-faktormu. Jika kita menyebut jawaban kita h dan k, kita menuliskan kedua faktor sebagai berikut:

(x - h)(x - k)
Dalam contoh ini, jawaban akhir kita adalah:

(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
Iklan

Metode 7

Metode 7 dari 7:

Menggunakan Kalkulator

Unduh PDF

Jika kamu diperbolehkan untuk menggunakan kalkulator, kalkulator grafik membuat proses pemfaktoran jauh lebih mudah, terutama untuk tes terstandardisasi. Instruksi ini adalah untuk kalkulator grafik TI. Kita akan menggunakan contoh persamaan:

y = x² − x − 2

Kamu akan menggunakan pemfaktor persamaan, yang tertulis [Y = ] pada layar.
Saat kamu sudah memasukkan persamaanmu, tekan [GRAPH] – kamu akan melihat kurva halus yang menggambarkan persamaanmu (dan bentuknya adalah kurva karena kita menggunakan polinomial).
3
Carilah lokasi perpotongan kurva dengan sumbu x. Karena persamaan polinomial biasanya ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, perpotongan ini adalah nilai kedua x yang menyebabkan persamaan bernilai nol:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Jika kamu tidak bisa mengidentifikasi letak perpotongan grafik dengan sumbu x dengan melihatnya, tekan [2nd] dan kemudian [TRACE]. Tekan [2] atau pilih zero (nol). Geserlah kursor ke bagian kiri perpotongan dan tekan [ENTER]. Geserlah kursor ke bagian kanan perpotongan dan tekan [ENTER]. Geserlah kursor sedekat mungkin dengan perpotongan dan tekan [ENTER]. Kalkulator akan menemukan nilai x. Lakukan juga hal ini untuk perpotongan yang lain.
Jika kita menamai kedua nilai x kita dengan h dan k, persamaan yang akan kita gunakan adalah:

(x - h)(x - k) = 0
Dengan demikian, kedua faktor kita adalah:

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Iklan

Tips

Jika kamu memiliki kalkulator TI-84 (grafik), ada program bernama SOLVER yang akan menyelesaikan persamaan kuadratmu. Program ini akan menyelesaikan polinomial tingkat berapapun.
Jika sebuah suku tidak ditulis, koefisiennya 0. Akan membantu untuk menulis ulang persamaan jika hal ini terjadi, contoh: x² + 6 = x² + 0x + 6.
Jika kamu memfaktorkan polinomialmu menggunakan rumus kuadrat dan mendapatkan jawabannya dalam bentuk akar, kamu mungkin ingin mengubah nilai x menjadi pecahan untuk memeriksanya.
Jika sebuah suku tidak memiliki koefisien tertulis, koefisiennya adalah 1, contoh: x² = 1x².
Setelah cukup berlatih, lama-kelamaan kamu akan dapat memfaktorkan polinomial di kepalamu. Sampai kamu bisa melakukannya, pastikan untuk selalu menulis caranya.

Peringatan

Jika kamu mempelajari konsep ini di kelas matematika, perhatikan yang disarankan oleh gurumu dan jangan hanya menggunakan cara favoritmu. Gurumu mungkin memintamu untuk menggunakan cara tertentu dalam ujian atau tidak memperbolehkan kalkulator grafik.