Come Calcolare la Pendenza di una Retta Passante per due Punti

Saper calcolare la pendenza di una retta (anche chiamata "coefficiente angolare") è una capacità essenziale per poter affrontare la geometria analitica, dove spesso viene utilizzata per tracciare rette all'interno del piano cartesiano o per determinare i punti di intersezione di una linea con l'asse X e Y. La pendenza di una retta misura la sua inclinazione ^{[1]XFonte di ricerca} e si calcola eseguendo il rapporto fra lo spostamento verticale e orizzontale della retta in esame. È possibile calcolare la pendenza di una retta in modo semplice e veloce utilizzando le coordinate di due punti che la compongono.

Parte 1

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Impostare il Problema

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La pendenza di una linea è definita dall'inclinazione di quest'ultima rispetto all'asse orizzontale del piano cartesiano (o rispetto a una qualunque altra retta orizzontale), cioè dal rapporto fra la variazione verticale e orizzontale che separa due punti appartenenti alla retta in esame.
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Scegli due punti che ricadono sulla retta oggetto dello studio, quindi indica le rispettive coordinate. È possibile scegliere due punti qualunque che compongono la linea di cui si desidera calcolare la pendenza.
- Questo metodo può essere utilizzato anche se si conoscono solo le coordinate di due punti appartenenti alla retta senza averla rappresentata graficamente all'interno di un piano cartesiano.
- Le coordinate di un punto vengono fornite nella forma $(x,y)$ , dove $x$ rappresenta la posiziona del punto rispetto all'asse X (cioè quello delle ascisse), mentre $y$ rappresenta la posizione del punto rispetto all'asse Y (cioè quelle delle ordinate).
- Per esempio, ipotizziamo di aver scelto due punti espressi dalle seguenti coordinate: $(3,2)$ e $(7,8)$ .
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Determina l'ordinamento dei due punti. Un punto rappresenta il punto 1, mentre il secondo rappresenta il punto 2. Non importa quale punto sarà denominato 1 e quale 2, l'importante è rispettare l'ordinamento corretto nel momento in cui si eseguono i calcoli.^{[2]XFonte di ricerca}
- Le coordinate del primo punto saranno espresse nella forma $(x_{1},y_{1})$ , mentre quelle del secondo punto saranno $(x_{2},y_{2})$ .
La formula è la seguente: $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . La differenza fra le coordinate Y dei due punti rappresenta la variazione verticale della linea, mentre la differenza fra le coordinate X rappresenta lo spostamento orizzontale.^{[3]XFonte di ricerca}
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Calcolare la Pendenza

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Sostituisci i valori delle ordinate (le coordinate dell'asse Y) dei due punti all'interno della formula per calcolare il coefficiente angolare. Assicurati di non confonderti utilizzando le coordinate relative alle ascisse dei due punti, quindi sostituisci i rispettivi valori con le variabili corrette della formula data.
- Per esempio, se il primo punto è identificato dalle coordinate $(3,2)$ , mentre il secondo dalle coordinate $(7,8)$ , la formula per il calcolo della pendenza dovrebbe apparire così:
  $m={\frac {8-2}{x_{2}-x_{1}}}$ .
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Sostituisci i valori delle ascisse dei due punti all'interno della formula per calcolare il coefficiente angolare. Anche in questo caso, assicurati di utilizzare le coordinate X dei due punti e di sostituirle con le rispettive variabili della formula data.
- Nel nostro esempio il primo punto è identificato dalle coordinate $(3,2)$ , mentre il secondo dalle coordinate $(7,8)$ , quindi la formula per il calcolo della pendenza dovrebbe apparire così:
  $m={\frac {8-2}{7-3}}$
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Esegui la differenza fra le coordinate che identificano le ordinate dei due punti presi in esame. In questo modo, misuri lo spostamento della retta lungo l'asse verticale.
- Nel nostro esempio le ordinate di ciascun punto sono $8$ e $2$ , quindi il risultato che ottieni dovrebbe essere: $8-2=6$ .
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Calcola la differenza fra le ascisse dei due punti. In questo modo ottieni lo spostamento della retta lungo l'asse orizzontale.
- Nel nostro esempio le ascisse di ciascun punto sono $7$ e $3$ , quindi il risultato finale è $7-3=4$ .
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Se possibile, semplifica la frazione. Il risultato ottenuto rappresenta il coefficiente angolare della retta studiata.
- Per avere maggiori informazioni su come semplificare una frazione consulta questo articolo.
- Nel nostro esempio abbiamo ottenuto la frazione ${\frac {6}{4}}$ , che può essere semplificata in ${\frac {3}{2}}$ . Giunti a questo punto, possiamo affermare che il coefficiente angolare di una retta passante per i punti $(3,2)$ e $(7,8)$ di un piano cartesiano è pari a ${\frac {3}{2}}$ .
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Fai molta attenzione quando lavori con i numeri negativi. La pendenza di una linea può essere sia positiva sia negativa. Una retta che ha un coefficiente angolare positivo sarà inclinata verso l'alto, muovendosi da sinistra e proseguendo verso destra, mentre una linea con una pendenza negativa avrà il comportamento opposto, sarà inclinata verso il basso muovendosi anch'essa da sinistra verso destra.
- Ricorda che se il numeratore e il denominatore della frazione sono entrambi negativi, il coefficiente angolare della retta sarà positivo.
- Se solo uno fra numeratore e denominatore della frazione è negativo, allora la pendenza della retta in esame sarà negativa.
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Verifica la correttezza del tuo lavoro. Per farlo, prendi in considerazione il numeratore e il denominatore del coefficiente angolare che hai calcolato senza aver operato alcuna semplificazione. Partendo dalla rappresentazione grafica del primo punto della retta presa in esame, spostati verticalmente del numero indicato dal numeratore, quindi spostati orizzontalmente del valore indicato dal denominatore.
- Se dopo aver effettuato tale verifica non hai raggiunto il secondo punto appartenente alla retta studiata, significa che i calcoli che hai effettuato sono errati.
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Consigli

In geometria analitica, il coefficiente angolare di una retta viene indicato spesso con la lettera $m$ . In questo modo, una volta calcolata la pendenza di una retta è possibile descriverla utilizzando l'equazione $y=mx+b$ , dove $m$ rappresenta il coefficiente angolare della retta e $b$ rappresenta l'intercetta (cioè l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Y).