Come Calcolare il Perimetro di un Rombo

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In questo Articolo:

Utilizzare la Lunghezza di un Lato

Utilizzare la Lunghezza delle Diagonali

Utilizzare una Diagonale e un Angolo

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Riferimenti

Il rombo è un parallelogramma speciale composto da 4 lati congruenti, cioè aventi la medesima lunghezza. Questa proprietà specifica del rombo permette di calcolarne il perimetro in molti modi diversi. Dato che tutti i lati che compongono questa figura geometrica sono identici, è possibile calcolarne il perimetro conoscendo la lunghezza di uno solo dei lati. Tuttavia utilizzando le conoscenze di geometria e trigonometrie è possibile calcolare il perimetro di un rombo anche quando non si conosce la misura dei suoi lati.

Passaggi

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Utilizzare la Lunghezza di un Lato

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   Imposta la formula per calcolare il perimetro di un rombo. Dato che, per definizione, i lati di questa figura geometrica sono tutti uguali, la formula da utilizzare è $P=4\times L$, dove $P$ rappresenta il perimetro e $L$ è la lunghezza di un singolo lato del rombo.

   • Se preferisci una maggior chiarezza puoi usare la formula $P=L+L+L+L$, dato che il perimetro di un qualunque poligono è definito come la somma della lunghezza di ogni singolo lato che lo compone.
   • Se sai che i lati della figura che stai studiando non sono tutti uguali significa che non stai lavorando con un rombo, quindi non puoi utilizzare la formula indicata per ricavarne il perimetro.
   • Se non conosci la lunghezza dei lati del rombo in esame, per calcolarne il perimetro non puoi affidarti a questo metodo. Dovrai valutare l'utilizzo di uno degli altri elencati nell'articolo.
   • Il quadrato è un caso particolare di rombo, dove i lati formano angoli di 90° fra loro.
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   Inserisci la lunghezza del lato del rombo in esame all'interno della formula mostrata. Assicurati di sostituire il valore con la variabile $L$.

   • Per esempio, ipotizzando che il rombo che stiamo studiando abbia i lati lunghi 4 m, la formula per calcolare il perimetro dovrebbe apparire così: $P=4\times (4)$.
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   Risolvi l'equazione in base a $$ P {\displaystyle P} . Per farlo occorre semplicemente moltiplicare il valore della variabile $L$ per 4.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $P=4\times (4)$
     $P=16$
     Possiamo affermare con certezza che il perimetro del rombo esaminato è quindi pari a $16{\text{ m}}$.
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Utilizzare la Lunghezza delle Diagonali

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   Nota che le due diagonali di un rombo lo suddividono in 4 triangoli rettangoli congruenti fra loro. Delinea uno di questi triangoli in modo da poterlo studiare attentamente. Utilizzeremo questa figura e le sue proprietà per risalire alla lunghezza dei lati del rombo originale.

   • Dato che i 4 triangoli ottenuti sono tutti uguali, non ha importanza quale sceglieremo per l'analisi.
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   Identifica l'angolo retto (cioè di 90°) del triangolo in esame. Le due diagonali di un rombo sono perpendicolari fra loro, quindi l'angolo al centro del triangolo preso come riferimento avrà un'ampiezza di 90°.
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   Identifica l'ipotenusa del triangolo. In un triangolo rettangolo si tratta del lato opposto all'angolo retto della figura. L'ipotenusa di un triangolo si identifica normalmente con la lettera $c$.

   • In questo caso particolare l'ipotenusa del triangolo in esame corrisponde anche a uno dei lati del rombo. Ecco quindi che, una volta calcolata la lunghezza di $c$, avrai automaticamente individuato la misura dei lati del rombo che stai analizzando.
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   Identifica e denomina gli altri due cateti del triangolo. Normalmente si utilizzano le variabili $a$ e $b$.
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   Calcola la lunghezza del cateto $$ a {\displaystyle a} . Per farlo occorre dividere la lunghezza della diagonale a cui appartiene $a$ per 2. Prendi nota della misura di questo lato del triangolo.

   • Dato che le diagonali di un rombo sono bisecanti fra loro, sappiamo a priori che i due segmenti in cui viene suddivisa ciascuna diagonale sono uguali. È proprio per questo motivo che possiamo calcolare la lunghezza di $a$ dividendo a metà la misura della diagonale a cui appartiene.
   • Per esempio, ipotizzando che la diagonale a cui appartiene il cateto $a$ sia lunga 12 m, possiamo risalire al valore di $a$ in questo modo:
     $a={\frac {12}{2}}$
     $a=6$
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   Calcola la lunghezza del cateto $$ b {\displaystyle b} . Per farlo occorre dividere la lunghezza della diagonale a cui appartiene il cateto $b$ per 2. Prendi nota della misura di questo lato del triangolo.

   • Per esempio, ipotizzando che la diagonale che dà vita al cateto $b$ sia lunga 16 m, possiamo calcolare il valore assunto da $b$ eseguendo questo calcolo:
     $b={\frac {16}{2}}$
     $b=8$
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   Imposta la formula del Teorema di Pitagora. Questo principio fondamentale della geometria afferma che $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Si tratta di una formula fondamentale per calcolare la lunghezza dei lati che compongono un triangolo rettangolo.
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   Sostituisci le variabili della formula del Teorema di Pitagora con i valori noti relativi al triangolo in esame. Assicurati di sostituire le variabili $a$ e $b$ con i valori individuati. L'ordine non è importante, dato che la proprietà commutativa dell'addizione ci garantisce che il risultato non cambierà.

   • Nel nostro esempio abbiamo calcolato che $a=6$ e $b=8$, quindi l'equazione finale dovrebbe apparire così: $6^{2}+8^{2}=c^{2}$.
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   Risolvi l'equazione ottenuta in base a $$ c {\displaystyle c} . Per farlo, occorre elevare al quadrato sia $a$ sia $b$, sommare i risultati ottenuti e infine calcolare la radice quadrata della somma.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $6^{2}+8^{2}=c^{2}$
     $36+64=c^{2}$
     $100=c^{2}$
     ${\sqrt {100}}={\sqrt {c^{2}}}$
     $10=c$
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    Moltiplica il valore di $$ c {\displaystyle c} per 4. Dato che l'ipotenusa del triangolo studiato coincide con il lato del rombo in esame, per calcolare il perimetro di quest'ultimo, basterà semplicemente usare la formula $P=4\times L$ e sostituire la variabile $L$ con il valore di $c$.

    • Nel nostro esempio, otterremo: $P=4\times L$
      $P=4\times (10)$
      $P=40$
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    Riporta il risultato finale nella forma corretta. Per farlo occorre riportare l'unità di misura idonea a identificare la lunghezza.

    • Nel nostro esempio, le diagonali del rombo misuravano rispettivamente 12 e 16 m, quindi il perimetro della figura sarà pari a 40 m.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Utilizzare una Diagonale e un Angolo

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   Identifica e denomina i vertici del rombo in esame, a meno che non sia già stato fatto. In questo caso non è importante il nome delle variabili che andrai a usare.

   • I vertici di un rombo sono rappresentati dai quattro punti in cui si incontrano i lati della figura.
   • Per esempio potresti denominarli nel seguente modo: $A$, $B$, $C$ e $D$.
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   Ricorda che le due diagonali di un rombo lo suddividono in quattro triangoli rettangoli congruenti. Delinea uno di questi rettangoli per poterlo studiare con più attenzione. Utilizzeremo questa figura e le sue proprietà geometriche e trigonometriche per risalire alla lunghezza dei lati del rombo originale.

   • Dato che i quattro triangoli sono congruenti, non ha importanza quale sceglieremo per eseguire i calcoli. Tuttavia, per semplicità, si dovrebbe evidenziare quello che condivide l'angolo noto con il rombo.
   • Per esempio, ipotizzando di sapere che l'angolo $DAB$ del rombo misura 70°, delineeremo il triangolo che include il vertice A.
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   Identifica l'angolo retto (cioè di 90°) del triangolo in esame. Le due diagonali di un rombo sono perpendicolari fra loro, quindi l'angolo al centro del triangolo preso come riferimento avrà un'ampiezza di 90°. Se l'angolo in esame non è ancora stato etichettato, evidenzialo con la lettera $E$.
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   Determina l'ampiezza dell'angolo $$ E A B {\displaystyle EAB} . Ricorda che le diagonali di un rombo sono bisecanti, quindi suddividono ciascun vertice della figura in due angoli uguali. Per questo motivo, se conosciamo l'ampiezza dell'angolo $DAB$ del rombo ci basterà dividerlo a metà per conoscere quella dell'angolo $EAB$ del triangolo in esame. Prendi nota dell'ampiezza, espressa in gradi, di questo angolo.

   • Questo metodo di calcolo non può essere utilizzato se non si conosce l'ampiezza di almeno uno degli angoli ai vertici del rombo studiato.
   • Nel nostro esempio sappiamo che l'angolo $DAB$ del rombo ha un'ampiezza di 70°, quindi l'angolo $EAB$ del triangolo in esame avrà un'ampiezza di 35°.
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   Calcola l'ampiezza dell'angolo mancante. Ricorda che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°. Partendo da questa regola e conoscendo l'ampiezza di due angoli possiamo calcolare quella del terzo eseguendo una semplice sottrazione. Prendi nota anche dell'ampiezza in gradi di quest'ultimo angolo del triangolo che stai analizzando.

   • Nel nostro esempio sappiamo che l'angolo $AEB$ misura 90° e che l'angolo $EAB$ è pari a 35°. Per calcolare l'ampiezza del terzo angolo della figura sommeremo i due valori in nostro possesso e sottrarremo il risultato da 180 ottenendo:
     $90+35=125$
     $180-125=55$
     A questo punto possiamo affermare che l'angolo $ABE$ del triangolo in esame ha un'ampiezza di 55°.
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   Calcola la lunghezza di uno dei cateti del triangolo. Per farlo, occorre semplicemente dividere a metà la diagonale a cui appartiene. Al termine dei calcoli, prendi nota del risultato ottenuto.

   • Dato che le diagonali di un rombo sono bisecanti fra loro, sappiamo a priori che i due segmenti in cui viene suddivisa ciascuna diagonale sono uguali.
   • Questo metodo non può essere utilizzato se non si conosce almeno la lunghezza di una delle due diagonali del rombo studiato.
   • Per esempio, ipotizzando che la lunghezza della diagonale $AC$ sia 16 cm, possiamo calcolare la misura del cateto $AE$ del triangolo ottenendo:$16\div 2=8$. A questo punto, sappiamo che il cateto $AE$ misura $8{\text{ cm}}$.
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   Utilizza le funzioni trigonometriche seno e coseno. Per stabilire quando usare il seno e quando il coseno occorre sapere analizzare i dati in nostro possesso. In altre parole, la scelta della funzione trigonometrica corretta da usare dipende da quale cateto e quale angolo del triangolo in esame conosciamo. Consulta questo articolo per avere maggiori informazioni su come utilizzare le funzioni trigonometriche nello studio dei triangoli rettangoli.

   • Se conosci la lunghezza del lato opposto all'angolo noto, devi utilizzare la funzione seno. Imposta la formula $\sin(\theta )={\frac {LatoOpposto}{h}}$, dove $\theta$ è l'ampiezza dell'angolo, "LatoOpposto" è la lunghezza del lato del triangolo opposto all'angolo e $h$ è la lunghezza dell'ipotenusa.
   • Se conosci la lunghezza del cateto adiacente all'angolo noto, devi utilizzare la funzione coseno. La formula da utilizzare in questo caso è $\cos(\theta )={\frac {LatoAdiacente}{h}}$, dove $\theta$ è l'ampiezza dell'angolo noto, "LatoAdiacente" è la lunghezza del lato del triangolo adiacente all'angolo e $h$ è la lunghezza dell'ipotenusa.
   • Nel nostro esempio sappiamo che l'angolo $EAB$ del triangolo analizzato misura 35° e che il lato adiacente è lungo 8 cm. In questo caso dobbiamo quindi utilizzare la funzione coseno ottenendo:
     $\cos(35)={\frac {8}{h}}$
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   Risolviamo l'equazione in base a $$ h {\displaystyle h} per ottenere la lunghezza dell'ipotenusa. Come sappiamo, l'ipotenusa del triangolo in esame corrisponde anche al lato del rombo, quindi dobbiamo calcolare questo valore per poter ricavare il perimetro del nostro rombo.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $\cos(35)={\frac {8}{h}}$
     $0,819={\frac {8}{h}}$
     $0,819\times h=8$
     ${\frac {0,819\times h}{0,819}}={\frac {8}{0,819}}$
     $h=9,768$
     A questo punto possiamo affermare che l'ipotenusa del triangolo analizzato, cioè il lato $AB$, misura circa 9,77 cm.
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   Moltiplica il valore dell'ipotenusa per 4. Dato che l'ipotenusa del triangolo studiato coincide con il lato del rombo in esame, per calcolare il perimetro di quest'ultimo basterà semplicemente usare la formula $P=4\times L$ e sostituire la variabile $L$ con la lunghezza dell'ipotenusa, $h$.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $P=4\times L$
     $P=4\times (9,768)$
     $P=39,07$
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    Riporta il risultato finale nella forma corretta. Utilizzando questo metodo occorre eseguire un arrotondamento, dato che le funzioni seno e coseno danno spesso come risultato dei valori decimali. Non dimenticare di riportare anche l'unità di misura corretta.

    • Nel nostro esempio, il perimetro del rombo avente l'angolo $DAB$ di ampiezza pari a 70° e diagonale $AC$ lunga 16 cm, è pari a circa 39 cm.
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Consigli

• È possibile calcolare il perimetro di qualunque poligono (triangoli, rettangoli, quadrati, pentagoni o una qualsiasi figura composta da segmenti) sommando la lunghezza dei singoli lati che lo compongono. Al contrario, il cerchio e tutte le altre figure composte da linee curve richiedono l'utilizzo di formule apposite.

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