Come Calcolare Potenze con Esponenti Negativi

L'esponente delle potenze indica il numero di volte che occorre moltiplicare per se stesso il numero che rappresenta la base della potenza. Per esempio, nel caso della potenza $3^{3}$ , si intuisce immediatamente che il numero $3$ deve essere moltiplicato per se stesso $3$ volte ottenendo come risultato $27$ . Nel caso di potenze con esponenti negativi, significa che prima di calcolare la potenza occorre calcolare il reciproco di tale potenza. La nomenclatura delle potenze con esponenti negativi contempla diverse forme: $2^{-2},{\frac {(2^{-2})}{1}},{\frac {1}{(2^{2})}},$ o ${\frac {1}{2x2}}$ . Prima di poter svolgere i calcoli all'interno di un'equazione che presenta potenze con esponenti negativi, occorre trasformare questi ultimi in positivi. Anche se può sembrare un processo molto complesso, calcolare le potenze con esponente negativo è semplice e segue regole ben precise.^{[1]XFonte di ricerca}

Parte 1

Parte 1 di 2:

Esaminare gli Esponenti Negativi

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Comprendi le basi relative alle potenze con esponenti negativi. Normalmente appaiono scritte come un numero che presenta un esponente negativo, per esempio $3^{-3},5^{-2},$ $How.com.vn Italiano: {\displaystyle 3^{-3},5^{-2},}$ o $7^{-4}$ $How.com.vn Italiano: {\displaystyle 7^{-4}}$ . Il numero di dimensioni più grandi rappresenta la base della potenza mentre quello di dimensioni più piccole rappresenta l'esponente che come visto può essere positivo o negativo. L'esponente di una potenza indica semplicemente quante volte il numero che rappresenta la base va moltiplicato per se stesso.^{[2]XFonte di ricerca}
- Ci si riferisce alle potenze, con esponente positivo o negativo che sia, anche con il termine "elevamento a potenza" o "elevare un numero alla potenza di".
- Per risolvere un'equazione in cui sono presenti potenze con esponenti negativi, occorre per prima cosa trasformare questi ultimi in positivi.
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Per convertire le potenze con esponenti negativi in normali potenze, occorre trasformarle in frazioni, cioè calcolarne il reciproco. L'esponente negativo di una potenza indica solamente che il numero alla base della potenza stessa si trova al numeratore della frazione, mentre dovrebbe essere al denominatore. Per semplificare l'espressione trasformando l'esponente da negativo a positivo, occorre semplicemente scrivere la potenza sotto forma di frazione, dove quest'ultima viene messa al denominatore e al numeratore viene riportato il numero $1$ $How.com.vn Italiano: 1$ . Eseguendo questo passaggio sarà molto più semplice comprendere come eseguire i calcoli quando dovrai lavorare con questo tipo di potenze all'interno di un'equazione.^{[3]XFonte di ricerca}
- Per convertire l'esponente negativo della potenza in positivo, occorre calcolare il reciproco della base, cioè riportare il valore 1 al numeratore della frazione e la potenza al denominatore.
- Elimina il segno negativo dell'esponente della potenza trasformandolo in positivo.
- Le potenze $3^{-3},5^{-2},$ e $7^{-4}$ dopo la conversione appariranno così: ${\frac {1}{(3^{3})}},{\frac {1}{(5^{2})}},$ e ${\frac {1}{(7^{4})}}$ .
- Questo processo è la regola generale con cui si calcolano e si semplificano le potenze negative.
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Semplifica le potenze negative quando la base è rappresentata da un valore sconosciuto. Dopo aver appreso il metodo con cui si calcolano le potenze negative, puoi passare ad affrontare espressioni più complesse. Le cose diventano leggermente più complicate quando come base della potenza negativa non c'è più un numero, ma un'incognita, per esempio "x" o "y". Tuttavia, il processo di semplificazione mediante il calcolo del reciproco della potenza non cambia ed è ancora perfettamente funzionale.^{[4]XFonte di ricerca}
- L'espressione $2x^{-1}$ può essere scritta anche nel seguente modo ${\frac {2x^{-1}}{1}}$ ed eseguendo la semplificazione si ottiene ${\frac {2}{({1x}^{1})}}$ .
- A questo punto, procedendo con la semplificazione dell'espressione ${\frac {2}{1x^{1}}}$ si ottiene ${\frac {2}{x}}$ .
- In questo caso solo la variabile "x" passa al denominatore della frazione perché presenta un esponente negativo.
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Scopri come gestire le potenze negative con un esponente frazionario. A volte anche l'esponente negativo di una potenza può essere una frazione. In questo scenario usa il medesimo approccio visto nei passaggi precedenti iniziando a calcolare il reciproco della base della potenza.^{[5]XFonte di ricerca}
- Per semplificare un esponente frazionario negativo di una potenza inizia calcolando il reciproco della base.
- Ipotizzando di dover lavorare sulla potenza $16^{-1/2}$ , inizia trasformando la base in un numero frazionario trasformando l'esponente della potenza da negativo a positivo una volta passato al denominatore della frazione.
- La potenza $16^{-1/2}$ diventerà quindi ${\frac {1}{16^{1/2}}}$
- L'espressione ${\frac {1}{16^{1/2}}}$ è equivalente alla seguente ${\frac {1}{\sqrt[{2}]{16}}}$
- Eseguendo i calcoli sull'espressione ${\frac {1}{\sqrt[{2}]{16}}}$ si otterrà come risultato ${\frac {1}{4}}$ .
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Comprendi la differenza fra esponente negativo e base negativa di una potenza. Quando si usano all'interno di un'equazione le potenze con base negative vanno gestite in modo diverso dalle potenze con esponente negativo. Le potenze con base negativa non vanno trasformate in frazione se l'esponente è positivo. Al contrario, se l'esponente è negativo, occorre calcolare il reciproco della base per poterlo trasformare in positivo.^{[6]XFonte di ricerca}
- Quando si ha a che fare con una potenza con esponente negativo e base positiva, occorre calcolarne il reciproco per poter trasformare anche l'esponente in un valore positivo.
- Per esempio, la potenza $6^{-2}$ può essere riscritta nel modo seguente: ${\frac {1}{6^{2}}}$
- Quando l'esponente di una potenza è positivo e la base è negativa, si applicano le regole standard delle potenze, quindi il valore alla base viene moltiplicato per se stesso il numero di volte indicato dall'esponente.
- Per esempio, la potenza $-5^{5}$ può essere scritta come $-5*-5*-5*-5*-5$ che dà come risultato $-3.125$ .
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Usa una calcolatrice per calcolare le equazioni con le potenze in modo rapido e semplice. Le calcolatrici elettroniche sono dotate di funzioni apposite per calcolare le potenze. Usa il pulsante "E", "^" o "e^x" per calcolare una qualsiasi potenza numerica. La calcolatrice ti permetterà di verificare con facilità la bontà del lavoro che hai svolto manualmente nel convertire e calcolare le potenze negative.^{[7]XFonte di ricerca}
- Ricorda di riportare gli esponenti negativi fra parentesi tonde: $4E(-6)$ .
- Usare la calcolatrice per risolvere le espressioni matematiche che includono delle potenze ti permette di trovare la soluzione in modo semplice e rapido senza dover eseguire conversioni e semplificazioni a mano.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Risolvere Equazioni con Potenze Negative

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Somma gli esponenti delle potenze che hanno la medesima base e che devono essere moltiplicate fra loro. Se devi moltiplicare fra loro due potenze che hanno la medesima base, puoi eseguire la somma algebrica degli esponenti. La base della potenza risultante sarà la medesima di quelle originali, mentre l'esponente diverrà un valore negativo più grande.^{[8]XFonte di ricerca}
- La seguente espressione $4^{-1/4}*4^{-1/4}$ può essere semplificata in questo modo $4^{-1/2}$
- Proseguendo con la semplificazione della potenza negativa $4^{-1/2}$ otterrai ${\frac {1}{4^{-1/2}}}$
- Eseguendo i calcoli sull'espressione ${\frac {1}{4^{-1/2}}}$ otterrai come risultato ${\frac {1}{\sqrt[{2}]{4}}}$ che semplificando diventa ${\frac {1}{2}}$
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Sottrai gli esponenti negativi delle potenze che hanno la medesima base e che devono essere divise fra loro. Nel caso della divisione fra potenze negative, se hanno la medesima base, è possibile semplicemente sottrarre gli esponenti. Quando devi calcolare il quoziente di due potenze negative che hanno la medesima base ed esponenti differenti, puoi semplicemente eseguire la sottrazione degli esponenti stessi. La potenza risultante avrà la medesima base di quelle di partenza.^{[9]XFonte di ricerca}
- Dato che gli esponenti sono negativi, eseguendo la sottrazione, l'esponente da sottrarre diventerà positivo.
- Sottraendo fra loro gli esponenti della seguente espressione ${\frac {2^{-7}}{2^{-2}}}$ si ottiene $(-7)-(-2)$ che semplificato diventa $(-7)+2$
- Eseguendo i calcoli si ottiene come risultato la potenza negativa $2^{-5}$ che può essere scritta anche nella forma seguente ${\frac {1}{2^{5}}}$
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Quando le potenze presentano basi diverse occorre conservare gli esponenti originali. Quando si moltiplicano o si dividono due potenze con esponenti uguali, ma basi diverse, l'esponente della potenza finale sarà identico a quelli originali. Quando si calcola il prodotto o il quoziente di potenze con basi diverse, ma con il medesimo esponente negativo, quest'ultimo rimane invariato. In questo caso si eseguono i calcoli sulle basi delle potenze conservando l'esponente originale.^{[10]XFonte di ricerca}
- Applicando il principio descritto all'espressione $7^{-6}*8^{-6}$ si ottiene $56^{-6}$
- Eseguendo i calcoli di questa espressione di esempio $5^{-1/6}*20^{-1/6}$ si ottiene come risultato $100^{-1/6}$
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Fai pratica sulle equazioni con potenze negative per diventare un esperto. Dopo aver compreso i principi e le regole di base delle potenze negative, l'unica cosa che rimane da fare è esercitarti nel risolvere equazioni diverse. Le regole descritte in precedenza non cambiano e vanno applicate sempre allo stesso modo. Mediante lo studio delle regole e dei principi di base e facendo pratica la matematica diverrà piacevole e interessante.
- $16^{-1/4}+4^{-2}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{16}}}+{\frac {1}{(4^{2})}}$
- ${\frac {1}{\sqrt[{4}]{16}}}+{\frac {1}{(4^{2})}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}$
- ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}={\frac {8}{16}}+{\frac {1}{16}}$
- ${\frac {8}{16}}+{\frac {1}{16}}={\frac {9}{16}}$
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