Den Standardfehler berechnen

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In diesem Artikel:

Grundlagen

Die Standardabweichung berechnen

Berechnung des Standardfehlers

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Literaturhinweise

“Standardfehler” bezieht sich auf die Standardabweichung der Stichprobenverteilung einer Statistik. Er kann also unter anderem dazu benutzt werden, die Genauigkeit des Stichprobenmittelwertes als Schätzung für den Erwartungswert zu messen. Viele Anwendungen des Standardfehlers nehmen implizit eine Normalverteilung an. Wenn du den Standardfehler berechnen willst, dann lies weiter.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 3:

Grundlagen

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   Standardabweichung. Die Standardabweichung einer Stichprobe ist ein Maß, wie verstreut die Werte sind. Die Stichproben-Standardabweichung wird im allgemeinen mit s bezeichnet. Die mathematische Formel für die Standardabweichung ist im Bild gezeigt.
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   Mittelwert der Grundgesamtheit. Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist der Mittelwert von numerischen Daten, die alle Werte der gesamten Gruppe enthalten – mit anderen Worten: Der Durchschnitt aller Werte und nicht nur der einer Stichprobe.
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   Arithmetisches Mittel. Das arithmetisches Mittel ist einfach ein Durchschnitt: Die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.
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   Stichproben-Mittelwert. Wenn ein arithmetisches Mittel auf einer Reihe von Beobachtungen basiert, die durch Ziehen einer Stichprobe aus einer statistischen Grundgesamtheit gewonnen wurden, dann heißt es “Stichproben-Mittelwert”. Es ist der Durchschnitt von numerischen Werten, die nur einen Teil der Gruppe ausmachen. Er wird wie im Bild gezeigt bezeichnet.
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   Normalverteilung. Normalverteilungen, die am häufigsten unter allen Verteilungen benutzt werden, sind symmetrisch, mit einem einzelnen Maximum in der Mitte (dem Erwartungswert). Die Form der Kurve ist glockenartig, wobei sie gleichmäßig auf beiden Seiten des Erwartungswertes abfällt. 50% der Verteilung liegt links vom Erwartungswert und 50% rechts. Die Streuung der Normalverteilung wird durch die Standardabweichung bestimmt.
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   Grundlegende Formel. Die Formel für den Standardfehler des Stichproben-Mittelwertes wird im Bild gezeigt.
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Die Standardabweichung berechnen

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   Berechnung des Stichproben-Mittelwertes. Um den Standardfehler zu bestimmen, müssen wir zuerst die Standardabweichung berechnen, denn die Standardabweichung s ist Teil der Formel für den Standardfehler. Fange an, den Mittelwert deiner Stichprobe zu berechnen. Der Stichproben-Mittelwert ist das arithmetische Mittel der Messungen x1, x2, . . ., xn. Er wird mit der im Bild gezeigten Formel berechnet.

   • Angenommen, du willst den Standardfehler für den Stichproben-Mittelwert der Gewichtsmessung von fünf Münzen berechnen (siehe Tabelle im Bild).
     Du kannst den Stichproben-Mittelwert berechnen, indem du die Gewichtswerte in die Formel einsetzt (siehe Bild).
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   Subtrahiere den Stichproben-Mittelwert von jedem Messwert und quadriere den Wert. Wenn du den Stichproben-Mittelwert berechnet hast, kannst du die Tabelle erweitern, indem du ihn von jedem einzelnen Messwert subtrahierst und dann das Ergebnis quadrierst.

   • In obigem Beispiel sieht die erweiterte Tabelle wie im Bild aus.
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   Bestimme die Abweichung deiner Messwerte vom Stichproben-Mittelwert. Die Abweichung ist der Durchschnitt dieser quadrierten Differenzen. Addiere deine neuen Werte, um sie zu berechnen.

   • In obigem Beispiel kann man es wie im Bild gezeigt berechnen.
     Die Formel ergibt die quadratische Abweichung vom Stichproben-Mittelwert. Beachte, dass das Vorzeichen der Differenzen nicht wichtig ist.
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   Berechne die durchschnittliche quadratische Abweichung deiner Messwerte vom Stichproben-Mittelwert. Wenn du die gesamte Abweichung berechnet hast, kannst du die durchschnittliche Abweichung bestimmen, indem du durch n -1 teilst. Beachte, dass n die Anzahl der Messwerte ist.

   • In obigem Beispiel haben wir fünf Messwerte, also ist n – 1 gleich 4. Du kannst es wie im Bild gezeigt berechnen.
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   Bestimme die Standardabweichung. Du kennst jetzt alle benötigten Werte, um die Formel für die Standardabweichung s zu benutzen.

   • In obigem Beispiel kannst du die Standardabweichung wie im Bild gezeigt berechnen.
     Deine Standardabweichung beträgt 0,0071624 g.
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Berechnung des Standardfehlers

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   Berechne den Standardfehler mit Hilfe der Standardabweichung, indem du die grundlegende Formel benutzt.

   • In unserem Beispiel kann der Standardfehler wie im Bild gezeigt berechnet werden.
     Der Standardfehler (die Standardabweichung des Stichproben-Mittelwertes) ist deshalb 0,0032031 g.

Tipps

• Standardfehler und Standardabweichung werden oft verwechselt. Beachte, dass der Standardfehler die Standardabweichung der Stichproben-Verteilung einer Statistik angibt, nicht die der Verteilung einzelner Werte.
• In wissenschaftlichen Zeitschriften werden die Begriffe Standardfehler und Standardabweichung manchmal nicht sauber benutzt.
• Das Zeichen ± wird oft benutzt, um den Standardfehler und den geschätzten Wert zu verbinden.

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