Преобразование Лежандра
Преобразование Лежандра для заданной функции — это построение функции , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве .
Мотивация
правитьВозможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.
Выражение для дифференциала
в силу того, что , может быть записано в виде
Если теперь принять, что
что и является преобразованием Лежандра , тогда
При этом новая переменная равна старой производной, а старая переменная
равна новой производной:
Определения могут отличаться знаком . Если исходных переменных
больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.
Определение
правитьАналитическое определение
правитьПреобразованием Лежандра функции , заданной на подмножестве
векторного пространства
, называется функция
, определенная на подмножестве
сопряжённого пространства
по формуле
где — значение линейного функционала
на векторе
. В случае гильбертова пространства
— обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в
, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам
причём нужно выразить через
из второго уравнения.
Геометрический смысл
правитьДля выпуклой функции её надграфик
есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции
. Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции
есть естественная область определения её преобразованием Лежандра
Если
— опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось
в некоторой единственной точке. Её
-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции
.
Соответствие определено однозначно в области, где функция
дифференцируема. Тогда
— касательная гиперплоскость к графику
в точке
.Обратное соответствие
определено однозначно тогда и только тогда, когда функция
строго выпукла. В этом случае
— единственная точка касания опорной гиперплоскости
с графиком функции
Если функция дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие
сопоставляющее гиперплоскости
дифференциал функции
в точке
. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции
в пространство ковекторов
которыми являются дифференциалы функции
.
В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика
. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра всё равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.
Свойства
править- Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть
. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f* = g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,
,
- где
— выпуклое замыкание функции f.
- Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:
, причём равенство достигается, только если p = F́(x).
- (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции
, a > 1.)
- В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия
по переменной
. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x, p), а уравнения Эйлера — Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
- Используя тот факт, что
, легко показать, что
.
Примеры
правитьСтепенная функция
правитьРассмотрим преобразование Лежандра функции , (
,
), определённой на
. В случае чётного n можно рассматривать
.
Отсюда выражаем , получаем
Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:
Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра даёт исходную функцию .
Функция многих переменных
правитьРассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве следующего вида:
действительная, положительно определённая матрица,
константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с
. Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции
.
В силу положительной определённости матрицы , мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого
существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:
Применения
правитьГамильтонова механика
правитьВ лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:
, со стандартными евклидовым скалярным произведением. Матрица
считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть
можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:
Термодинамика
правитьВ термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как
К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:
Энергия тут представлена как функция переменных . Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:
В общем случае, если мы хотим перейти от функции к функции
, то следует сделать преобразование Лежандра:
Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра
правитьВ квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются , где
— некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию[1]:
Знак интегрирование обычно не пишут. определяется следующим выражением[1]:
означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее
и
. Действительно:
Другими словами, функционалы и
, с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:
Примечания
правитьЛитература
править- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
- Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л., 1976. — 295 с.