Производящий функционал корреляционных функций определяется следующим образом:
где — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой выглядит следующим образом:
.
Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:
Связь корреляционных функций с производящим функционалом
Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:
связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:
где — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.
Ясно, что определённый так как приведено выше функционал
сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра . Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия :
где — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина
Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) в диаграммном представлении состоит для из всех возможных для данной теории диаграмм, для только из связных, а для только из 1-неприводимых.
Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.