लजान्द्र रूपान्तर

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

Df=\left(Dg\right)^{-1}

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा

उदाहरण के लिये, फलन $f(x)={\tfrac {x^{2}}{2}}$ तथा फलन $g(p)=-{\tfrac {p^{2}}{2}}$ एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ^* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.

उपयोग

(१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये,
(२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism
(३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में,
(३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण

Let $f (x) = cx 2$ defined on $R$ , where $c > 0$ is a fixed constant.

For $x *$ fixed, the function $x * x - f (x) = x * x - cx 2$ of $x$ has the first derivative $x * - 2 cx$ and second derivative $-2 c$ ; there is one stationary point at $x = x */2 c$ , which is always a maximum. Thus, $I * = R$ and

f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}

Clearly,

f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2},

namely $f ** = f$ .

द्वितीय उदाहरण

Let $f (x) = x 2$ for $x \in I = [2, 3]$ .

For $x *$ fixed, $x * x - f (x)$ is continuous on $I$ compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that $I * = R$ . The stationary point at $x = x */2$ is in the domain $[2, 3]$ if and only if $4 \leq x * \leq 6$ , otherwise the maximum is taken either at $x = 2$ , or $x = 3$ . It follows that

f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,\quad &x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leqslant x^{*}\leqslant 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6\end{cases}}

.

तृतीय उदाहरण

The function $f (x) = cx$ is convex, for every $x$ (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly $x * x - f (x) = (x * - c) x$ is never bounded from above as a function of $x$ , unless $x * - c = 0$ . Hence $f *$ is defined on $I * = {c$ } and $f *(c) = 0$ .

One may check involutivity: of course $x * x - f *(x *)$ is always bounded as a function of $x * \in {c$ }, hence $I ** = R$ . Then, for all $x$ one has

\sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,

and hence $f **(x) = cx = f (x)$ .

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)

Let

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c

be defined on $X = R n$ , where $A$ is a real, positive definite matrix. Then $f$ is convex, and

\langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,

has gradient $p - 2 Ax$ and Hessian $-2 A$ , which is negative; hence the stationary point $x = A -1 p /2$ is a maximum. We have $X * = R n$ , and

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c

.

गुण

$f(x)$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	शर्तें
$af(x)$	$\operatorname {dom} f$	$af^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(ax)$	$a^{-1}\cdot \operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(x)+a$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })-a$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x-a)$	$a+\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })+ax^{\star }$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+ax$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }-a)$	$a+\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+g(x)$	$\operatorname {dom} f\cap \operatorname {dom} g$	$(f^{\star }\star _{\text{inf}}g^{\star })(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }+\operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$(f\star _{\text{inf}}g)(x)$	$\operatorname {dom} f+\operatorname {dom} g$	$f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }\cap \operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$ax+b$	$\mathbb {R}$	$-b$	$\{a\}$
$\|x\|^{p}/p$	$\mathbb {R}$	$\|x^{\star }\|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$\mathbb {R}$	$1/p+1/p^{\star }=1$ , $p>1$
$-x^{p}/p$	$[0,\infty )$	$-\|x^{\star }\|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$(-\infty ,0]$	$1/p+1/p^{\star }=1$ , $p<1$
$\exp(x)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(\ln(x^{\star })-1)$	$\mathbb {R} ^{+}$
$x\ln(x)$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\exp(x-1)$	$\mathbb {R}$
$-1/2-\ln x$	$\mathbb {R} ^{+}$	$-1/2-\ln \|x^{\star }\|$	$\mathbb {R} ^{-}$
$x\exp(x+1)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(W(x^{\star })-1)^{2}/W(x^{\star })$	$[-1/e,\infty )$	लैम्बर्ट का W फलन