In analisi funzionale , il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre , è un funzionale involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre . La funzione risultato si chiama di solito trasformata , come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l'inverso di sé stesso
Visualizzazione tipo metodo del punto fisso . Una funzione f ( x ) {\displaystyle f(x)} , (colore rosso), ha una retta tangente nel punto x 0 {\displaystyle x_{0}} (colore blu). Questa tangente ha pendenza f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} , e interseca l'asse verticale in ( 0 , − f ∗ ) {\displaystyle (0,-f^{*})} . f ∗ {\displaystyle f^{*}} è il valore che ha nel punto x la trasformata di Legendre di f {\displaystyle f} . Variando il punto x {\displaystyle x} varia la trasformata f ∗ ( x ) {\displaystyle f^{*}(x)} che è legata al valore di f ( x ) {\displaystyle f(x)} , e della sua derivata f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} . È molto importante in termodinamica : le funzioni energia (energia interna , entalpia , energia libera di Gibbs ) sono infatti legate tra loro da trasformazioni di Legendre.
L'argomento del funzionale di Legendre è una funzione convessa a valori reali di variabile reale, e il risultato è un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata dell'argomento.[1]
La trasformata di Legendre f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} di una funzione convessa reale f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } è data da:
f ⋆ ( p ) = sup x ( p x − f ( x ) ) p ∈ R {\displaystyle f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}\qquad p\in \mathbb {R} } Nel caso f {\displaystyle f} sia differenziabile la trasformata f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse y {\displaystyle y} di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza p {\displaystyle p} .[2] Per calcolare l'estremante di p x − f ( x ) {\displaystyle px-f(x)} rispetto a x {\displaystyle x} , che è il punto x {\displaystyle x} per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta y = p x {\displaystyle y=px} , se ne pone la derivata nulla:
d d x ( p x − f ( x ) ) = p − d f ( x ) d x = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(px-f(x)\right)=p-{df(x) \over dx}=0} quindi il valore massimo si verifica quando:
p = d f ( x ) d x = f ′ ( x ) {\displaystyle p={df(x) \over dx}=f'(x)} Nel caso f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } si ha:
∇ x ( p ⋅ x − f ( x ) ) = 0 {\displaystyle \nabla _{x}\left(p\cdot x-f(x)\right)=0} e il vettore p {\displaystyle p} coincide con il gradiente :
p = ∇ f ( x ) {\displaystyle p=\nabla f(x)} Scrivendo x {\displaystyle x} in funzione di p {\displaystyle p} e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:
f ⋆ ( f ′ ( x ) ) = x f ′ ( x ) − f ( x ) = p x ( p ) − f ( x ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x)=p\,\,x(p)-f(x(p))} dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da p {\displaystyle p} . La trasformata di Legendre trasforma f {\displaystyle f} in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata f ′ {\displaystyle f'} invece che da x {\displaystyle x} .[3]
Un modo di scrivere esplicitamente f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)} si ottiene differenziando la funzione f {\displaystyle f} :
d f = f ′ ( x ) d x = d f d x d x = p d x {\displaystyle df=f'(x)\,dx={\frac {df}{dx}}dx=p\,dx} Introducendo la funzione ausiliaria g = f − p x {\displaystyle g=f-px} si ha:
d g = d f − p d x − x d p = − x d p {\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp} essendo d f = p d x {\displaystyle df=p\,dx} . Si ha pertanto:
x ( p ) = − d g ( p ) d p {\displaystyle x(p)=-{\frac {dg(p)}{dp}}} La funzione ausiliaria g {\displaystyle g} si chiama generatrice .
In generale, si dimostra che se f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } e g ( p ) = − f ⋆ ( p ) {\displaystyle g(p)=-f^{\star }(p)} allora x ( p ) = − ∇ g ( p ) {\displaystyle x(p)=-\nabla g(p)} , dove x ( p ) {\displaystyle x(p)} è la soluzione di p = ∇ f ( x ) {\displaystyle p=\nabla f(x)} . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.
La trasformata di Legendre f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} di f {\displaystyle f} può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto D {\displaystyle D} l'operatore di derivazione:
D f = ( D f ⋆ ) − 1 {\displaystyle Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}} Infatti, derivando f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} rispetto a p {\displaystyle p} si ha:
d f ⋆ ( p ) d p = d d p ( x p − f ( x ) ) = x + p d x d p − d f d x d x d p = x {\displaystyle {df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x} Pertanto, valgono le relazioni:
p = d f d x ( x ) x = d f ⋆ d p ( p ) {\displaystyle p={df \over dx}(x)\qquad x={df^{\star } \over dp}(p)} dove le funzioni D f {\displaystyle Df} e D f ⋆ {\displaystyle Df^{\star }} sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:
f ( x ) + f ⋆ ( p ) = x p {\displaystyle f(x)+f^{\star }(p)=x\,p} Si consideri f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} il cui differenziale sia dato da:
d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y = u d x + v d y {\displaystyle df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy=udx+vdy} Per costruire una funzione che dipenda da d u {\displaystyle du} e d y {\displaystyle dy} (invece che d x {\displaystyle dx} e d y {\displaystyle dy} ) si definisce g ( u , y ) = f − u x {\displaystyle g(u,y)=f-ux} . Differenziando:
d g = d f − u d x − x d u = u d x + v d y − u d x − x d u = − x d u + v d y {\displaystyle dg=df-udx-xdu=udx+vdy-udx-xdu=-xdu+vdy} da cui:
x = − ∂ g ∂ u v = ∂ g ∂ y {\displaystyle x=-{\partial g \over \partial u}\qquad v={\partial g \over \partial y}} La funzione g ( u , y ) {\displaystyle g(u,y)} è il risultato della trasformazione di Legendre di f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} in cui la variabile indipendente x {\displaystyle x} è stata rimpiazzata da u {\displaystyle u} .
Ad esempio, nel caso in cui f ( x ) = log x {\displaystyle f(x)=\log x} si ottiene che:
p = d f d x = 1 x {\displaystyle p={\frac {df}{dx}}={\frac {1}{x}}} e quindi:
f ⋆ ( p ) = 1 − log 1 p {\displaystyle f^{\star }(p)=1-\log {\frac {1}{p}}} Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:
g = log x − p x x = − d g d p = − 1 x d x d p + p d x d p + x {\displaystyle g=\log x-px\qquad x=-{\frac {dg}{dp}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}+p{\frac {dx}{dp}}+x} e semplificando:
1 x d x d p = p d x d p {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}=p{\frac {dx}{dp}}} da cui:
1 x = p {\displaystyle {\frac {1}{x}}=p}
In una dimensione la trasformazione di Legendre di f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } può essere valutata con la formula:
f ⋆ ( y ) = y x − f ( x ) x = f ˙ − 1 ( y ) {\displaystyle f^{\star }(y)=y\,x-f(x)\qquad x={\dot {f}}^{-1}(y)} Per mostrare ciò si considera la definizione:
f ˙ ( x ) = f ˙ ⋆ − 1 ( x ) {\displaystyle {\dot {f}}(x)={\dot {f}}^{\star -1}(x)} Integrando entrambi i membri da x 0 {\displaystyle x_{0}} a x 1 {\displaystyle x_{1}} , utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:
y = f ˙ ⋆ − 1 ( x ) {\displaystyle y={\dot {f}}^{\star -1}(x)} si ha:
f ( x 1 ) − f ( x 0 ) = ∫ y 0 y 1 y f ¨ ⋆ ( y ) d y {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{0})=\int _{y_{0}}^{y_{1}}y\,{\ddot {f}}^{\star }(y)\,dy} con:
f ⋆ ( y 0 ) = x 0 f ⋆ ( y 1 ) = x 1 {\displaystyle f^{\star }(y_{0})=x_{0}\qquad f^{\star }(y_{1})=x_{1}} Integrando per parti:
y 1 f ˙ ⋆ ( y 1 ) − y 0 f ˙ ⋆ ( y 0 ) − ∫ y 0 y 1 f ˙ ⋆ ( y ) d y = y 1 x 1 − y 0 x 0 − f ⋆ ( y 1 ) + f ⋆ ( y 0 ) {\displaystyle y_{1}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{1})-y_{0}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{0})-\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\dot {f}}^{\star }(y)\,dy=y_{1}\,x_{1}-y_{0}\,x_{0}-f^{\star }(y_{1})+f^{\star }(y_{0})} e quindi:
f ( x 1 ) + f ⋆ ( y 1 ) − y 1 x 1 = f ( x 0 ) + f ⋆ ( y 0 ) − y 0 x 0 {\displaystyle f(x_{1})+f^{\star }(y_{1})-y_{1}\,x_{1}=f(x_{0})+f^{\star }(y_{0})-y_{0}\,x_{0}} Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da x 1 {\displaystyle x_{1}} e quello di destra solo da x 0 {\displaystyle x_{0}} :
f ( x ) + f ⋆ ( y ) − y x = C x = f ˙ ⋆ ( y ) = f ˙ − 1 ( y ) {\displaystyle f(x)+f^{\star }(y)-y\,x=C\qquad x={\dot {f}}^{\star }(y)={\dot {f}}^{-1}(y)} Risolvendo per f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} e scegliendo C = 0 {\displaystyle C=0} si ottiene la relazione iniziale.
In analisi funzionale l'hamiltoniana H ( q i , p i , t ) {\displaystyle H(q_{i},p_{i},t)} è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema L ( q i , q ˙ i , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} , con:
p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana ), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange , il differenziale di L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)} si scrive:
d L = ∂ L ∂ q d q + ∂ L ∂ q ˙ d q ˙ + ∂ L ∂ t d t = p ˙ d q + p d q ˙ + ∂ L ∂ t d t = p ˙ d q + d ( q ˙ p ) − q ˙ d p + ∂ L ∂ t d t {\displaystyle \operatorname {d} \!{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+p\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+\operatorname {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t} da cui:
d ( q ˙ p − L ) = − p ˙ d q + q ˙ d p − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle d({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\operatorname {d} \!q+{\dot {q}}\operatorname {d} \!p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t} Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a q {\displaystyle q} , cioè dipendente da:
p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}} Se si pone H ( q , p , t ) = q ˙ ( t ) p ( t ) − L ( q , q ˙ ( q , p , t ) , t ) {\displaystyle H(q,p,t)={\dot {q}}(t)p(t)-{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)} , sapendo che il differenziale di H ( q , p , t ) {\displaystyle H(q,p,t)} , dipendente da q {\displaystyle q} e p {\displaystyle p} , è:
d H = ∂ H ∂ q d q + ∂ H ∂ p d p + ∂ H ∂ t d t {\displaystyle \operatorname {d} \!H={\frac {\partial H}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial H}{\partial t}}\operatorname {d} \!t} uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton :
q ˙ = ∂ H ∂ p p ˙ = − ∂ H ∂ q ∂ L ∂ t = − ∂ H ∂ t {\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\qquad {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\qquad {\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}=-{\partial H \over \partial t}} dove p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.
Per il primo principio della termodinamica si ha:
d U = δ Q − p d V δ Q = p d V + d U {\displaystyle dU=\delta Q-pdV\qquad \delta Q=pdV+dU} e per la definizione di entropia , in condizioni quasistatiche reversibili:
δ Q = T d S {\displaystyle \delta Q=TdS} Sostituendo:
d U ( S , V ) = T d S − p d V {\displaystyle dU(S,V)=TdS-pdV} Assumendo come variabili libere (o naturali) S {\displaystyle S} e V {\displaystyle V} , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare U {\displaystyle U} :
d U ( S , V ) = ∂ U ( S , V ) ∂ S d S + ∂ U ( S , V ) ∂ V d V {\displaystyle dU(S,V)={\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}dS+{\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}dV} da cui:
T = ( ∂ U ( S , V ) ∂ S ) V p = − ( ∂ U ( S , V ) ∂ V ) S {\displaystyle T=\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}\right)_{S}} Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell :
( ∂ T ∂ V ) S = − ( ∂ p ∂ S ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}} Ora si possono operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.
d H ( S , p ) = d ( U + p V ) = T d S + V d p {\displaystyle dH(S,p)=d(U+pV)=TdS+Vdp} T = ( ∂ H ∂ S ) p V = ( ∂ H ∂ p ) S ( ∂ T ∂ p ) S = ( ∂ V ∂ S ) p {\displaystyle T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S}\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}} d A ( T , V ) = d ( U − T S ) = − S d T − p d V {\displaystyle dA(T,V)=d(U-TS)=-SdT-pdV} S = − ( ∂ A ∂ T ) V p = − ( ∂ A ∂ V ) T ( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ p ∂ T ) V {\displaystyle S=-\left({\frac {\partial A}{\partial T}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial A}{\partial V}}\right)_{T}\qquad \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}} d G ( T , p ) = d ( U + p V − T S ) = − S d T + V d p {\displaystyle dG(T,p)=d(U+pV-TS)=-SdT+Vdp} S = − ( ∂ G ∂ T ) p V = ( ∂ G ∂ p ) T − ( ∂ S ∂ p ) T = ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle S=-\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T}\qquad -\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}} Riassumendo si ha:
H ( S , p ) = U ( S , V ) + p V A ( T , V ) = U ( S , V ) − T S {\displaystyle H(S,p)=U(S,V)+pV\qquad A(T,V)=U(S,V)-TS\,} G ( T , p ) = U ( S , V ) + p V − T S = H ( S , p ) − T S {\displaystyle G(T,p)=U(S,V)+pV-TS=H(S,p)-TS} (EN ) Vladimir Igorevich Arnol'd , Mathematical Methods of Classical Mechanics , 2ª ed., Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 . Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica I - Meccanica e Termodinamica , 3ª ed., Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0 . (EN ) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis , ristampa del 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4 .