如何给二次方程式配方

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在本文中：

把标准式化为顶点式

解二次方程

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对二次方程配方，可以让其看起来更清楚，更容易解。你可以通过配方法，把一个很复杂的二次方程简化，甚至可以把它解掉。想知道怎么做？按下列的步骤来做吧。

步骤

方法 1

方法 1 的 2:

把标准式化为顶点式

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1. 
   1
   写出方程式，如：3x² - 4x + 5
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   2
   把头两项都分解出首项的系数。你只要把3放在前面，括号括起来头两项，然后将两者都处以3。 3x²除以 3是 x² ， 4x 除以 3 是4/3x ，得到 3(x² - 4/3x) + 5 ，5没有动，不用把它除以3。
3. 
   3
   把中项系数除以二，然后求平方值。中项系数就是b， 即4/3，先除以2， 4/3 ÷ 2 或 4/3 x 1/2 等于2/3 ，然后让这个数分子分母同平方，得到(2/3) ² = 4/9
4. 
   4
   在括号内加上再减去这个值。剩下的括号里头三项用来配成完全平方式。不过也要记得，你要从括号里把其减掉。这里不用把两者合并，否则又要从头开始。得到3( x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5
5. 
   5
   把减去的项从括号里提出来。因为你括号外有3，所以不能直接提出-4/9 ，而要让其乘以3得到 -4/9 x 3 = -12/9，或 -4/3。如果你的首项 x²系数为1，则跳过这几步。
6. 
   6
   把括号内的东西换成完全平方式。现在你剩下3(x² -4/3x +4/9) ，回去看到4/9，这是完全平方式内另一个关键的项，你可以得到 3(x - 2/3) ² 。你只要把第二项除以二，然后移掉第三项即可。你可以代个数进去试试看看满不满足。

   • 3(x - 2/3) ² =
   • 3(x - 2/3)(x -2/3) =
   • 3[(x² -2/3x -2/3x + 4/9)]
   • 3(x² - 4/3x + 4/9)
7. 
   7
   把常数项合并。这下你剩下两个常数项了，或者说没有变量的项。目前你剩下3(x - 2/3) ² - 4/3 + 5 ，将-4/3 、5 加起来得11/3。你可以先通分为 -4/3 、15/3 ，然后分子相加，得到11/3

   • -4/3 + 15/3 = 11/3
8. 
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   用顶点式写出方程。完成了。最后得到 3(x - 2/3) ² + 11/3。你可以把所有项除以3，得到 (x - 2/3) ² + 11/9 ，现在你已经成功转化为顶点式了： a( x - h ) ² + k ，k 是常数项。
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方法 2

方法 2 的 2:

解二次方程

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1. 
   1
   写出方程。比如 3x² + 4x + 5 = 6
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   2
   把常数项合并，放在等号左边。常数项就是没有变量的项，目前左边有5右边有6，把6移过来，或者说两边同时减去6，右边(6-6)是0，左边(5-6)得到 -1，这样得到 3x² + 4x - 1 = 0
3. 
   3
   把所有项除以首项系数。这里3是首项 x² 的系数，要提出 3 ，就把剩余项除以3，即 3x² ÷ 3 = x², 4x ÷ 3 = 4/3x, 1 ÷ 3 = 1/3 ，得到 3(x² + 4/3x - 1/3) = 0。
4. 
   4
   把提出来的系数除掉。你可以把3扔掉了，现在得到x² + 4/3x - 1/3 = 0
5. 
   5
   把第二项系数除以2，得到其平方数。第二项系数 4/3也叫 b 项，找出其一半： 4/3 ÷ 2或 4/3 x 1/2 得到 4/6 ，或 2/3 求得平方为4/9，然后左右都写这项，因为你本质上在加上一个新项，两边都放上，等式才能平衡。得到 x² + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
6. 
   6
   把原常数项（变更符号）放在等式右边，把它加到另一边的项上。把原常数项 -1/3 移过去变为1/3，加上 4/9，或 (2/3) ²，把 1/3 、 4/9 通分， 1/3 x 3/3 = 3/9 ， 3/9 加上4/9得到 7/9，因此x² + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 得到x² + 4/3 x + 2/32 = 7/9。
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   把等号左边写成一个完全平方式。因为你已经用公式得出缺少的一项了，所以解决了难的部分了。现在你只要把x和中项系数的一半放在括号里求平方即可：(x + 2/3) ²，如果要分解就可以看到 x²+ 4/3 x + 4/9 。现在剩下的方程是(x + 2/3) ² = 7/9
8. 
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   两边同时求平方根。左边(x + 2/3) ²的平方根就是 x + 2/3，右边则得到 +/- (√7)/3 ，9的平方根是 3 ，7 的平方根是 √7 ，要注意加+/-号，因为有正负两解。
9. 
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   把变量分离。要分离x变量，只要把常数2/3 移右边就行了。现在你有两个解：x=+/- (√7)/3 - 2/3 ，这两个解可以放着不动，或者算出7的平方根数来打开根号。
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小提示

• 要注意把 +/-放在合适位置，否则只能得到一个解。
• 即使知道了二次方程式，也要定个时间多多练习配方法，你可以通过配方来验证二次方程式，或者做一些题。这样你在该记得的时候就不会忘记了。：）

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