Cómo completar el cuadrado

Completar el cuadrado es una técnica útil que te permite reordenar una ecuación cuadrática para dejarla en una forma más prolija que la hace más fácil de visualizar o incluso de resolver. Puedes completar el cuadrado si quieres reordenar una fórmula o incluso resolver una ecuación cuadrática. Si quieres aprender cómo hacerlo, simplemente sigue estos pasos.

Parte 1

Parte 1 de 2:

Transforma una ecuación estándar en forma canónica (o de vértice)

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Supón que vas a trabajar con la siguiente ecuación: 3x² - 4x + 5.
Para factorizar el 3 desde los dos primeros términos, simplemente quita el 3 y colócalo al lado de un par de paréntesis que rodee ambos términos y divide esos dos términos por 3. 3x² dividido por 3 es simplemente x² y 4x divido por 3 es 4/3x. Así que la nueva ecuación quedará así: 3(x² - 4/3x) + 5. El 5 continuará fuera de la ecuación porque no lo dividiste por 3.
El segundo término, también conocido como el término b de la ecuación, es 4/3. Reduce a la mitad el segundo término, o divídelo por 2 primero. 4/3 ÷ 2, o 4/3 x 1/2, es igual a 2/3. Ahora, eleva al cuadrado este término elevando al cuadrado tanto el numerador como el denominador de la fracción. (2/3)² = 4/9. Escribe ese término.^{[1]XFuente de investigación}
Vas a necesitar este término "extra" para convertir los tres primeros términos de esta ecuación en un cuadrado perfecto. Sin embargo, debes recordar que lo sumaste restándolo también de la ecuación. Aunque, obviamente, no sería muy conveniente combinar simplemente los términos: si lo haces regresarás a donde comenzaste. La nueva ecuación debería quedar de esta forma: 3( x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.^{[2]XFuente de investigación}
Como vas a trabajar con un coeficiente de 3 fuera del paréntesis, puedes sacar los -4/9. Primero tendrás que multiplicarlo por 3. -4/9 x 3 = -12/9 o -4/3. Si no vas a trabajar con una ecuación que tenga un coeficiente que no sea 1 sobre el término x², entonces puedes saltear este paso.
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Convierte los términos entre paréntesis en un cuadrado perfecto. Ahora mismo debes tener 3(x² -4/3x +4/9) entre los paréntesis. Tuviste que trabajar hacia atrás para obtener los 4/9, lo cual era en realidad otra forma de hallar el término que completaría el cuadrado. Así, puedes reescribir estos términos de la forma: 3(x - 2/3)². Todo lo que tuviste que hacer fue dividir a la mitad el segundo término y quitar el tercero. Puedes verificar si esto funciona multiplicándolo para ver si obtienes los primeros tres términos de la ecuación.^{[3]XFuente de investigación}
- 3(x - 2/3)² =
- 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x² -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x² - 4/3x + 4/9)
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Combina los términos constantes. Te quedarán dos términos constantes o, dicho de otra forma, términos que no están unidos a una variable. Ahora mismo te quedará 3(x - 2/3)² - 4/3 + 5. Todo lo que tienes que hacer es sumarle -4/3 a 5 para obtener 11/3. Para hacerlo, debes establecer el mismo denominador para ambos: -4/3 y 15/3 y luego sumar los numeradores para obtener 11. Debes mantener el 3 como denominador.
- -4/3 + 15/3 = 11/3.
Con esto habrás terminado. La ecuación final es 3(x - 2/3)² + 11/3. Puedes eliminar el coeficiente de 3 dividiendo ambas partes por la ecuación para obtener (x - 2/3)² + 11/9. Ahora habrás transformado con éxito la ecuación a forma canónica (o de vértice), que es a( x - h )² + k, donde k representa al término constante.
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Parte 2

Parte 2 de 2:

Resuelve la ecuación cuadrática

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Supón que vas a trabajar con la siguiente ecuación: 3x² + 4x + 5 = 6
Los términos constantes son todos los términos que no están unidos a una variable. En este caso, tienes un 5 en el lado izquierdo y un 6 en el derecho. Sería bueno que muevas el 6 hacia la izquierda, así que tendrás que restar el 6 de ambos lados de la ecuación. De esta forma te quedará 0 del lado derecho (6-6) y -1 en el lado izquierdo (5-6). Ahora la ecuación debe verse así: 3x² + 4x - 1 = 0.^{[4]XFuente de investigación}
En este caso, 3 es el coeficiente del término x². Para factorizar el 3, simplemente saca el 3 hacia afuera, coloca los términos restantes entre paréntesis y divide cada término por 3. Así, 3x² ÷ 3 = x², 4x ÷ 3 = 4/3x, y 1 ÷ 3 = 1/3. Ahora la ecuación debe quedar así: 3(x² + 4/3x - 1/3) = 0.
Esto significa que puedes deshacerte de una buena vez de ese fastidioso 3 que está fuera de los paréntesis. Como ya dividiste todos los términos por 3, ahora puedes eliminarlo sin impactar la ecuación. Ahora tendrás: x² + 4/3x - 1/3 = 0
A continuación toma el segundo término, 4/3, que también se lo conoce como el término b y divídelo a la mitad. 4/3 ÷ 2 o 4/3 x 1/2, es 4/6, o 2/3. 2/3 al cuadrado es 4/9. Cuando hayas terminado, tendrás que escribirlo a la izquierda y a la derecha de la ecuación, ya que básicamente estás agregando un nuevo término. Necesitas incorporarlo en ambos lados para mantener la ecuación balanceada. Ahora la ecuación debe quedar así: x² + 4/3 x + 2/3² - 1/3 = 2/3²
Mueve el término constante original, -1/3, hacia el lado derecho para convertirlo en 1/3. Súmalo al término que acabas de colocar, 4/9, o 2/3². Busca un denominador común para combinar 1/3 con 4/9 multiplicando la parte de arriba y la de abajo por 1/3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Ahora suma 3/9 y 4/9 para obtener 7/9 en el lado derecho de la ecuación. Esto producirá: x² + 4/3 x + 2/3² = 4/9 + 1/3 y luego x² + 4/3 x + 2/3² = 7/9.
Como ya has usado una fórmula para encontrar el término faltante, ya terminaste la parte difícil. Todo lo que tienes que hacer es colocar x y la mitad del segundo coeficiente entre paréntesis y elevarlo al cuadrado de esta forma: (x + 2/3)². Ten en cuenta que al factorizar ese cuadrado perfecto obtendrás los tres términos: x² + 4/3 x + 4/9. Ahora la ecuación deberá quedar así: (x + 2/3)² = 7/9.
En el lado izquierdo de la ecuación, la raíz cuadrada de (x + 2/3)² es simplemente x + 2/3. En el lado derecho, obtendrás +/- (√7)/3. La raíz cuadrada del denominador, 9, es un simple 3; la raíz cuadrada de 7 es √7. Recuerda escribir +/- porque una raíz cuadrada puede ser positiva o negativa.
Para aislar la variable x, simplemente mueve el término constante 2/3 hacia el lado derecho de la ecuación. Ahora tienes dos respuestas posibles para x: ± (√7)/3 - 2/3. Estas son las dos respuestas. Puedes dejarla así o hallar la verdadera raíz cuadrada de 7 si necesitas dar una respuesta sin el símbolo radical.
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Consejos

Asegúrate de poner el ± en el lugar indicado. De lo contrario obtendrás solo una respuesta.
Incluso después de conocer la fórmula cuadrática, practica en forma periódica completar el cuadrado ya sea proporcionando la fórmula cuadrática o resolviendo algunos problemas de práctica. De esa forma no te olvidarás cómo hacerlo cuando lo necesites.

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