İki Bilinmeyenli Denklemler Nasıl Çözülür?

Bir "denklem sisteminde" aynı anda iki ya da daha fazla denklemi çözmen istenir. Bu iki denklemde x ve y ya da a ve b gibi iki farklı bilinmeyen olduğunda ilk bakışta onları nasıl çözeceğini görmek zor olabilir. Neyse ki, nasıl yapacağını öğrendikten sonra problemi çözmek için tek ihtiyacın olan şey temel cebir bilgisidir (ve bazen biraz kesir bilgisi). Eğer görerek öğrenen biriysen ya da öğretmenin öyle istiyorsa denklemin grafiğini nasıl çizeceğini de öğren. Grafik çizmek "neler olduğunu görmek" ya da işini kontrol etmek için yararlıdır fakat diğer yöntemlerden daha yavaş olabilir ve tüm denklem sistemleri için iyi çalışamayabilir.

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Yerine Koyma Yöntemini Kullanmak

Makaleyi İndir

1
Bilinmeyenleri denklemin farklı taraflarına taşı. Bu "yerine koyma" yöntemi denklemlerden birindeki "x’i bularak" (ya da başka bir bilinmeyeni) başlar. Örneğin, denklemlerimiz 4x + 2y = 8 ve 5x + 3y = 9 olsun. Sadece ilk denkleme bakarak başla. Her iki taraftan 2y çıkararak denklemi yeniden düzenlersek 4x = 8 - 2y eşitliğini elde ederiz.
- Bu yöntemde ileriki adımlarda çoğunlukla kesirler kullanılır. Eğer kesirlerden hoşlanmıyorsan bunun yerine aşağıdaki eleme yöntemini deneyebilirsin.
2
"x’i bulmak" için denklemin her iki tarafını da böl. Denklemin bir tarafına x’li terimi (ya da kullandığın değişkeni) taşıdıktan sonra değişkeni yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını da böl. Örneğin:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
3
Bunu diğer denklemde yerine koy. İşlem yaptığını değil de, diğer denklemi kullandığından emin ol. O denklemde çözdüğün değişkenin değerini yerine koy ve böylece sadece bir bilinmeyen kalsın. Örneğin:
- x = 2 - ½y olduğunu biliyorsun.
- Henüz değiştirmediğin ikinci denklemin: 5x + 3y = 9.
- İkinci denklemde x’i "2 - ½y" ile değiştir: 5(2 - ½y) + 3y = 9.
4
Diğer değişkeni çöz. Şimdi sadece tek bilinmeyenli denklemin var. O bilinmeyeni çözmek için cebirsel teknikleri kullan. Eğer bilinmeyenler birbirini götürürse son basamağa geç. Aksi takdirde bilinmeyenlerinden bir tanesi için bir cevap bulacaksın:
- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Bu adımı anlamadıysan kesirlerin nasıl toplandığını öğren. Bu, her zaman olmasa da çoğu zaman bu yöntem için gereklidir.)
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
5
Diğer bilinmeyeni çözmek için cevabı kullan. Problemi yarım bırakmak gibi bir hata yapma. Diğer bilinmeyeni çözmek için cevabı asıl denklemlerin birinde yerine koyman gerekir:
- y = -2 olduğunu biliyorsun.
- Asıl denklemlerden biri 4x + 2y = 8. (Bu adımda her iki denklemi de kullanabilirsin.)
- y’nin yerine -2 koy: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
6
Her iki bilinmeyen de birbirini götürdüğünde ne yapacağını öğren. Diğer denklemde x=3y+2 veya benzer bir cevabı yerine koyduğunda tek bilinmeyenli bir denklem elde etmeye çalışırsın. Bazen sıfır bilinmeyenli bir denklem elde edersin. İşlemlerini iki kez kontrol et ve ilk denklemi (yeniden düzenlenmiş) tekrar birinci denklemde değil ikinci denklemde yerine koyduğundan emin ol. Herhangi bir hata yapmadığından eminsen aşağıdaki sonuçlardan birini elde edersin:^{[1]XKaynağı araştır}
- Eğer değişken bulunmayan bir denklem elde edersen ve bu denklem doğru değilse (örneğin, 3=5) problemin çözümü yoktur. (Eğer her iki denklemin grafiğini çizersen onların birbirine paralel olduğunu ve hiç kesişmediklerini göreceksin.)
- Eğer değişken bulunmayan doğru bir denklem elde edersen (3=3 gibi) problemin sonsuz çözümü vardır. İki denklem birbiriyle tamamen aynıdır. (Eğer iki denklemin grafiğini çizersen aynı doğru olduklarını görürsün.)
Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

Eleme Yöntemini Kullanmak

Makaleyi İndir

Bazen, denklemleri topladığında değişken "sıfırlanır". Örneğin, 3x + 2y = 11 ve 5x - 2y = 13 denklemlerini birleştirdiğinde "+2y" ve "-2y" birbirini götürür ve tüm "y"ler denklemden gider. Problemindeki denklemlere bak ve değişkenlerden birinin bu şekilde sıfırlanıp sıfırlanmadığını bul. Eğer her ikisi de sıfırlanmıyorsa tavsiye için sonraki adımı oku.
2
Denklemin birini bir değişken sıfırlanacak şekilde çarp. (Eğer değişken zaten sıfırlanıyorsa bu adımı atla.) Eğer denklemde doğal olarak sıfırlanan bir değişken yoksa denklemlerden birini öyle olacak şekilde değiştir. Bunu bir örnekle takip etmek daha kolaydır:
- Elinde 3x - y = 3 ve -x + 2y = 4 denklem sistemi olsun.
- İlk denklemi y değişkeni sıfırlanacak şekilde değiştirelim. (x’i seçmen durumunda da sonuçta aynı sonucu elde edersin.)
- İlk denklemdeki - y ikinci denklemdeki + 2y ile sıfırlanmalı. Bunun için - y’yi 2 ile çarpabiliriz.
- İlk denklemin her iki tarafını da şu şekilde 2 ile çarp. 2(3x - y)=2(3), yani 6x - 2y = 6. Şimdi - 2y ikinci denklemdeki +2y’yi götürecektir.
3
İki denklemi birleştir. İki denklemi birleştirmek için sol tarafları birbiriyle ve sağ tarafları birbiriyle topla. Eğer denklemi doğru kurarsan değişkenlerden biri sıfırlanmalıdır. Son adımdaki denklemleri kullanan bir örnek:
- Denklemlerin 6x - 2y = 6 ve -x + 2y = 4.
- Sol tarafları birleştir: 6x - 2y - x + 2y = ?
- Sağ tarafları birleştir: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4
Son bilinmeyeni çöz. Birleştirilen denklemi sadeleştir, ardından son değişkeni çözmek için temel cebiri kullan. Eğer sadeleştirmeden sonra hiç değişken kalmazsa bu bölümdeki son adıma geç. Aksi takdirde, değişkenlerinden biri için basit bir cevap elde etmen gerekir. Örneğin:
- Elindeki denklem: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- x ve y değişkenlerini grupla: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Sadeleştir: 5x = 10
- x’i çöz: (5x)/5 = 10/5, yani x = 2.
5
Diğer bilinmeyeni çöz. Bilinmeyenlerden birini buldun fakat işin bitmedi. Cevabını asıl denklemlerden birinde yerine koyarak diğer bilinmeyeni bulabilirsin. Örneğin:
- x = 2 olduğunu ve asıl denklemlerinden birinin 3x - y = 3 olduğunu biliyorsun.
- x yerine 2 koy: 3(2) - y = 3.
- Denklemdeki y’yi çöz: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, yani 6 = 3 + y
- 3 = y
6
Her iki değişken sıfırlandığında ne yapacağını öğren. Bazen, iki denklem birleştirildiğinde anlamsız ya da en azından problemi çözmene yardımcı olmayan bir denklem elde edilir. İşlemlerini baştan itibaren kontrol et fakat eğer bir hata yapmamışsan aşağıdakilerden birini cevap olarak yaz:^{[2]XKaynağı araştır}
- Eğer birleştirilen denkleminde bilinmeyen yoksa ve doğru değilse (2=7 gibi) her iki denkleme uyan bir çözüm yoktur. (Eğer her iki denklemin grafiğini çizersen onların birbirlerine paralel olduğunu ve hiç kesişmediklerini göreceksin.)
- Eğer birleştirilen denkleminde bilinmeyen yoksa ve denklem doğru ise (0=0 gibi) denklemin sonsuz çözümü vardır. İki denklem aslında aynıdır. (Eğer iki denklemin grafiğini çizersen aynı doğru olduklarını görürsün.)
Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Denklemin Grafiğini Çizmek

Makaleyi İndir

1
Bu yöntemi sadece böyle yapman istediğinde kullan. Bilgisayar ya da grafik hesap makinesi kullanmıyorsan çoğu denklem sistemi bu yöntemi kullanarak sadece yaklaşık olarak çözülebilir.^{[3]XKaynağı araştır} Öğretmenin ya da matematik ders kitabın denklemlerin doğru şeklinde grafiğini çizmeye aşina olman için senden bu yöntemi kullanmanı isteyebilir. Ayrıca diğer yöntemlerden biriyle elde ettiğin cevabı kontrol etmek için de bu yöntemi kullanabilirsin.
- Buradaki temel fikir her iki denklemin de grafiğini çizmek ve kesiştikleri noktayı bulmaktır. Bu noktadaki x ve y değerleri bize denklem sistemindeki x’in ve y’nin değerlerini verecektir.
2
Her iki denklemi y için çöz. İki denklemi ayrı tutarak her iki denklemi "y = __x + __" formuna getirmek için cebiri kullan.^{[4]XKaynağı araştır} Örneğin:
- İlk denklemin 2x + y = 5. Bunu y = -2x + 5 şeklinde yaz.
- İkinci denklemin -3x + 6y = 0. Bunu 6y = 3x + 0 yaz, ardından sadeleştir: y = ½x + 0.
- Eğer her iki denklem aynıysa iki doğrunun tamamı "kesişecektir". Sonsuz çözüm yaz.
3
Koordinat eksenlerini çiz. Kareli bir kâğıda dikey bir "Y ekseni" ve yatay bir "X ekseni" çiz. Kesiştikleri noktadan başlayarak Y ekseninden yukarı ve yine X ekseninde sağa doğru hareket ederek eksenleri 1, 2, 3, 4, vb. şekilde numaralandır. Y ekseninde aşağı ve X ekseninde sola doğru hareket ederek eksenleri -1, -2, vb. şekilde numaralandır.
- Eğer kareli kâğıdın yoksa bir cetvel kullanarak numaraların eşit aralıklarla yazıldığından emin ol.
- Eğer büyük ya da ondalık sayılar kullanıyorsan grafiğini farklı şekilde ölçeklendirmen gerekebilir. (Örneğin; 1, 2, 3 yerine 10, 20, 30 veya 0,1, 0,2, 0,3).
4
Her doğru için y kesimini çiz. y = __x + __ formunda bir denklem elde ettikten sonra doğrunun Y eksenini kestiği yere bir nokta çizerek grafiği çizmeye başlayabilirsin. Bu daima bu denklemdeki son sayıya eşit bir y değerinde olacaktır.
- Önceki örneklerimizde doğrulardan biri (y = -2x + 5) y eksenini 5’te keser. Diğeri (y = ½x + 0) 0’da kesişir. (Grafikte (0,5) ve (0,0) noktaları var.)
- İki doğru için mümkünse farklı renkte kalemler kullan.
5
Doğru çizimine devam etmek için eğimi kullan. y = __x + __ formunda x'in önündeki sayı doğrunun eğimidir. x bir arttığında, y değeri eğim miktarı kadar artacaktır. Bu bilgileri kullanarak her doğru için grafik üzerine x = 1 noktasını çiz. (Alternatif olarak, her denklemde x yerine 1 koy ve y’yi çöz.)
- Örneğimizde, y = -2x + 5 doğrusu -2 eğime sahiptir. x = 1 olduğunda, doğru x = 0 noktasından 2 birim aşağı hareket eder. (0,5) ve (1,3) arasındaki doğru parçasını çiz.
- y = ½x + 0 doğrusu ½ eğime sahiptir. X = 1 olduğunda, doğru x = 0 noktasından ½ birim yukarı hareket eder. (0,0) ve (1,½) arasındaki doğru parçasını çiz.
- Eğer doğruların eğimi aynıysa doğrular hiç kesişmez, bu nedenle denklem sisteminin bir cevabı yoktur. Çözüm yok yaz.
6
Kesişene kadar doğruları çizmeye devam et. Dur ve grafiğine bak. Eğer doğrular kesiştiyse sonraki adıma geç. Aksi takdirde, doğruların durumuna göre bir karar ver:
- Eğer doğrular birbirlerine doğru hareket ediyorsa noktaları o doğrultuda çizmeye devam et.
- Eğer doğrular birbirlerinden uzaklaşıyorsa geri dön ve x = 1’den başlayarak noktaları diğer yönde çiz.
- Eğer doğrular birbirlerine yakın değilse ileri giderek x = 10 gibi daha uzak noktaları çizmeye çalış.
İki doğru kesiştikten sonra noktadaki x ve y değerleri probleminin cevabıdır. Eğer şanslıysan cevap tam sayı olacaktır. Örneğin, örneğimizdeki iki doğru (2,1) noktasında kesişiyor, bu nedenle cevap x = 2 ve y = 1 olur. Bazı denklem sistemlerinde doğrular iki tam sayının arasındaki bir değerde kesişir ve grafiğin son derece kesin değilse bunun nerede olduğunu söylemek zor olacaktır. Eğer böyle olursa "x, 1 ve 2 arasındadır" gibi bir cevap yazabilirsin ya da tam cevabı bulmak için yerine koyma veya eleme yöntemini kullanabilirsin.
Reklam

İpuçları

İşlemlerini kontrol etmek için bulduğun cevapları asıl denklemde yerine koyabilirsin. Eğer denklem doğru çıkarsa (örneğin, 3 = 3) cevabın doğrudur.
Eleme yönteminde, bir değişkenin sıfırlanabilmesi için bazen bir denklemi negatif bir sayıyla çarpman gerekebilir.

Reklam

Uyarılar

Bu yöntemler x² gibi üslü bir bilinmeyen olduğunda kullanılamaz. Bu tür denklemlerle ilgili daha fazla bilgi almak için ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırma ile ilgili bir konu ara.^{[5]XKaynağı araştır}

Reklam