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이 글은 공동 작성자 Grace Imson, MA. 그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다.
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‘연립방정식’의 해를 구하는 것은 2개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 해를 구하는 걸 의미합니다. x와 y 또는 a와 b처럼 서로 다른 미지수 2개가 포함된 연립방정식 문제가 주어졌는데 어떻게 풀어야 할 지 막막하다면 푸는 방법을 확실하게 배우세요. 기초대수학 개념과 분수 계산법을 이용해서 해를 구하면 됩니다. 혹시 학교 수학문제에 그래프를 이용해서 풀어야 한다고 명시되어 있나요? 혹은 시각적인 도구가 있어야 이해가 잘 되는 타입인가요? 그럼 그래프를 이용해서 푸는 방법을 배우세요. 그래프를 그리면 방정식의 개념을 ‘보다 확실하게’ 이해할 수 있고 또한 답이 맞는 지 확인할 때도 유용합니다. 하지만 그래프를 이용해서 푸는 방법은 대입법 또는 가감법을 사용할 때보다 시간이 더 오래 걸립니다. 그리고 어떤 문제에서는 사용하기 적합하지 않습니다.
단계
두 미지수를 각각 다른 변으로 옮기세요. ‘대입법’을 사용할 때는 두 방정식 중 하나를 ‘x에 관한 식’으로 바꿔야 합니다. 예를 들어서 두 방정식 4x + 2y = 8 그리고 5x + 3y = 9가 있을 경우 우선 첫 번째 방정식을 정리하세요. 양변에 2y를 빼서 정리하면 4x = 8 - 2y가 됩니다.- 대입법을 사용할 때는 분수를 계산해야 하는 경우가 많습니다. 분수 계산을 싫어한다면 아래에서 설명하는 가감법을 확인하세요.
양변에 나눗셈을 해서 ‘x에 관한 식’으로 바꾸세요. 한 변에 x(혹은 다른 미지수)가 있을 경우 양변에 나눗셈을 해서 x만 남도록 만드세요. 아래와 같은 방식으로 정리하면 됩니다.- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
정리한 식을 두 번째 방정식에 대입하세요. 앞서 이미 사용한 첫 번째 방정식이 아니라 두 번째 방정식에 대입해야 합니다. 두 번째 방식에 있는 미지수 x 자리에 앞서 정리한 식을 대입하세요. 그럼 미지수 y만 남게 됩니다. 아래와 같은 방식으로 푸세요.- x = 2 - ½y라는 걸 이미 알고 있습니다.
- 정리하지 않은 두 번째 방정식은 5x + 3y = 9입니다.
- 두 번째 방정식에 있는 x에 (2 - ½y)를 대입하세요: 5(2 - ½y) + 3y = 9
남아 있는 미지수 값을 구하세요. 이제 방정식에 미지수가 하나만 남았습니다. 일반적인 대수학 개념을 이용해서 남아 있는 미지수(y)의 값을 구하세요. 두 미지수가 모두 소거되었다면 마지막 단계로 바로 넘어가세요. 두 미지수가 모두 소거되지 않았을 경우, 남아 있는 미지수 값을 구해야 합니다.- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (풀이과정이 이해가 안된다면 분수 덧셈을 배우세요. 대입법을 사용할 경우 항상은 아니지만 종종 분수 덧셈을 활용해야 합니다.)
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
방금 구한 y값을 이용해서 나머지 미지수 값을 구하세요. 문제를 풀다가 도중에 멈추지 마세요. 위에서 구한 y값을 원래 방정식에 다시 대입해서 나머지 미지수(x)의 값을 구해야 합니다.- y = -2라는 걸 이미 알고 있습니다.
- 두 방정식 중 하나는 4x + 2y = 8입니다. (두 방정식 중 어느 걸 사용해도 상관없습니다.)
- y에 -2를 대입하세요: 4x + 2(-2) = 8
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
두 미지수가 모두 소거된 결과의 뜻을 이해하세요. 예를 들어서 x = 3y + 2 또는 이와 비슷한 식을 두 번째 방정식(원래의 두 방정식 중 재배열하지 않은 방정식)에 대입해서 미지수가 하나만 남게 만들어야 합니다. 그러나 미지수가 하나도 남지 않는 경우도 있습니다. 풀이과정을 다시 검토한 뒤 재배열한 식을 두 번째 방정식에 대입하세요. 풀이과정에서 실수가 없었다면 아래의 두 가지 결과 중 하나에 도달하게 됩니다.[1]- 예를 들어서 3 = 5처럼 미지수가 하나도 없는 식인데 성립하지 않을 경우, 방정식의 해가 없음이라고 적으세요. 두 방정식을 그래프로 그려보면 서로 평행해서 절대 교차하지 않는다는 걸 확인할 수 있습니다.
- 예를 들어서 3 = 3처럼 미지수가 하나도 없는 식이 성립할 경우, 방정식의 해가 무수히 많음이라고 적으세요. 두 방정식은 서로 일치합니다. 두 방정식을 그래프로 그려보면 정확히 일치하는 직선이라는 걸 확인할 수 있습니다.
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소거시킬 수 있는 미지수를 찾으세요. 때로는 두 방정식을 서로 더하면 미지수 하나가 바로 ‘소거’되는 경우도 있습니다. 예를 들어서 두 방정식 3x + 2y = 11 그리고 5x - 2y = 13을 합치면 +2y와 -2y는 서로 상쇄되기 때문에 미지수 y를 없앨 수 있습니다. 문제에서 주어진 두 방정식을 보고 어떤 미지수가 바로 소거되는 지 확인하세요. 만약 두 미지수 중 바로 소거되는 미지수가 없다면 다음 단계를 참고하세요.
두 방정식 중 하나에 곱셈을 해서 미지수 하나를 소거하세요. 미지수 하나가 바로 소거될 경우 이번 단계는 생략해도 됩니다. 바로 소거되지 않을 경우 두 방정식 중 하나를 바꿔야 합니다. 아래의 예시를 보면 이해하기 더 쉽습니다.- 연립방정식 3x - y = 3 그리고 -x + 2y = 4가 있습니다.
- 첫 번째 방정식을 바꿔서 미지수 y를 소거하세요. 원할 경우 x를 소거해도 됩니다. 답은 여전히 같습니다.
- 첫 번째 방정식의 - y와 두 번째 방정식의 + 2y를 서로 상쇄시켜야 합니다. - y에 2를 곱하면 서로 상쇄시킬 수 있습니다.
- 첫 번째 방정식의 양변에 2를 곱하세요. 2(3x - y) = 2(3) 이렇게 곱하면 6x - 2y = 6이 됩니다. 이제 - 2y와 두 번째 방정식의 +2y를 서로 상쇄시키세요.
두 방정식을 합치세요. 두 방정식을 합칠 때는 좌변끼리, 우변끼리 각각 더하면 됩니다. 앞선 단계에서 방정식을 제대로 바꿨다면 두 미지수 중 하나는 소거됩니다. 두 방정식을 아래와 같은 방식으로 합치세요.- 주어진 두 방정식은 6x - 2y = 6 그리고 -x + 2y = 4입니다.
- 좌변을 합치세요: 6x - 2y - x + 2y = ?
- 우변을 합치세요: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4
하나 남은 미지수 값을 구하세요. 두 방정식을 합친 식을 정리한 후 기초대수학 개념을 이용해서 하나 남은 미지수(x) 값을 구하세요. 두 방정식을 합친 식에 미지수가 없다면 마지막 단계로 바로 넘어가세요. 그러나 미지수가 있을 경우, 미지수 값을 구해야 합니다. 아래의 풀이과정을 확인하세요.- 주어진 식은 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4입니다.
- x끼리 같이 적고 y끼리 같이 적으세요: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4
- 식을 정리하세요: 5x = 10
- x값을 구하세요. (5x)/5 = 10/5이므로 x = 2입니다.
나머지 미지수 값을 구하세요. 한 개의 미지수 값을 알지만 아직 계산이 다 끝난 건 아닙니다. 이미 알고 있는 미지수(x) 값을 원래 방정식에 대입해서 나머지 미지수(y) 값을 구하세요. 아래와 같은 방식으로 풀면 됩니다.- x = 2 그리고 두 방정식 중 하나는 3x - y = 3입니다.
- x에 2를 대입하세요: 3(2) - y = 3
- y값 구하세요: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y는 6 = 3 + y와 같습니다.
- 3 = y
두 미지수가 모두 소거된 식을 이해하세요. 가끔씩 두 방정식을 합친 결과가 이상하게 보이거나 혹은 여전히 답을 모르겠을 때가 있습니다. 풀이과정을 처음부터 다시 검토하세요. 만약 실수를 전혀 하지 않았다면 아래 답변 중 하나를 적으세요.[2]- 두 방정식을 합쳐서 미지수를 전부 소거했는데 2 = 7처럼 식이 성립하지 않다면 두 방정식을 동시에 만족시키는 해가 없음이라고 적으세요. 두 방정식을 그래프로 그려보면 서로 평행해서 절대 교차하지 않는다는 걸 확인할 수 있습니다.
- 두 방정식을 합쳐서 미지수를 모두 소거한 결과가 0 = 0과 같이 성립하는 식이라면 해가 무수히 많음이라고 적으세요. 두 방정식은 서로 일치합니다. 두 방정식을 그래프로 그려보면 정확히 일치하는 직선이라는 걸 확인할 수 있습니다.
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그래프를 이용해서 풀어야 한다고 문제에 명시되어 있을 경우에만 이 방법을 사용하세요. 컴퓨터 또는 그래핑 계산기를 사용하지 못할 경우, 그래프를 이용해서 연립방정식의 해를 구하는 문제는 근사값을 구하라는 문제가 많습니다.[3] 수학시간에 이 방법을 배우는 이유는 방정식의 그래프를 직선으로 간주하면 이해하기 더 쉽기 때문입니다. 또한 가감법 및 대입법으로 구한 답이 정확한 지 확인할 때 사용할 수 있습니다.- 간단하게 말하자면 두 방정식의 그래프를 그린 뒤 교차점을 찾는 겁니다. 교차점 좌표의 x값과 y값이 연립방정식 해의 x값과 y값입니다.
y에 관한 방정식의 해를 구하세요. 두 방정식을 따로 풀어야 합니다. 각각의 방정식을 y = __x + __ 같은 형태로 바꾸세요.[4] 아래와 같은 방식으로 정리하면 됩니다.- 첫 번째 방정식은 2x + y = 5입니다. y = -2x + 5로 바꾸세요.
- 두 번째 방정식은 -3x + 6y = 0입니다. 6y = 3x + 0으로 바꾼 뒤 y = ½x + 0으로 정리하세요.
- 두 방정식이 서로 일치할 경우 직선 위에 존재하는 모든 점들이 ‘교차점’입니다. 해가 무수히 많음이라고 적으세요.
좌표축을 그리세요. 모눈종이에 ‘y축’을 수직으로 긋고 ‘x축’을 수평으로 그으세요. 두 축이 만드는 점에서부터 시작해서 1, 2, 3, 4 … 같은 방식으로 칸을 표시하세요. y축이 위쪽으로 가면서 그리고 x축이 오른쪽으로 가면서 숫자가 더 커져야 하고 y축이 아래쪽으로 가면서 그리고 x축이 왼쪽으로 가면서 숫자가 더 작아져야 합니다. 음수의 경우 -1, -2, -3 … 같은 방식으로 표시하세요.- 모눈종이가 없다면 자를 사용하세요. 칸을 똑같은 간격으로 표시해야 합니다.
- 좌푯값이 큰 숫자 또는 소수일 경우 다른 비율을 사용해야 합니다. 예를 들어서 1, 2, 3 대신에 10, 20, 30 또는 0.1, 0.2, 0.3을 사용하세요.
두 선의 y절편에 점을 각각 찍으세요. 방정식을 y = __x + __ 형태로 만든 뒤 직선의 y절편에 점을 찍어서 그래프를 그리세요. 두 번째 빈 칸에 들어가는 숫자가 y절편입니다.- 이번 예시에서 사용된 직선(y = -2x + 5)의 y절편은 5입니다. 다른 직선(y = ½x + 0)의 y절편 0입니다. 좌표평면에 두 점 (0,5) 그리고 (0,0)을 찍으세요.
- 되도록이면 각각 다른 색깔의 펜 또는 연필을 사용해서 두 선을 그으세요.
두 선을 연장할 때 기울기를 활용하세요. y = __x + __ 같은 형태의 함수에서 x 앞에 있는 숫자는 선의 기울기를 나타냅니다. x값이 1씩 증가할 때마다 y값은 기울기 값만큼 증가합니다. 이 특징을 이용해서 두 선의 x값이 1일 때의 지점을 각각 표시하세요. 두 방정식에 있는 x에 1을 대입해서 y값을 각각 구해도 됩니다.- 이번 예시에서 사용된 직선 y = -2x + 5의 경우, 기울기가 -2입니다. x = 1일 때 y값은 x = 0인 지점에서 2칸 아래로 내려간 지점의 y값입니다. (0,5) 그리고 (1,3)을 잇는 직선을 그으세요.
- 직선 y = ½x + 0의 기울기는 ½입니다. x = 1일 때 y값은 x = 0인 지점에서 ½칸 위로 올라간 지점의 y값입니다. (0,0) 그리고 (1,½)을 잇는 직선을 그으세요.
- 두 선의 기울기가 같을 경우 절대 교차하지 않으며 연립방정식의 해는 없습니다. 해가 없음이라고 적으세요.
두 선이 교차할 때까지 선을 계속 연장하세요. 잠깐 동안 그래프를 확인하세요. 두 선이 이미 교차하고 있다면 다음 단계로 바로 넘어가면 됩니다. 만약 교차하지 않았다면 아래와 같은 방식으로 선을 연장하세요.- 두 선이 서로 가까워지고 있다면 계속 그 방향으로 선을 연장하세요.
- 두 선이 서로 더 멀어진다면 다른 방향으로 선을 연장하세요. x = -1인 지점에서 시작하세요.
- 두 선이 전혀 가까워지지 않는다면 선을 훨씬 더 길게 그으세요. 예를 들어서 x = 10인 지점까지 그어보세요.
교차점의 좌표를 구하세요. 두 선이 교차하는 점의 좌표를 구하세요. 좌표의 x값과 y값이 방정식의 해입니다. 그래서 좌푯값이 정수일 때는 답이 간단합니다. 예를 들어서 교차점의 좌표가 (2,1)일 경우, x = 2 그리고 y = 1입니다. 하지만 가끔씩 교차점의 좌표가 정수가 아닐 때가 있습니다. 이 경우, 그래프를 아주 정밀하게 그리지 않는 이상 x값과 y값을 정확히 알 수 없습니다. 이럴 때는 ‘x값은 1과 2 사이에 있는 값’이라고 나타내거나 대입법 또는 가감법을 사용해서 정확한 값을 구하세요.광고
팁
- 방정식의 해를 다시 대입해보면 답이 맞는 지 아닌 지 확인할 수 있습니다. 예를 들어서 해를 원래의 방정식에 대입했을 때 3 = 3 같은 식이 된다면 정확한 답을 구한 겁니다.
- 가감법의 경우, 두 방정식 중 하나에 음수를 곱해서 미지수를 소거할 때도 있습니다.
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경고
- x2과 같이 미지수에 지수가 있을 경우, 위에서 설명한 방법들을 사용할 수 없습니다. 지수가 있는 미지수를 포함한 방정식을 풀기 위해서는 미지수가 2개인 2차방정식을 인수분해하는 방법을 배워야 합니다.[5]
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출처
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/systlin2.htm
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-2/linear-systems/graphing/solve-by-graphing/equations-solution-by-graphing
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-quadratics-in-two-vari/v/factoring-quadratics-with-two-variables
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