Como Encontrar a Área Total da Superfície de uma Pirâmide

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Encontrando a área da superfície de qualquer pirâmide regular

Encontrando a área da superfície de uma pirâmide quadrangular

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Referências

A área da superfície de qualquer pirâmide pode ser calculada pela soma da área da superfície da base e das faces laterais. Ao trabalhar com pirâmides regulares, você pode calcular a área da superfície usando uma fórmula, contanto que saiba como encontrar a área da base da pirâmide. Como a base pode ser qualquer polígono, pode ser bastante útil saber como calcular a área de formas como pentágonos e hexágonos. No entanto, ao trabalhar com uma pirâmide quadrangular regular, calcular a área da superfície total é bastante simples caso você saiba a altura inclinada da pirâmide e o comprimento lateral da base quadrada.

Passos

Método 1

Método 1 de 2:

Encontrando a área da superfície de qualquer pirâmide regular

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   Monte a fórmula da área da superfície de uma pirâmide regular. A fórmula é $SA={\frac {p\times h}{2}}+B$, onde $SA$ equivale à área da superfície total da pirâmide, $p$ equivale ao perímetro da base, $h$ equivale à altura inclinada da pirâmide e $B$ equivale à área da base.

   • A fórmula básica da área da superfície de qualquer pirâmide, regular ou irregular, é Área da Superfície Total = Área da Base + Área Lateral.
   • Não confunda "altura inclinada" com "altura". A "altura inclinada" é a distância diagonal do ápice da pirâmide até a borda da base. A "altura" é a distância perpendicular do vértice até a base.
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   Substitua valor do perímetro da base na fórmula. Se você não tem o valor do perímetro, mas sabe o valor do comprimento de uma borda da base, é possível calcular o perímetro multiplicando o comprimento de uma borda pelo número de bordas.

   • Por exemplo, se você precisa encontrar a área da superfície de uma pirâmide hexagonal, e sabe que o comprimento de uma borda da base é de 4 cm, calcule $4\times 6=24$ para encontrar o perímetro da base, já que um hexágono tem seis bordas, ou lados. Sendo assim, o perímetro da base é de 24 cm, então a fórmula da área da superfície vai ficar da seguinte forma: $SA={\frac {24\times h}{2}}+B$.
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   Substitua o valor da altura inclinada na fórmula. Use a altura inclinada, e não a altura perpendicular. O enunciado do problema deverá fornecer esse valor; caso contrário, não é possível utilizar tal método.

   • Por exemplo, se a altura inclinada de uma pirâmide hexagonal mede 12 cm, a fórmula vai ficar da seguinte forma: $SA={\frac {24\times 12}{2}}+B$.
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   Calcule a área da base. A forma como você vai calculá-la depende da forma da base. Para aprender mais sobre como calcular a área de polígonos, leia este artigo.

   • Por exemplo, se estiver trabalhando com uma pirâmide hexagonal, a base é um hexágono. Para aprender como calcular a área da base, leia este artigo. A fórmula é $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times s^{2}}{2}}$, onde $s$ equivale ao comprimento de um dos lados do hexágono. Como o comprimento de um dos lados do hexágono mede 4 cm, calcule:
     $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times 4^{2}}{2}}$
     $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times 16}{2}}$
     $A={\frac {48{\sqrt {3}}}{2}}$
     $A={\frac {83,14}{2}}$
     $A=41,57$.
     Sendo assim, a área da base é de 41,57 centímetros quadrados.
   DICA DE ESPECIALISTA

   

   Grace Imson, MA

   Professora de Matemática, City College of San Francisco

   Grace Imson é professora de matemática com mais de 40 anos de experiência. Atua hoje no City College of San Francisco e integrou o Departamento de Matemática da Saint Louis University. Ensinou matemática em todos os níveis de ensino. Possui Mestrado em Educação, especialização em Administração e Supervisão pela Saint Louis University.

   

   Grace Imson, MA
   Professora de Matemática, City College of San Francisco

   Nossa especialista concorda: a área da pirâmide é igual à soma da área de todos os lados. Primeiro, precisa descobrir a área da base, e depois somar a das laterais.
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   Substitua a área da base na fórmula. Substitua a variável $B$.

   • Por exemplo, se a área da base hexagonal mede 41,57 cm², a fórmula da área agora vai ficar da seguinte forma: $SA={\frac {24\times 12}{2}}+41,57$.
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   Multiplique o perímetro da base pela altura inclinada da pirâmide. Em seguida, divida esse valor por dois. Essa conta vai resultar na área da superfície lateral da pirâmide.

   • Por exemplo:
     $SA={\frac {24\times 12}{2}}+41,57$
     $SA={\frac {288}{2}}+41,57$
     $SA=144+41,57$
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   Some os dois valores. A soma vai a área da superfície lateral com a área da superfície da base, resultando na área da superfície da pirâmide, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo:
     $SA=144+41,57$
     $SA=185,57$
     Portanto, a área da superfície total da pirâmide hexagonal com comprimento da borda de 4 cm e uma altura inclinada de 12 cm é de 185,57 cm².
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Método 2

Método 2 de 2:

Encontrando a área da superfície de uma pirâmide quadrangular

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   Monte a fórmula da área da superfície de uma pirâmide quadrangular. A fórmula é $SA=b^{2}+4({\frac {bh}{2}})$, onde $b$ equivale ao comprimento de um lado da base e $h$ equivale à altura inclinada da pirâmide.

   • Não confunda "altura inclinada" com "altura". A "altura inclinada" é a distância diagonal do ápice da pirâmide até a borda da base. A "altura" é a distância perpendicular do vértice até a base.
   • Observe que essa fórmula é apenas outra forma de escrever Área da Superfície Total = Área da Base ($b^{2}$) + Área Lateral ($4({\frac {bh}{2}})$). Essa fórmula somente funciona em pirâmides quadrangulares.
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   Substitua os valores do comprimento lateral e da altura inclinada na fórmula. Substitua a variável $b$ pelo comprimento lateral da base, e $h$ pela altura inclinada.

   • Por exemplo, se o comprimento de um lado da base da pirâmide quadrangular mede 4 cm, e a altura inclinada mede 12 cm, a fórmula vai ficar da seguinte maneira: $SA=4^{2}+4({\frac {(4)(12)}{2}})$.
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   Eleve o comprimento do lado da base ao quadrado. O resultado vai ser a área da superfície da base.

   • Por exemplo:
     $SA=4^{2}+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
     $SA=16+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
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   Multiplique o comprimento da lateral da base pela altura inclinada e divida o resultado por dois. Em seguida, multiplique o resultado por quatro. Essa conta vai resultar na área da superfície lateral da pirâmide.

   • Por exemplo:
     $SA=16+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
     $SA=16+4({\frac {48}{2}})$
     $SA=16+4(24)$
     $SA=16+96$
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   Some a área da superfície da base com a área da superfície lateral. Essa conta vai resultar na área da superfície total da pirâmide, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo:
     $SA=144+41,57$
     $SA=185,57$
     Portanto, a área da superfície total de uma pirâmide quadrangular com um comprimento lateral de 4 cm e uma altura inclinada de 12 cm é de 112 cm².
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Materiais Necessários

• Lápis
• Papel
• Calculadora (opcional)
• Régua (opcional)