Como Descobrir Se Duas Retas São Paralelas

Linhas paralelas são duas linhas em um determinado plano que jamais se cruzam (o que significa que seguirão para sempre sem se tocarem).^{[1]XFonte de pesquisa} Uma característica importante das linhas paralelas é que ambas têm o mesmo declive.^{[2]XFonte de pesquisa} O declive pode ser definido como a elevação (mudança nas coordenadas X) de uma linha ou, em outras palavras, a angulação dela.^{[3]XFonte de pesquisa} Linhas paralelas são mais comumente representadas por duas linhas verticais (ll). Por exemplo, ABllCD indica que AB são paralelas a CD.

Método 1

Método 1 de 3:

Comparando os declives de cada linha

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Defina a fórmula do declive. O declive de uma linha é definido como (Y₂ - Y₁)/(X₂ - X₁), onde X e Y representam as coordenadas horizontais e verticais de pontos nela existentes. Para calcular essa fórmula, você deve definir dois pontos. O que estiver mais próximo da base da linha será (X₁, X₁) e o mais alto será (X₂, X₂).^{[4]XFonte de pesquisa}
- Essa fórmula pode ser chamada também de inclinação da linha. Ela representa a diferença vertical sobre a horizontal, ou sua inclinação.
- Se uma linha está voltada para cima e para a direita, ela tem uma inclinação positiva.
- Se a linha estiver voltada para baixo e para a direita, ela tem uma inclinação negativa.
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Identifique as coordenadas X e Y de dois pontos presentes em cada linha. Um ponto em uma linha está dado pelas coordenadas (X, Y), onde X representa o local no eixo horizontal e Y, o local no eixo vertical. Para calcular a inclinação, você deve identificar dois pontos em cada uma das linhas em estudo.^{[5]XFonte de pesquisa}
- Esses pontos podem ser facilmente determinados se a linha estiver desenhada em um papel quadriculado.
- Para determinar um ponto, desenhe uma linha pontilhada a partir do eixo horizontal até cruzar a linha original. A posição de início no eixo horizontal representa a coordenada X enquanto a Y, será o ponto em que a linha pontilhada se cruza com o eixo vertical.
- Por exemplo: a linha l tem os pontos (1, 5) e (-2, 4), enquanto a linha r tem os pontos (3, 3) e (1, -4).
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Insira os pontos de cada linha na fórmula do declive. Para calcular a inclinação, basta inserir os números e realizar a subtração e a divisão respectivas. Coloque as coordenadas determinadas nos valores X e Y da fórmula.
- Para calcular a inclinação da linha l: declive = (5 - (-4))/(1 - (-2))
- Subtração: declive = 9/3
- Divisão: declive = 3
- A inclinação da linha r é: declive = (3 - (-4))/(3 - 1) = 7/2
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Compare os declives de cada linha. Lembre-se de que duas linhas só são paralelas se possuírem declives idênticos. Elas podem parecer paralelas no papel e até estarem bastante próximas — no entanto, se não tiverem declives exatamente iguais, não são paralelas.^{[6]XFonte de pesquisa}
- Nesse exemplo, 3 não é igual a 7/2 e, por isso, essas linhas não são paralelas.
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Método 2

Método 2 de 3:

Usando a equação da reta

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Determine a equação da reta de uma linha. A equação da reta tem como fórmula básica y = mx + b, onde m representa o declive, b representa o eixo y e x e y são variáveis representando coordenadas na linha — geralmente, elas permanecem como x e y na equação. Nesse formato, você pode determinar facilmente o declive da linha como a variável "m".^{[7]XFonte de pesquisa}
- Por exemplo, reescreva 4y - 12x = 20 e y = 3x - 1. A equação 4y - 12x = 20 deve ser reescrita algebricamente, enquanto y = 3x - 1 já se encontra na fórmula básica da equação da reta e não precisa ser reordenada.
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Reescreva a fórmula como equação da reta. Às vezes, a fórmula da linha não está ainda ordenada como equação da reta. Basta um pouco de matemática e esforço para rearranjar as variáveis e obter o formato desejado.
- Por exemplo: reescreva a linha 4y - 12x = 20 como equação da reta.
- Some 12x a ambos os lados da equação: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x.
- Divida cada lado por 4 para obter o resultado de y: 4y/4 = 12x/4 + 20/4.
- Equação da reta: y = 3x + 5.
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Compare os declives de cada linha. Lembre-se de que, quando duas linhas são paralelas entre si, ambas terão a mesma inclinação. Com a equação y = mx + b, onde m representa o declive da linha, você poderá identificar e comparar a inclinação de cada uma delas.
- Em nosso exemplo, a primeira linha apresenta a fórmula y = 3x + 5, de modo que seu declive é igual a 3. A outra linha apresenta a fórmula y = 3x - 1, também com um declive igual a 3. Como ambas as inclinações são idênticas, isso significa que as duas linhas são paralelas.
- Observe que, se essas equações tivessem o mesmo valor Y, ambas seriam uma única linha em vez de apenas paralelas.^{[8]XFonte de pesquisa}
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando um ponto e um coeficiente angular

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Use o método com o ponto e o coeficiente angular. Essa forma permite a você escrever a equação da linha, caso conheça seu declive e possua uma coordenada (x, y). Ela pode ser usada se você quer determinar uma segunda linha paralela a outra, já existente e com um declive definido. A fórmula é y - y₁ = m(x - x₁), onde m representa o declive da linha, x₁ representa a coordenada x de um ponto da linha e y₁ representa a coordenada y do mesmo ponto. Assim como no método anterior, x e y são variáveis representando coordenadas presentes na linha — geralmente, elas permanecerão como x e y na equação.^{[9]XFonte de pesquisa}
- Os seguintes passos funcionam nesse exemplo: escreva a equação de uma linha paralela à linha y = -4x + 3 que passa pelo ponto (1, -2).
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Determine o declive da primeira linha. Ao escrever a fórmula de uma nova linha, você deve antes identificar o declive da já existente. É importante que, para a linha original, você use a equação da reta e conheça seu respectivo declive (m).
- A linha original pode ser representada por y = -4x + 3. Nessa equação, -4 representa a variável m e, desse modo, o declive da linha.
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Identifique um ponto na nova linha. Essa equação funciona apenas se você tiver uma coordenada que passa pela nova linha. Lembre-se de escolher uma que já não esteja presente na linha original. Se as fórmulas finais têm a mesma equação da reta, elas não são paralelas, mas a mesma linha.
- Em nosso exemplo, usaremos a coordenada (1, -2).
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Escreva a fórmula da nova linha com a equação da reta. Lembre-se de que a fórmula é y - y₁ = m(x - x₁). Coloque o declive e as coordenadas do ponto para escrever a fórmula da nova linha que será paralela à primeira.
- Em nosso exemplo, com declive (m) igual a -4 e coordenadas (x, y) iguais a (1, -2): y - (-2) = -4(x - 1)
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Simplifique a equação. Depois de inserir os números, a equação deve ser simplificada para sua forma mais comum. Essa linha da equação, se projetada em um plano cartesiano, estará paralela à equação original.
- Por exemplo: y - (-2) = -4(x - 1)
- Dois negativos formam um positivo: y + 2 = -4(x - 1)
- Distribua o -4 para x e -1: y + 2 = -4x + 4.
- Subtraia -2 de ambos os lados: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2.
- Equação simplificada: y = -4x + 2.
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