Comment démontrer que deux droites sont parallèles

Par définition, deux droites d’un plan sont dites parallèles si elles n’ont aucun point en commun, et cela à l’infini ^{[1]XSource de recherche}. Cela s’explique par le fait que leurs équations ont le même coefficient directeur, aussi appelé pente ^{[2]XSource de recherche}. La pente d’une droite se définit comme étant le rapport du déplacement vertical d’une droite (variation de l’ordonnée) sur le déplacement horizontal (variation de l’abscisse) : c’est l’inclinaison de la droite ^{[3]XSource de recherche}. Des droites parallèles se notent avec le symbole //. Ainsi, l’expression AB//CD signifie que la droite AB est parallèle à la droite CD.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Comparer les pentes de deux droites

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Sachez la formule de calcul de la pente d’une droite. Celle-ci est définie par la formule suivante : (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), dans laquelle les x sont les abscisses de deux points de la droite et les y, les ordonnées de ces mêmes points. Pour pouvoir utiliser cette formule, vous devez en passer par les coordonnées de deux points quelconques et distincts. Pour éviter les nombres négatifs, on posera que (x₁, y₁) sont les coordonnées du point le plus bas de la droite et que (x₂, y₂), celles du point le plus haut ^{[4]XSource de recherche}.
- En fait, la pente est le rapport du déplacement vertical sur le déplacement horizontal. Elle exprime de combien la droite s’élève quand elle se déplace horizontalement : c’est une inclinaison, en somme.
- Si la droite s’élève en allant sur la droite, la pente est positive.
- Si la droite descend en allant sur la droite, la pente est négative.
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Récupérez les coordonnées de deux points sur chaque droite. Un point d’une droite se définit par ses deux coordonnées (x, y), x étant son abscisse (axe horizontal) et y, son ordonnée (axe vertical). Pour calculer les pentes, comme cela a été dit précédemment, vous devez prendre les coordonnées de deux points sur chacune des deux droites ^{[5]XSource de recherche}.
- Les coordonnées d’un point sont plus faciles à déterminer quand la droite est faite sur un papier quadrillé (papier millimétré).
- Pour trouver les coordonnées d’un point, tracez une ligne pointillée qui part d’un point de l’axe des abscisses jusqu’à la courbe, puis tracez une nouvelle ligne pointillée depuis ce point d’intersection jusqu’à l’axe des ordonnées. La valeur de l’axe de départ est l’abscisse (x) du point de la droite, tandis que celle de l’axe d’arrivée est l’ordonnée (y) de ce même point.
- Sur l’image ci-dessus, les points (1, 5) et (-2, 4) appartiennent à la droite l, tandis que les points (3, 3) et (1, -4) appartiennent à la droite r.
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Utilisez la même formule pour calculer les deux pentes. Calculez les deux pentes en remplaçant dans la formule, les x et le y par leurs valeurs respectives. Faites bien attention à respecter l’ordre imposé par la formule.
- Pour calculer la pente de la droite l, posez : pente = (5 – (-4))/(1 – (-2)).
- Faites les soustractions : pente = 9/3.
- Faites la division : pente = 3.
- Pour calculer la pente de la droite r, posez : pente = (3 – (-4))/(3 - 1). La pente est 7/2.
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Comparez les pentes des deux droites. Pour mémoire, deux droites parallèles ont, par définition, la même pente. Deux droites peuvent très bien sembler parallèles sur le papier, mais seule la comparaison de leurs pentes peut vous amener à conclure qu’elles le sont réellement ^{[6]XSource de recherche}.
- Ici, 3 n’étant pas égal à 7/2 (= 3,5), vous pouvez en conclure que les deux droites ne sont pas parallèles.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Utiliser la forme fonctionnelle d’une équation de droite

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Sachez reconnaitre la forme fonctionnelle d’une équation. Sous sa forme fonctionnelle (ou réduite), l’équation d’une droite se présente ainsi : y = mx + b, dans laquelle m est la pente, b, le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (ou « ordonnée à l’origine ») et x et y sont les coordonnées de n’importe quel point de la droite. Ces deux inconnues restent inchangées dans l’équation. L’équation ainsi présentée, il est très facile de déterminer la pente de la droite, puisque c’est m ^{[7]XSource de recherche}.
- Par exemple, réarrangez, si nécessaire les équations 4y - 12x = 20 et y = 3x -1. La première doit être reformulée, tandis que la seconde peut être directement utilisée, elle est déjà sous la forme y = mx + b.
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Présentez l’équation sous sa forme fonctionnelle. Selon les exercices, vous aurez affaire à des équations de droites se présentant sous la forme y = ax + b, mais ce n’est pas systématiquement le cas. Il vous faudra alors faire quelques petits arrangements pour que l’équation soit sous la forme y = ax + b (ou y = mx + b, ce qui revient au même).
- À titre d’exemple, présentez l’équation 4y - 12x = 20 sous sa forme fonctionnelle.
- Ajoutez 12x de chaque côté de l’équation : 4y – 12x + 12x = 20 + 12x.
- Divisez de chaque côté par 4 afin d’isoler y : 4y/4 = 12x/4 + 20/4.
- La forme fonctionnelle est alors : y = 3x + 5.
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Comparez les pentes de chaque droite. Pour mémoire, deux droites parallèles ont, par définition, la même pente. Une fois les deux équations mises sous la forme y = mx + b, vous pourrez comparer les deux valeurs de m, m étant la pente de la droite.
- Dans notre exemple, la première droite a pour équation : y = 3x + 5, sa pente est donc de 3. L’autre droite a pour équation : y = 3x – 1, la pente est aussi de 3. En conclusion, puisqu’elles ont toutes deux la même pente, ces deux droites sont parallèles.
- Si ces deux droites coupent l’axe des ordonnées au même point, vous n’avez qu’une droite et non deux parallèles, l’équation est la même ^{[8]XSource de recherche}.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Déterminer l’équation d’une parallèle passant par un point donné

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Déterminez l’équation de cette parallèle. Il existe une formule toute faite qui donne l’équation d’une droite parallèle à une autre passant par un point quelconque du plan. Elle ne peut être utilisée que si vous connaissez la pente de la première droite et les coordonnées (x, y) du point en question. Pour ce qui est de la pente, vous devez avoir l’équation de la première droite. L’équation théorique de la parallèle est alors la suivante : y – y₁= m(x – x₁), dans laquelle m est la pente de la droite, x₁ est l’abscisse d’un point de la droite parallèle à la première et y₁, l’ordonnée de ce même point. Comme dans les équations sous forme fonctionnelle, x et y représentent les coordonnées d’un quelconque point de la droite et, comme telles, ne seront donc pas remplacées lors des calculs ^{[9]XSource de recherche}.
- Pour être plus clair, prenons l’exercice suivant : trouvez l’équation de la droite parallèle à la droite d’équation y = -4x + 3 et passant par le point (1, -2).
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Déterminez la pente de la première droite. Pour pouvoir trouver l’équation de la droite parallèle à la première, vous devez d’abord trouver la pente de cette dernière. Pour que cela soit plus facile, l’équation devra être sous la forme y = mx + b, ce qui vous permet de récupérer la pente m.
- Vous cherchez une droite parallèle à la droite d’équation : y = -4x + 3. La pente m de cette droite est donc -4, deux droites parallèles ayant la même pente.
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Choisissez un point sur cette future droite. Vous n’obtiendrez l’équation que si vous prenez un point sur cette parallèle. Bien sûr, il est hors de question de prendre un point sur la droite de départ. Ce ne serait pas grave, simplement vous obtiendrez la même équation et donc, la même droite.
- Dans notre exemple, nous prendrons le point de coordonnées (1, -2) qui n’appartient pas à la droite de départ.
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Inscrivez l’équation théorique de la droite parallèle. Pour rappel, elle se présente sous la forme cartésienne suivante : y – y₁= m(x – x₁). Remplacez m par sa valeur et x₁ et y₁ par leurs valeurs, x et y restent inchangés.
- Revenons à notre exemple : la pente m est de -4 et les coordonnées du point sont (1, -2). La formule se présente ainsi : y – (-2) = -4(x – 1).
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Simplifiez l’équation. Une fois l’application numérique faite, vous tombez sur une équation cartésienne qui se simplifie pour donner une équation fonctionnelle. Si vous tracez la droite, vous constaterez qu’elle est bien parallèle à la première et passe bien par le point que vous avez choisi.
- Reprenez l’équation : y – (-2) = -4(x – 1).
- Simplifiez à gauche (soustraire un nombre négatif revient à l’additionner) : y + 2 = -4(x -1).
- Développez le membre de droite : y + 2 = -4x + 4.
- Ôtez 2 de chaque côté : y + 2 – 2 = -4x + 4 – 2.
- Simplifiez l’équation : y = -4x + 2.
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