Cách để Tìm nghịch đảo của ma trận 3x3

Phép nghịch đảo thường được dùng trong giải tích để đơn giản hóa những bài toán khó giải theo những cách khác. Chẳng hạn như, việc nhân với nghịch đảo của một phân số sẽ dễ dàng hơn so với việc trực tiếp chia cho số đó. Đây chính là phép nghịch đảo. Tương tự, bởi không hề có dấu phân số dành cho ma trận, bạn sẽ phải nhân với ma trận nghịch đảo của nó. Việc tính tay ma trận nghịch đảo của một ma trận 3x3 có thể sẽ rất nhàm chán, nhưng đó là bài toán đáng để chúng ta xem xét. Bạn cũng có thể dùng máy tính vẽ đồ thị tiên tiến để làm điều này.

Phương pháp 1

Phương pháp 1 của 3:

Tạo ma trận bổ sung để tìm ma trận nghịch đảo

Tải về bản PDF

1
Kiểm tra định thức của ma trận. Bước đầu tiên: tìm định thức của ma trận. Nếu định thức bằng 0, việc đã xong: ma trận này không khả nghịch. Định thức của ma trận M có thể được ký hiệu là det(M).^{[1]XNguồn nghiên cứu}
- Để tìm nghịch đảo của ma trận 3x3, đầu tiên bạn phải tính định thức của nó.
- Để xem lại cách tìm định thức của ma trận, hãy tham khảo bài viết Tìm định thức ma trận 3x3.
2
Chuyển vị ma trận gốc. Chuyển vị nghĩa là phản chiếu ma trận qua đường chéo chính, hay nói cách khác, đổi chỗ phần tử thứ (i,j) và phần tử (j,i). Khi chuyển vị các phần tử của một ma trận, đường chéo chính (chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) không đổi.^{[2]XNguồn nghiên cứu}
- Một cách hiểu khác về chuyển vị chính là bạn sẽ viết lại ma trận sao cho hàng đầu tiên trở thành cột đầu tiên, hàng giữa trở thành cột giữa và hàng thứ ba trở thành cột thứ ba. Hãy lưu ý yếu tố màu sắc trong hình minh họa ở trên và để ý vị trí mới của các số.
3
Tìm định thức của từng ma trận con 2x2. Mọi phần tử của ma trận chuyển vị 3x3 mới đều được liên kết với một ma trận “con” 2x2 tương ứng. Để tìm ma trận con của từng phần tử, trước hết, hãy đánh dấu hàng và cột của phần tử đầu tiên. Sẽ có tất cả 5 phần tử được đánh dấu. Bốn phần tử còn lại tạo thành ma trận con.^{[3]XNguồn nghiên cứu}
- Trong ví dụ trên, nếu muốn tìm ma trận con của phần tử nằm ở hàng hai, cột một, bạn đánh dấu năm phần từ nằm ở hàng thứ hai và cột thứ nhất. Bốn phần tử còn lại chính ma trận con tương ứng.
- Tìm định thức từng ma trận con bằng cách nhân theo các đường chéo và trừ hai tích cho nhau, như được thể hiện ở hình trên.
- Hãy đọc thêm để có nắm rõ hơn về ma trận con và công dụng của chúng.
4
Tạo ma trận các phần phụ đại số. Đặt kết quả thu được từ bước trước vào một ma trận mới được cấu thành từ các phần phụ đại số bằng cách xếp từng định thức ma trận con vào vị trí tương ứng trong ma trận gốc. Như vậy, định thức tính được từ phần tử (1,1) của ma trận gốc sẽ được đặt ở vị trí (1,1). Tiếp đó, bạn sẽ phải đổi dấu phần tử thay thế của ma trận mới này theo bảng tham chiếu được trình bày trong hình minh họa ở trên.^{[4]XNguồn nghiên cứu}
- Khi xác định dấu, dấu của phân tử đầu tiên của hàng đầu sẽ được giữ nguyên. Dấu của phần tử thứ hai bị đảo. Dấu của phần tử thứ ba được giữ nguyên. Tiếp tục như vậy cho phần còn lại của ma trận. Lưu ý rằng dấu (+) hay (-) trong biểu đồ tham chiếu không cho thấy đến cuối cùng, phần tử sẽ mang dấu dương hay dấu âm. Chúng chỉ thể hiện rằng các phần tử ấy sẽ được giữ nguyên (+) hay đổi dấu (-).
- Hãy tham khảo kiến thức căn bản về ma trận để biết thêm về phần phụ đại số.
- Kết quả cuối cùng mà ta thu được ở bước này chính là ma trận bổ sung của ma trận gốc. Đôi khi, nó còn được gọi là ma trận liên hợp và được ký hiệu là Adj(M).
5
Chia mọi phần tử của ma trận bổ sung cho định thức. Dùng định thức của ma trận M mà bạn đã tính được ở bước đầu tiên (để kiểm tra xem liệu ma trận có khả nghịch hay không). Giờ, hãy chia mọi phần tử của ma trận cho giá trị này. Đặt thương của từng phép chia vào vị trí của phần tử gốc, ta được ma trận nghịch đảo của ma trận ban đầu.^{[5]XNguồn nghiên cứu}
- Ma trận mẫu được trình bày trong minh họa có định thức bằng 1. Do đó, khi chia mọi phần tử của ma trận bổ sung cho định thức, ta thu được chính nó (không phải lúc nào bạn cũng sẽ may mắn như vậy).
- Thay vì chia, một số tài liệu trình bày bước này như là nhân mọi phần tử của M với 1/det(M). Về mặt toán học, chúng là tương đương.
Quảng cáo

Phương pháp 2

Phương pháp 2 của 3:

Giảm hàng tuyến tính để tìm ma trận nghịch đảo

Tải về bản PDF

1
Thêm ma trận đơn vị vào ma trận gốc. Viết ma trận gốc M, vẽ một đường dọc vào bên phải của ma trận đó rồi viết ma trận đơn vị ở bên phải đường này. Lúc này, ta có một ma trận với ba hàng và sáu cột.^{[6]XNguồn nghiên cứu}
- Nhớ là ma trận đơn vị là ma trận đặc biệt với mọi phần tử thuộc đường chéo chính, chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải, đều bằng 1 và mọi phần tử ở các vị trí còn lại đều bằng 0.
2
Thực hiện phép giảm hàng tuyến tính. Mục tiêu ở đây là tạo ma trận đơn vị ở phần bên trái của ma trận mới được mở rộng. Khi thực hiện các bước giảm hàng ở bên trái, bạn phải thực hiện tương ứng với phần bên phải – phần vốn là ma trận đơn vị của bạn.^{[7]XNguồn nghiên cứu}
- Nhớ rằng giảm hàng được thực hiện như là một phép kết hợp của nhân vô hướng và cộng hoặc trừ hàng, nhằm cô lập các phần tử riêng lẻ của ma trận.
Tiếp tục phép giảm hàng tuyến tính cho đến khi xuất hiện ma trận đơn vị (phần tử nằm trên đường chéo bằng 1, các phần tử khác đều bằng 0) ở phần bên trái của ma trận được mở rộng. Khi đã đến được bước này, phần bên phải của đường chia thẳng đứng chính là ma trận nghịch đảo của ma trận gốc.^{[8]XNguồn nghiên cứu}
Sao chép lại các phần tử hiện đang nằm ở phần bên phải của đường chia thẳng đứng và đó chính là ma trận nghịch đảo của bạn.^{[9]XNguồn nghiên cứu}
Quảng cáo

Phương pháp 3

Phương pháp 3 của 3:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng máy tính bỏ túi

Tải về bản PDF

Máy tính bốn chức năng đơn giản sẽ không thể trực tiếp tìm ma trận nghịch đảo giúp bạn. Tuy nhiên, vì tính lặp đi lặp lại của các phép toán, một chiếc máy tính vẽ đồ thị tiên tiến, chẳng hạn như Texas Instruments TI-83 hay TI-86, có thể giảm bớt đáng kể phần việc phải làm của bạn. ^{[10]XNguồn nghiên cứu}
Đầu tiên, vào chức năng Ma trận của máy tính bằng cách nhấn phím Matrix (Ma trận), nếu trên máy của bạn có phím này. Với máy Texas Instruments, bạn sẽ phải nhấn 2^nd Matrix.
Để vào được thực đơn con này, có thể bạn sẽ phải dùng nút mũi tên hoặc chọn những phím chức năng phù hợp nằm ở hàng trên của bàn phím máy tính, tùy vào thiết kế của nó. ^{[11]XNguồn nghiên cứu}
Hầu hết máy tính bỏ túi đều được trang bị để làm việc với từ 3 đến 10 ma trận, được đặt tên bằng chữ cái, từ A đến J. Thông thường, hãy cứ bắt đầu với [A]. Nhấn phím Enter để xác nhận việc chọn tên.^{[12]XNguồn nghiên cứu}
Bài viết này tập trung vào ma trận 3x3. Tuy nhiên, máy tính bỏ túi có thể xử lý ma trận lớn hơn. Hãy nhập số hàng, nhấn Enter, rồi nhập số cột và nhấn Enter.^{[13]XNguồn nghiên cứu}
6
Nhập từng phần tử của ma trận. Một ma trận sẽ được hiển thị trên màn hình máy tính. Nếu trước đó bạn đã làm việc với chức năng ma trận, ma trận mà bạn đã làm việc từ trước sẽ xuất hiện trên màn hình. Con trỏ sẽ đánh dấu phần tử đầu tiên của ma trận. Nhập giá trị ma trận mà bạn muốn giải và nhấn Enter. Con trỏ sẽ tự động di chuyển đến phần tử tiếp theo, viết đè lại mọi giá trị trước đó.^{[14]XNguồn nghiên cứu}
- Nếu muốn nhập số âm, hãy dùng nút âm (-) của máy tính, đừng sử dụng phím trừ. Chức năng ma trận sẽ không đọc đúng.
- Nếu cần, bạn có thể dùng phím mũi tên trên máy tính để di chuyển trong ma trận.
Sau khi đã nhập toàn bộ giá trị của ma trận, hãy nhấn phím Quit – Thoát (hoặc 2^nd Quit, nếu cần). Nhờ đó, bạn thoát khỏi chức năng Ma trận và về với màn hình hiển thị chính của máy tính.^{[15]XNguồn nghiên cứu}
8
Dùng phím nghịch đảo để tìm ma trận nghịch đảo. Đầu tiên, mở lại chức năng Ma trận và dùng nút Names (Tên) để chọn tên ma trận mà bạn đã dùng để đặt cho ma trận của mình (có thể đó là [A]). Tiếp đến, nhấn phím nghịch đảo của máy tính, $x^{-1}$ $How.com.vn Tiếng Việt: x^{{-1}}$ . Tùy từng máy, có thể bạn sẽ phải dùng đến nút 2^nd. Màn hình hiển thị xuất hiện $A^{-1}$ $How.com.vn Tiếng Việt: A^{{-1}}$ . Nhấn Enter, và ma trận nghịch đảo sẽ xuất hiện trên màn hình của bạn. ^{[16]XNguồn nghiên cứu}
- Đừng dùng nút ^ trên máy tính khi cố nhập A^-1 bằng những lần bấm riêng lẻ. Máy tính sẽ không hiểu phép toán này.
- Nếu nhận được thông báo lỗi khi nhấn phím nghịch đảo, nhiều khả năng ma trận gốc của bạn không khả nghịch. Có lẽ bạn nên quay lại và tính định thức để xác định liệu đó có phải là lý do bị lỗi hay không.
9
Chuyển ma trận nghịch đảo thành đáp án chính xác. Kết quả đầu tiên mà máy tính trả về được biểu diễn dưới dạng thập phân. Đó không hẳn là đáp án “chính xác” với hầu hết mục đích sử dụng. Bạn nên chuyển đáp án thập phân này thành dạng phân số nếu cần (nếu đủ may mắn, mọi kết quả của bạn đều là số nguyên. Tuy nhiên, đó là trường hợp rất hiếm).^{[17]XNguồn nghiên cứu}
- Có thể máy tính của bạn có chức năng tự động chuyển số thập phân sang phân số. Chẳng hạn như, khi sử dụng TI-86, bạn có thể vào chức năng Math (Toán), chọn Misc rồi Frac và nhấn Enter. Số thập phân sẽ được tự động biểu diễn dưới dạng phân số.
10
Hầu hết máy tính vẽ đồ thị đều có phím ngoặc vuông (với TI-84, đó là 2nd + x và 2nd + -) cho phép nhập ma trận mà không cần dùng đến chức năng ma trận. Lưu ý: Máy tính có thể không định dạng ma trận cho đến khi phím enter/bằng được sử dụng (nghĩa là mọi thứ sẽ nằm trên cùng một hàng và chẳng hề đẹp mắt).
Quảng cáo

Lời khuyên

Bạn có thể làm theo những bước này để tìm nghịch đảo của ma trận không chỉ chứa số mà còn chứa biến, ẩn số hay thậm chí là các biểu thức đại số.
Hãy viết ra toàn bộ các bước bởi việc tìm nghịch đảo của ma trận 3x3 chỉ bằng cách nhẩm tính là vô cùng khó.
Có những chương trình máy tính giúp bạn tìm ma trận nghịch đảo^{[18]XNguồn nghiên cứu}, lên đến và bao gồm ma trận 30x30.
Dù sử dụng phương pháp nào, hãy kiểm tra tính chính xác của kết quả bằng cách nhân M với M^-1. Bạn sẽ xác nhận được rằng M*M^-1 = M^-1*M = I. Trong đó, I là ma trận đơn vị, được cấu thành bởi các phần tử 1 nằm dọc trên đường chéo chính và các phần tử 0 ở những vị trí khác. Nếu không thu được kết quả như vậy, hẳn bạn đã sai sót ở đâu đó.

Cảnh báo

Không phải mọi ma trận 3x3 đều có ma trận nghịch đảo. Nếu định thức bằng 0, ma trận đó sẽ không khả nghịch (Lưu ý rằng trong công thức, ta chia cho det(M). Chia cho số 0 là một phép toán không xác định).