두 분수의 크기가 같은지 확인하는 법

두 분수가 같은 값을 가질 때 우리는 이를 동치분수라 부른다. 우리가 교과 과정을 따라 수학을 배우다보면 실제로 분수를 써야하는 경우가 상당히 잦다. 따라서 두 분수의 값이 같은지 식별하는 법은 고등학교 과정은 물론 대학 과정까지도 필요한 기본적인 수학 능력이라 할 수 있다. 이 글에서는 곱셈과 나눗셈 등 기본적인 사칙연산을 사용해 크기가 같은 분수를 계산하는 법부터 동치분수가 들어간 복잡한 식을 푸는 법까지 다양한 계산법을 배워보도록 하겠다.

방법 1

방법 1 의 5:

동치분수 만들기

PDF 다운로드

1
분자와 분모에 같은 수 곱하기. 다른 형태를 지녔지만 같은 값, 즉 같은 비율을 가진 두 분수는 정의에 의해 서로의 배수가 된다. 즉 한 분수의 분자와 분모에 같은 값을 곱하면 다른 분수가 된다는 말이다. 이를 응용하면, 어떤 분수를 놓고 다양한 수를 분자와 분모에 곱해 여러 동치분수를 만들어 볼 수 있을 것이다. 수를 곱해 나온 분수는 수는 다르지만 결과적으로 같은 비율, 값을 가지게 될 것이다.
- 예로, 4/8이라는 분수가 있으면 분자와 분모에 2를 곱해 다음처럼 (4×2)/(8×2) = 8/16을 얻을 수 있다. 위에서 설명한 바와 같이 이 두 분수는 같은 값을 지닌다.
- (4×2)/(8×2)를 바꾸어 쓰면 4/8 × 2/2과 같다. 분수의 사칙연산을 배웠다면 분수끼리 곱할 때 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다는 점을 이미 알고 있을 것이다.
- 2/2를 보도록 하자. 2를 2로 나누면 1이 되므로 결국 2/2는 1과 같다고 말할 수 있다. 따라서 같은 방법을 적용시키면 8/16은 4/8 × (2/2) = 4/8로 쓸 수 있다. 이는 4/8 = 8/16로 써도 무관하다.
- 모든 분수는 무한대의 동치분수를 가지고 있다. 분자와 분모에 같은 정수를 곱하기만 하면 결과의 크기에 상관없이 기존의 분수와 같은 값을 가지게 된다.
2
분자와 분모를 같은 수로 나누기. 곱셈과 같이 나누기를 통해서도 주어진 분수와 같은 값을 지니는 동치분수를 찾을 수 있다. 먼저 분자와 분모를 보고 둘 다 나눌 수 있는 수를 정해 나눠보도록 한다. 하지만 한 가지 주의를 하자면 이 방법을 적용시키기 위해서는 나눠서 나오는 분자와 분모가 정수일 필요가 있다는 점을 기억하도록 하자.
- 아까 위에서 계산했던 4/8을 놓고 보도록 하자. 이번에는 곱셈 대신 분자와 분모를 2로 나눠보도록 하겠다. 다음처럼 식을 쓸 수 있을 것이다. (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2와 4는 둘 다 정수에 속하므로 이 분수는 기존의 분수와 동치라고 할 수 있다(값이 같다는 뜻이다).
광고

방법 2

방법 2 의 5:

곱셈을 통해 크기가 같은지 확인하기

PDF 다운로드

1
작은 분모에 어떤 수를 곱해야 다른 분수의 분모가 될 수 있을지 알아보기. 분수 문제를 풀다보면 두 분수가 같은지 확인해야 할 때가 있을 것이다. 이 때 분모를 같게 만들 수 있는 수를 찾을 수만 있다면 두 분수를 쉽게 비교할 수 있을 것이다.
- 다시 4/8과 8/16을 놓고 문제를 풀어보도록 하자. 일단 크기가 더 작은 분모는 8이다. 여기에 어떤 수를 곱해야 16이 될 수 있을까? 그렇다. 바로 2를 곱하면 된다. 따라서 위 그림처럼 우리는 이 과정에서 2를 얻은 것이다.
- 만약 계산이 복잡할 것 같으면 크기가 큰 분모를 작은 분모로 나눠보자. 16을 8로 나누면 2가 나오기 때문에 2를 쉽게 얻을 수 있다.
- 여기서 곱해야 하는 수가 정수가 아닐 수도 있다는 점에 주의한다. 예를 들어 두 분수의 분모가 2와 7이었다면 곱해야 할 수는 3.5가 될 것이다.
2
전 단계에서 구한 수를 작은 수로 표현된 분수의 분자와 분모에 곱하기. 수는 다르지만 크기는 같은 두 분수의의 정의는 다음과 같다. 두 분수의 분자와 분모는 배수관계에 있다. 즉, 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 형태는 달라지지만 값은 같은 분수가 탄생한다는 말이다.^{[1]X출처 검색하기}
- 4/8에 아까 위에서 구한 숫자인 2를 곱하면 (4×2)/(8×2) = 8/16이 나온다. 따라서 4/8과 8/16은 같은 분수임이 증명된 셈이다.
광고

방법 3

방법 3 의 5:

나눗셈을 통해 크기가 같은지 확인하기

PDF 다운로드

1
분수를 계산해 소수로 표현하기. 미지수 등이 포함되지 않은 단순한 형태의 분수는 간단하게 분자를 분모로 나눠 소수로 표현할 수 있으며, 이 방법을 통해 더 직관적으로 두 분수의 크기가 같은지 확인할 수 있다. 실제로 분수라는 것은 분자를 분모로 나눈다는 의미를 지니고 있기 때문에 이 방법은 이 글에서 설명하는 방법 중 가장 간단하고 직관적이라 말할 수 있을 것이다.
- 예를 들어 4/8이라는 분수가 있다고 하자. 이를 소수로 표현하기 위해 4를 8로 나누면 4/8 = 0.5가 나온다. 이제 다른 분수 8/16이 4/8과 같은지 확인해보도록 하자. 계산을 해보면 8/16 = 0.5로 같은 수가 나온다. 이 방법이 편리한 이유는 분수의 수와 상관없이 직접 나눠 소수로 표현하기만 하면 그 즉시 값이 같은지 다른지 확인할 수 있기 때문이다.
- 가끔 분수를 계산하다보면 딱 나눠 떨어질 때까지 소수점 아래 몇 자리까지 내려가야 할 때가 있을 것이다. 예를 들어 1/3 = 0.333처럼 끝나지 않고 계속해서 나눠지는 수가 있는 반면, 3/10 = 0.3처럼 간단하게 나눠지는 수도 있다. 두 수는 소수점 둘째 자리부터 값이 다르기 때문에 같은 크기를 지닌 분수가 아니다.
2
전 단계에서 구한 수로 분자와 분모를 나누기. 분수가 복잡하면 나누는 과정이 간단하게 끝나지 않을 수도 있다. 하지만 곱셈 때 했던 것과 같이 분수의 분자와 분모를 같은 수로 나누게 되면 결과적으로 다른 분수가 나오는 것을 확인할 수 있을 것이다. 한 가지 주의점을 쓰자면, 결과값으로 나온 분수의 분자와 분모가 정수여야 이 방법이 적용된다는 것이다.
- 다시 4/8을 보도록 하자. 이전 방법에서 썼던 것과는 반대로 이번에는 분자와 분모를 2로 나눠보도록 하겠다. (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 여기서 2와 4는 정수이므로 결과값은 제대로 된 분수라고 할 수 있다.
3
분수 약분하기. 분수는 일반적으로 약분을 한 상태로 쓰는 것이 좋다. 따라서 결과를 구했으면 분자와 분모의 최대공약수를 구해 나누도록 하자. 이 과정은 아까 위에서 설명했던 한 분모에 어떤 수를 곱해 다른 분모로 바꾸는 과정과 같은 방법을 사용한다. 다른 점은, 이 과정에서는 구한 수를 분수에 곱하는 것이 아닌, 분수를 구한 수로 나눈다는 점이다.
- 분수가 최대한 약분된 기약분수 상태일 때는 분자와 분모가 최대한 작은수로 표현됐을 것이다. 이 때 분자와 분모는 그 어떤 정수로도 나눠질 수 없다. 따라서 기약분수 형태가 아닌 분수를 기약분수 형태인 크기가 같은 분수로 바꾸기 위해서는 분모와 분자를 최대공약수로 나눌 필요가 있다.
- 최대공약수는 분자와 분모를 공통적으로 나눌 수 있는 수 중 가장 큰 수를 의미한다. 4/8을 놓고 다시 보자면 4가 분자와 분모를 공통적으로 나눌 수 있으므로 이를 통해 주어진 분수를 기약분수 형태로 바꿀 수 있다. (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. 8/16을 놓고 보면 최대공약수가 8임을 알 수 있다. 따라서 결과는 1/2가 될 것이며, 이 형태가 더 이상 약분이 불가능한 기약분수 형태이다.
광고

방법 4

방법 4 의 5:

교차곱을 통해 미지수 구하기

PDF 다운로드

우리는 두 분수가 동치분수, 즉 크기가 같은 분수일 때 등호를 통해 같다고 표현할 수 있다. 그리고 등호로 같다고 표현된 분수는 교차곱에 열린 상태가 된다. 이 과정에서는 같은 값을 가지는 분수에 미지수(주로 x)가 들어가 있을 때 어떻게 풀어야 하는지에 대해 설명할 것이다. 일단 우리는 등호가 같다는 뜻임을 알고 있으므로 두 분수의 크기가 같다는 것을 전제로 둘 수 있다. 하지만 아직 미지수가 무엇인지 알아내기에는 무언가 부족함을 느낄 것이다. 이 때 사용할 수 있는 방법이 교차곱이다. 이 방법을 사용하면 문제를 비교적 쉽게 풀 수 있다.^{[2]X출처 검색하기}
2
두 분수를 등호를 기준으로 "X"자로 곱하기. 위 그림을 참고해 한 분수의 분자를 다른 분수의 분모와 곱하고 반대쪽도 마찬가지로 곱해 두 수를 같다고 쓰도록 하자. 이제 미지수를 알아낼 준비가 모두 끝난 것이다.^{[3]X출처 검색하기}
- 다시 4/8과 8/16을 놓고 보도록 하자. 일단 두 분수는 미지수를 포함하고 있지 않다. 하지만 교차곱이 정말 적용되는지는 확인할 수 있을 것이다. 먼저 분자와 분모를 곱해보면 4 x 16 = 8 x 8과 같이 쓸 수 있을 것이다. 식을 계산하면 64 = 64이 되며, 이는 참인 명제이다. 만약 두 수가 같지 않다면 두 분수는 크기가 다른 분수인 것이다.
3
미지수 넣어 문제 풀어보기. 이제 교차곱이 정말 적용되는지 확인했으므로 미지수를 실제로 넣어 문제를 풀어보도록 하자.
- 다음과 같은 식이 주어졌다고 가정하자. 2/x = 10/13. 일단 앞에서 배운대로 교차곱을 해보면 2와 13을 곱하고 10과 x를 곱해 같다고 놓으면 될 것이다. 그러면 아래처럼 정리할 수 있다.
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. 여기서부터는 미지수를 등호의 한쪽으로 몰아 식을 정리하고 단순 계산을 통해 문제를 풀면 된다. x = 26/10 = 2.6. 이를 주어진 분수에 대입하면 2/2.6 = 10/13가 될 것이다.
4
미지수가 여러개 있거나 분수에 식이 들어가 있을 때 교차곱 사용하기. 교차곱은 위에서 설명한 단순한 분수뿐만이 아닌 식이나 여러 개의 미지수가 포함된 복잡한 분수식에도 적용시킬 수 있어 매우 유용하다. 만약 두 분수가 각각 미지수를 가지고 있으면 일단 교차곱을 통해 같다고 놓고 마지막에 미지수를 한 쪽으로 모아 풀면 된다. 만약 분수의 분자나 분모에 다항식이 포함되어 있다면(예: x+1), 단순히 분배법칙을 적용시켜 곱하기만 하면 된다. 나머지는 평소 하던대로 식을 정리하면 문제를 쉽게 풀 수 있을 것이다.^{[4]X출처 검색하기}
- 예를 들어 다음과 같은 식이 주어졌다고 가정하고 문제를 풀어보자. ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). 이 경우에는 위에서 설명했던 대로 교차곱을 사용해 문제를 다음과 같이 푼다:
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, 여기에서는 양변에서 2x를 빼 아래처럼 정리하도록 한다.
  - 2 = 2x + 12, 이제 미지수를 한 변으로 빼기 위해 양변에서 12를 뺀다.
  - -10 = 2x, 마지막으로 x값을 구하기 위해 양변을 2로 나눈다.
  - -5 = x
광고

방법 5

방법 5 의 5:

근의 공식으로 미지수 구하기

PDF 다운로드

1
두 분수를 교차곱하기. 근의 공식을 사용해 풀어야 하는 동치분수 문제가 있을 때는 일단 교차곱을 사용해 식을 정리해야 한다. 하지만 이 때는 인수분해와 이차방정식에 대한 이해를 바탕으로 문제를 풀게 되기 때문에 먼저 언급한 두 가지 개념에 대해 철저히 공부하고 다음 단계로 넘어가도록 하자. 그리고 가능하면 근의 공식까지도 배워놓는 것이 좋을 것이다.^{[5]X출처 검색하기}
- 준비가 됐으면 다음 예시를 보도록 하자. ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). 식을 이해했으면 이제 교차곱을 하면 된다:
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x² - 2 = 12.
2
식을 정리해 이차방정식의 일반형으로 표현하기. 이차방정식의 일반형은 ax² + bx + c = 0로 표현된다. 중요한 것은 이 식을 계산한 값이 0과 같다는 것이다. 이제 다시 위의 예시를 보도록 하자. 양변에서 12를 빼 다음처럼 정리할 수 있을 것이다.2x² - 14 = 0.
- 어떤 값은 0일 수도 있다. 예를 들어 우리가 구한 식은 2x² - 14 = 0인데 이를 위에서 설명한 이차방정식의 일반형과 비교해 보면 뭔가 빠진 것이 있음을 눈치챌 것이다. 식을 바꿔 써보자면 이렇다. 2x² + 0x + (-14) = 0. 즉 b가 0이므로 x항이 사라지는 것이다. 특정 항이 0이라고 해서 걱정할 필요는 없다. 문제가 쉬워지면 쉬워졌지 어려워지지는 않을 것이다.
3
이차방정식의 계수를 근의 공식에 대입하기. 근의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다. x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a. 이를 사용해 미지수 x의 값을 구하도록 하자.^{[6]X출처 검색하기} 근의 공식이 긴 것은 사실이지만 두려워하지 말고 차근차근 대입해 값을 구하면 쉽게 풀 수 있을 것이다. 단순하다. 식의 계수를 공식에 대입해 사칙연산을 통해 계산하기만 하면 된다(제곱근 개념을 이해하고 있어야 근의 공식을 풀 수 있다).
- x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a. 우리 예시를 보면, 2x² - 14 = 0이므로, a = 2, b = 0, c = -14가 될 것이다.
- x = (-0 +/- √(0² - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √( 0 - -112))/2(2)
- x = (+/- √(112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2.64
위에서 구한 미지수 x의 값을 이차방정식의 일반형에 대입해 좌변과 우변이 0으로 같게 나오면 문제를 제대로 푼 것이다.^{[7]X출처 검색하기} 우리 예시에서는 x값이 2.64, -2.64로 나왔으므로 이를 위에서 썼던 식에 대입하도록 하자.
광고

팁

동치분수끼리 서로 변환하는 것은 1을 곱하는 것과 같다. 예를 들어 1/2를 2/4로 바꾸기 위에 분자와 분모에 2롤 곱한다고 생각해보자. 분자와 분모에 2를 곱하는 것은 2/2를 곱하는 것과 같다. 그리고 2/2는 1과 같다.
필요하면 대분수를 가분수로 바꿔 문제를 쉽게 풀어보자. 당연하겠지만, 수학 시간에 푸는 문제는 위에서 사용했던 예시(4/8)처럼 쉽지 않을 것이다. 만약 주어진 분수가 대분수 형태로 쓰여 있다면(예. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3) 바로 계산하기가 상당히 복잡할 것이다. 이런 대분수끼리 비교해 동치분수를 찾기 위해서는 크게 두 가지 방법이 있는데, 하나는 대분수를 가분수로 바꿔 비교하는 것이고, 나머지 하나는 대분수 형태를 유지하면서 계산하는 것이다.
- 대분수를 가분수로 바꾸기 위해서는 먼저 대분수의 분모를 대분수의 정수 부분에 곱해 나온 값에 분자를 더해주면 된다. 참고로 분모는 그대로 유지된다. 과정을 써보면 다음과 같을 것이다. 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. 이제 값을 변형했으면 분수와 비교하고 다시 값을 바꿔도 된다. 5/3 × 2/2 = 10/6이 나오는데, 이 값은 1 2/3과 같다.
- 대분수를 가분수로 꼭 바꿀 필요는 없다. 대분수의 정수부분을 떼어놓고 분수의 분모끼리 값을 같게 만든 다음 두 분수를 정수부분까지 다시 넣어 비교해도 된다. 예를 들어 3 4/16이 있다고 하면 먼저 분수 4/16을 떼어놓고 보는 것이다. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4이므로 다시 여기에 정수부분을 더해 3 1/4를 얻을 수 있다.

경고

분자와 분모에 같은 값을 곱하거나 같은 값으로 나눴을 때 같은 크기의 분수가 나오는 이유는 1을 곱하고 1로 나누기 때문이다(1 = 2/2, 3/3, ...). 이는 정의에 의해 보장된 결과이며 덧셈과 뺄셈은 이 방법에 포함되지 않는다.
분수끼리 곱할 때 분자는 분자끼리 곱하고 분모는 분모끼리 곱해 결과값을 얻지만 덧셈과 뺄셈을 하는 경우에는 분자는 그대로 유지한 채 분자끼리 더하고 빼야 한다.
- 예를 들어 아까 위에서 계산한 것처럼 4/8 ÷ 4/4 = 1/2에서 나눗셈 대신 덧셈을 했다고 하자. 분수에 4/4를 더하면 완전히 다른 결과가 나올 것이다. 다음 계산 과정을 보도록 하자. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2, 3/2, 4/8과는 전혀 다른 값이 나오는 것을 확인할 수 있다.