Come Calcolare un Fattoriale

I fattoriali vengono spesso usati per il calcolo delle probabilità e delle permutazioni o per i possibili ordini degli eventi.^{[1]XFonte di ricerca} Il fattoriale di un numero è indicato dal segno $!$ e prevede di moltiplicare tutti gli interi discendenti a partire da quel numero. Una volta che hai capito cos'è un fattoriale, è molto semplice calcolarlo, specialmente con l'aiuto di una calcolatrice scientifica.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Calcolare un Fattoriale

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Determina il numero di cui devi calcolare il fattoriale. Un fattoriale è indicato con un intero positivo e un punto esclamativo.
- Per esempio, se devi calcolare il fattoriale di 5, vedrai $5!$ .
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Scrivi la sequenza dei numeri da moltiplicare. Un fattoriale di un numero è semplicemente il prodotto degli interi positivi in ordine discendente rispetto a quel numero, fino a 1.^{[2]XFonte di ricerca} In termini di formule, $n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1$ $How.com.vn Italiano: {\displaystyle n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}$ , in cui $n$ $How.com.vn Italiano: n$ è un intero positivo.^{[3]XFonte di ricerca}
- Per esempio, se stai calcolando $5!$ , avresti $5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)$ oppure, più semplicemente: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ .
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Moltiplica i numeri. Puoi calcolare velocemente un fattoriale con una calcolatrice scientifica, che dovrebbe avere il simbolo $x!$ $How.com.vn Italiano: x!$ . Se invece vuoi fare il calcolo a mano, per semplificarlo cerca prima due fattori che moltiplicati danno 10.^{[4]XFonte di ricerca} Naturalmente, puoi ignorare anche l'1, perché tutti i numeri moltiplicati per 1 non cambiano.
- Per esempio, se devi calcolare $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ , ignora l'1, poi inizia da $5\cdot 2=10$ . Ora ti restano solo $4\cdot 3=12$ . Dato che $10\cdot 12=120$ , sai che $5!=120$ .
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Semplificare un Fattoriale

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Determina l'espressione da semplificare. Spesso comparirà come frazione.
- Per esempio, potresti dover semplificare ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ .
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Scrivi i fattori di ciascun fattoriale. Dato che il fattoriale $n!$ $How.com.vn Italiano: {\displaystyle n!}$ è un fattore di tutti i fattoriali di interi più grandi, per semplificare devi cercare fattori che puoi cancellare.^{[5]XFonte di ricerca} Se scrivi tutti i termini, diventa più facile.
- Per esempio, se vuoi semplificare ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ , riscrivi l'espressione come ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
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Annulla tutti i termini comuni al numeratore e al denominatore.^{[6]XFonte di ricerca} In questo modo semplificherai i numeri rimasti da moltiplicare.
- Per esempio, dato che $5!$ è un fattore di $7!$ , puoi cancellare $5!$ dal numeratore e dal denominatore:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
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Completa i calcoli. Semplifica, se possibile. In questo modo otterrai l'espressione finale semplificata.
- Per esempio:
  ${\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
  $={\frac {42}{24}}$
  $={\frac {7}{4}}$
  Quindi, ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ semplificato è ${\frac {7}{4}}$ .
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Risolvere Problemi Fattoriali Semplici

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Considera l'espressione 8!.
- Se stai usando una calcolatrice scientifica, premi il tasto $8$ , poi il tasto $x!$ .
- Se esegui il calcolo a mano, scrivi i fattori da moltiplicare:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Ignora l'1:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Porta fuori $5\cdot 2$ :
  $(5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
- Raggruppa per primi tutti i numeri facili da moltiplicare, poi svolgi i prodotti:
  $(10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)$
  $=(10)(12)(42)(8)$
  $=(120)(336)$
  $=40320$
  Quindi, $8!=40,320$ .
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Semplifica l'espressione: ${\frac {12!}{6!3!}}$ $How.com.vn Italiano: {\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}}$ .
- Scrivi i fattori di ciascun fattoriale:
  ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}$
- Annulla i termini comuni a numeratore e denominatore:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
- Completa i calcoli:
  ${\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
  $={\frac {665,280}{6}}$
  $=110,880$
  Quindi, l'espressione ${\frac {12!}{6!3!}}$ si semplifica con $110,880$ .
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Prova il problema seguente. Immagina di avere 6 quadri che vuoi mettere in mostra su un muro. In quanti modi puoi ordinarli?
- Dato che stai cercando di calcolare in quanti modi è possibile ordinare gli oggetti, puoi risolvere il problema semplicemente calcolando il fattoriale del numero di oggetti.
- Puoi calcolare il numero delle possibili disposizioni per 6 quadri appesi in fila risolvendo $6!$ .
- Se stai usando una calcolatrice scientifica, premi il tasto $6$ , seguito dal tasto $x!$ .
- Se esegui il calcolo a mano, scrivi i fattori da moltiplicare:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Ignora l'1:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Porta fuori $5\cdot 2$ :
  $(5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)6\cdot 4\cdot 3$
- Raggruppa per primi gli altri numeri facili da moltiplicare, poi esegui tutti i prodotti:
  $(10)(4\cdot 3)(6)$
  $=(10)(12)(6)$
  $=(120)(6)$
  $=720$
  Quindi, 6 quadri appesi in fila possono essere ordinati in 720 modi diversi.
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Prova il problema seguente. Hai 6 quadri. Immagina di disporne 3 in una fila su una parete. In quanti modi puoi ordinare 3 quadri?
- Dato che hai 6 quadri diversi, ma ne usi solo 3, devi moltiplicare solo i primi 3 numeri nella sequenza del fattoriale di 6. Puoi usare la formula ${\frac {n!}{(n-r)!}}$ , in cui $n$ è uguale al numero di oggetti che stai usando. Questa formula funziona solo se non ci sono ripetizioni (un oggetto non può essere scelto più di una volta) e se l'ordine ha importanza (vuoi scoprire i vari modi in cui gli elementi possono essere ordinati).^{[7]XFonte di ricerca}
- Puoi calcolare il numero di disposizioni possibili per 3 quadri scelti tra 6 e disposti in fila risolvendo ${\frac {6!}{(6-3)!}}$ .
- Sottrai i numeri nel denominatore:
  ${\frac {6!}{(6-3)!}}$
  $={\frac {6!}{3!}}$
- Scrivi i fattori di ciascun fattoriale:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}$
- Annulla i termini comuni di numeratore e denominatore:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}$
- Completa i calcoli: $6\cdot 5\cdot 4=120$ .
  Quindi 3 quadri scelti tra 6 possono essere ordinati in 120 modi diversi, se appesi in fila.
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Consigli

1! = 1 per definizione.
Anche se non è intuitivo, puoi assumere 0! = 1 quando non viene indicato altrimenti.
I fattoriali vengono usati per risolvere i problemi combinatori, quindi esercitati in questa capacità.
Ricorda di controllare sempre il tuo lavoro.