Winkelbeschleunigung berechnen

Die meisten Leute haben bereits eine allgemeine Vorstellung der Konzepte von Geschwindigkeit und Beschleunigung. Mit der Geschwindigkeit wird gemessen, wie schnell sich ein Gegenstand bewegt, und mit der Beschleunigung misst man, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Gegenstands verändert (d.h. ob er beschleunigt oder verlangsamt). Bewegt sich der Gegenstand in einem Kreis, wie ein sich drehender Reifen oder eine rotierende CD, werden die Geschwindigkeit und Beschleunigung im Allgemeinen über den Drehwinkel gemessen. Sie heißen dann Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. Wenn du die Geschwindigkeit eines Gegenstandes über einen bestimmten Zeitraum kennst, kannst du seine durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnen. In anderen Fällen könntest du eine Funktion haben, mit der du die Position des Gegenstandes berechnest. Mit diesen Informationen kannst du die Winkelbeschleunigung zu einem bestimmten Moment berechnen.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Die momentane Winkelbeschleunigung berechnen

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Stelle die Funktion für die Winkelposition fest. In manchen Fällen könnte eine Funktion oder Formel angegeben sein, die die Position eines Gegenstandes in Bezug auf die Zeit vorhersagt oder zuschreibt. In anderen Fällen musst du die Funktion vielleicht aus wiederholten Experimenten oder Beobachtungen ableiten. In diesem Artikel gegen wir davon aus, dass die Funktion angegeben ist oder zuvor errechnet wurde.^{[1]XForschungsquelle}
- Bei dem oben beschriebenen Beispiel haben Studien zu der Funktion $\theta (t)=2t^{3}$ geführt, wobei $\theta (t)$ das Winkelmaß der Position der Rotation zu einem bestimmten Zeitpunkt ist und $t$ für die Zeit steht.
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Finde die Funktion für die Winkelgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist das Maß dafür, wie schnell ein Gegenstand seine Position verändert. In mathematischen Begriffen kann man die Veränderung der Position im Laufe der Zeit finden, indem man die Ableitung der Positionsfunktion findet. Das Symbol für die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \omega }$ . Sie wird allgemein in Einheiten von Radiant (rad) geteilt durch die Zeit gemessen (Radiant pro Minute, Radiant pro Sekunde usw.).^{[2]XForschungsquelle}
- Finde in diesem Beispiel die erste Ableitung der Positionsfunktion $\theta (t)=2t^{3}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}$ :
  - $\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}=6t^{2}$
- Wenn man es möchte, kann man die Funktion verwenden, um die Winkelgeschwindigkeit eines sich drehenden Gegenstandes zu einer bestimmten Zeit $t$ zu messen. Bei dieser konkreten Berechnung ist die Funktion für die Winkelgeschwindigkeit nur ein Zwischenschritt zur Ermittlung der Winkelbeschleunigung.
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Finde die Funktion für die Winkelbeschleunigung. Die Beschleunigung ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Gegenstandes im Verlauf der Zeit ändert. Du kannst die Winkelbeschleunigung mathematisch berechnen, indem du die Ableitung der Funktion für die Winkelgeschwindigkeit findest. Für die Winkelbeschleunigung wird allgemein das Symbol $\alpha$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \alpha }$ verwendet, der griechische Buchstabe Alpha. Sie wird in Einheiten der Geschwindigkeit pro Zeit angegeben oder allgemein Radiant geteilt durch Zeit zum Quadrat (Radiant pro Quadratsekunden, Radiant pro Quadratminuten usw.).^{[3]XForschungsquelle}
- Im vorherigen Schritt haben wir die Funktion für die Position verwendet, um die Winkelgeschwindigkeit herauszufinden, $\omega (t)=6t^{2}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \omega (t)=6t^{2}}$ . Finden wir nun die Beschleunigungsfunktion als Ableitung von $\omega$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \omega }$ :
  - $\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t$ .
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Wende die Daten an, um die momentane Beschleunigung zu finden. Nachdem du die Funktion für die momentane Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit abgeleitet hast, die wiederum eine Ableitung der Position ist, kannst du die momentane Winkelbeschleunigung des Gegenstandes zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen.^{[4]XForschungsquelle}
- In der Beispielaufgabe in der Abbildung gehen wir davon aus, dass die Funktion für die Position des sich drehenden Gegenstandes $\theta (t)=2t^{3}$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}$ ist und du nach der Winkelbeschleunigung des Gegenstandes gefragt wirst, nachdem er sich 6,5 Sekunden lang gedreht hat. Verwende die abgeleitete Formel für $\alpha$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \alpha }$ und setze die Informationen auf folgende Weise ein:
  - $\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t$
  - $\alpha =(12)(6,5)$
  - $\alpha =78,0$
- Das Ergebnis soll in Einheiten von Radiant pro Quadratsekunden angegeben werden. Somit beträgt die Winkelbeschleunigung für diesen sich drehenden Gegenstand, nachdem er sich 6,5 Sekunden gedreht hat, 78,0 Radiant pro Quadratsekunde.
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnen

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Miss die anfängliche Winkelgeschwindigkeit. Die erste Methode zum Berechnen der Winkelbeschleunigung ( $\alpha$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \alpha }$ ) ist, die Veränderung der Winkelgeschwindigkeit ( $\omega$ $How.com.vn Deutsch: {\displaystyle \omega }$ ) im Verlauf einer Zeitdauer durch die gemessene Zeit zu berechnen. Die Formel dafür kann so aufgeschrieben werden:^{[5]XForschungsquelle}
- $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{abschließende Geschwindigkeit-anfängliche Geschwindigkeit}}{\text{vergangene Zeit}}}$
- Denke über eine CD nach in dem Moment, an dem du sie in den CD-Player legst. Ihre anfängliche Geschwindigkeit ist Null.
- Gehen wir für ein anderes Beispiel von einer Testmessung davon aus, dass sich die Räder einer Achterbahn mit einer Geschwindigkeit von 400 Umdrehungen pro Sekunde drehen, was 2513 Radiant pro Sekunde entspricht. Um eine negative Beschleunigung auf einer Bremsstrecke zu berechnen, kannst du diese Messung als anfängliche Geschwindigkeit verwenden.
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Miss die abschließende Winkelgeschwindigkeit. Die zweite Information, die du brauchst, ist die Winkelgeschwindigkeit des sich drehenden oder rotierenden Gegenstands am Ende des Zeitraumes, den du messen möchtest. Das wird als die „abschließende“ Geschwindigkeit bezeichnet.^{[6]XForschungsquelle}
- Eine CD wird im Gerät abgespielt, indem sie mit einer Winkelgeschwindigkeit von 160 Radiant pro Sekunde rotiert.
- Die Achterbahn erreicht schließlich, nachdem die Bremsen an den sich drehenden Rädern eingesetzt wurden, eine Winkelgeschwindigkeit von Null, wenn sie zu Halt kommt. Das ist die abschließende Winkelgeschwindigkeit.
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Miss die vergangene Zeit. Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit des sich drehenden oder rotierenden Gegenstandes zu berechnen, musst du die Zeitdauer kennen, die während deiner Beobachtung verstrichen ist. Man findet sie durch direkte Beobachtung und Messung oder die Information ist bei einer Aufgabe angegeben.^{[7]XForschungsquelle}
- In der Benutzeranleitung des CD-Players ist die Information angegeben, dass die CD ihre Spielgeschwindigkeit in 4,0 Sekunden erreicht.
- Durch Beobachtung von Testungen der Achterbahnen hat man festgestellt, dass sie innerhalb von 2,2 Sekunden zu völligem Halt kommen, nachdem die Bremsen eingesetzt werden.
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Berechne die durchschnittliche Winkelbeschleunigung. Wenn du die anfängliche Winkelbeschleunigung, die abschließende Winkelbeschleunigung und die vergangene Zeit kennst, fülle diese Daten in die Gleichung ein und finde die durchschnittliche Winkelbeschleunigung.^{[8]XForschungsquelle}
- Bei dem Beispiel mit dem CD-Player sieht die Berechnung wie folgt aus:
  - $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{abschließende Geschwindigkeit-anfängliche Geschwindigkeit}}{\text{vergangene Zeit}}}$
  - $\alpha ={\frac {160-0}{4,0}}$
  - $\alpha ={\frac {160}{4,0}}$
  - $\alpha =40$ Radiant pro Quadratsekunde.
- Bei dem Beispiel mit der Achterbahn sieht die Berechnung so aus:
  - $\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{abschließende Geschwindigkeit-anfängliche Geschwindigkeit}}{\text{vergangene Zeit}}}$
  - $\alpha ={\frac {0-2513}{2,2}}$
  - $\alpha ={\frac {-2513}{2,2}}$
  - $\alpha =-1142,3$ Radiant pro Quadratsekunde.
- Beachte, dass die Beschleunigung immer in Einheiten einer Maßeinheit der Distanz „pro“ Zeit zum Quadrat ist. Bei der Winkelbeschleunigung wird die Distanz allgemein in Radiant gemessen, du kannst das aber auch in die Anzahl der Umdrehungen umrechnen, wenn du möchtest.
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Übersicht zur Winkelbeschleunigung

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Wenn Leute an die Geschwindigkeit eines Gegenstandes denken, betrachten sie sie häufig als lineare Bewegung – das heißt, dass der Gegenstand sich größtenteils in einer geraden Linie bewegt. Das würde ein Auto, ein Flugzeug, einen geworfenen Ball und einige andere Gegenstande einbeziehen. Die Drehbewegung beschreibt aber einen Gegenstand, der sich dreht oder rotiert. Denke an die Erde, die sich auf ihrer Achse bewegt. Die Position oder Geschwindigkeit der Erde kann mit Winkelgrößen beschrieben werden. Eine sich drehende CD (oder Schallplatte, wenn du alt genug bist), Elektronen auf ihrer Achse oder die Räder an der Achse eines Autos sind weitere Beispiele für rotierende Gegenstände, die mit der Winkelbewegung gemessen werden können.^{[9]XForschungsquelle}
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Stelle dir die Winkelposition bildlich vor. Wenn du die Position eines bewegten Fahrzeuges misst zum Beispiel, kannst du die zurückgelegte Distanz in einer geraden Linie vom Startpunkt aus messen. Bei einem rotierenden Gegenstand wir die Messung als ein Winkel rund um einen Kreis gemessen. In der Regel ist der Start- oder „Nullpunkt" ein horizontaler Radius von der Mitte zur rechten Seite des Kreises hin. Die zurückgelegte Distanz wird durch die Größe des Winkels $\theta$ $How.com.vn Deutsch: \theta$ angegeben, vom diesem horizontalen Radius aus gemessen.^{[10]XForschungsquelle}
- Der Winkel, der gemessen wird, wird normalerweise mit $\theta$ , dem griechischen Buchstaben Theta, dargestellt.
- Eine positive Bewegung wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Negative Bewegung wird im Uhrzeigersinn gemessen.
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Miss die Winkelbewegung in Radiant. Eine lineare Bewegung wird allgemein in einer Einheit der Distanz gemessen, wie Meter, Zentimeter, Meilen oder ein anderes Längenmaß Die Dreh- oder Winkelbewegung wird in Einheiten mit der Bezeichnung Radiant gemessen. Ein Radiant ist ein Teil des Kreises. Als Bezugsnormal verwenden Mathematiker den „Einheitskreis“, der einen Standardradius von einer Einheit hat.^{[11]XForschungsquelle}
- Eine vollständige Rotation um den Einheitskreis misst 2π Radiant. Somit ist ein Halbkreis π Radiant und ein Viertelkreis π/2 Radiant.
- Manchmal ist es nützlich, von Radiant in Grad umzurechnen. Wenn du dich daran erinnerst, dass ein ganzer Kreis 360 Grad hat, kannst du die Umrechnung so durchführen:
  - $360\ {\text{Grad}}=2\pi \ {\text{Radiant}}$
  - ${\frac {360}{2\pi }}\ {\text{Grad}}=1\ {\text{Radiant}}$
  - $57,3\ {\text{Grad}}=1\ {\text{Radiant}}$
- Demzufolge entspricht ein Radiant etwa 57,3 Grad.
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Verstehe das Konzept der Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung ist ein Maß dafür, wie schnell oder langsam ein rotierender Gegenstand seine Geschwindigkeit verändert, die Drehgeschwindigkeit sich also beschleunigt oder verlangsamt. Wenn du die Winkelgeschwindigkeit zur Startzeit und dann zu einer späteren Endzeit kennst, kannst du die durchschnittliche Winkelbeschleunigung über diesen Zeitraum berechnen. Wenn du die Funktion für die Position des Gegenstandes kennst, kannst du mit verschiedenen Rechenarten die momentane Winkelbeschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt ableiten.^{[12]XForschungsquelle}
- Häufig verwenden Leute das Wort „Beschleunigung“ für eine Erhöhung der Geschwindigkeit und „Entschleunigung“ für eine Verringerung der Geschwindigkeit. In der Mathematik oder Physik wird jedoch nur das Wort „Beschleunigung“ verwendet. Wenn der Gegenstand schneller wird, ist die Beschleunigung positiv. Wird er langsamer, ist die Beschleunigung negativ.
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Tipps

Denke daran, das Endprodukt mit den richtigen Einheiten anzugeben. Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Zeit angegeben. Die Winkelbeschleunigung wird in Einheiten von Radiant pro Zeit zum Quadrat angegeben.

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