Differentialgleichungen lösen

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In diesem Artikel:

Gleichungen erster Ordnung

Gleichungen zweiter Ordnung

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Literaturhinweise

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen verbindet. In den meisten Anwendungsbereichen stehen die Funktionen für physikalische Größen, die Ableitungen stehen für die Änderungsraten und die Gleichung definiert das Verhältnis zwischen den beiden.

In diesem Artikel werden die Methoden gezeigt, die erforderlich sind, um bestimmte Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen, deren Lösungen als Elementarfunktionen aufgeschrieben werden können – Polynome, Exponenten, Logarithmen und trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrungen. Vielen dieser Gleichungen begegnet man im täglichen Leben, die meisten anderen können aber nicht mithilfe dieser Methoden gelöst werden, sodass die Lösung in Form von speziellen Funktionen oder Potenzreihen aufgeschrieben oder numerisch berechnet werden muss.

Dieser Artikel basiert auf der Annahme, dass du als Leser ein gutes Verständnis von Differential- und Integralrechnung hast sowie Kenntnisse zu partiellen Ableitungen. Es ist außerdem für die Theorie hinter Differentialgleichungen zu empfehlen, dass du Kenntnisse zu linearer Algebra hast, besonders beim Abschnitt über Differentialgleichungen zweiter Ordnung, auch wenn sie zu lösen eigentlich nur Fähigkeiten in Infinitesimalrechnung erfordert.

Grundlagen

• Differentialgleichungen werden breit kategorisiert. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit gewöhnlichen Differentialgleichungen – Gleichungen, die Funktionen einer Variable und ihre Ableitungen beschreiben. Gewöhnliche Differentialgleichungen sind besser verständlich und leichter zu lösen als partielle Differentialgleichungen, Gleichungen, die sich auf Funktionen mit mehr als einer Variable beziehen. Wir werden in diesem Artikel keine partiellen Differentialgleichungen lösen, weil die Methoden zum Lösen dieser Art von Gleichungen meistens spezifisch für die jeweilige Gleichung sind.
  • Hier sind ein paar Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen.
    • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=ky$
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+kx=0$
  • Hier sind ein paar Beispiele für partielle Differentialgleichungen.
    • ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$
    • ${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$
• Wir bestimmen die Ordnung der Differentialgleichung anhand der höchsten Ableitung, die in der Gleichung angewandt wird. Die erste Gleichung, die wir als Beispiel angegeben haben, ist eine Gleichung erster Ordnung. Die zweite Gleichung, die angeführt wird, ist eine Gleichung zweiter Ordnung. Der Grad einer Ordnung ist der Exponent, mit dem der Term in der höchsten Ordnung potenziert wird.
  • Diese Gleichung ist zum Beispiel eine Gleichung dritter Ordnung, zweiten Grades.
    • $\left({\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
• Wir bezeichnen eine Differentialgleichung als lineare Differentialgleichung, wenn der Grad der Funktion und aller ihrer Ableitungen 1 ist. Ansonsten wird die Gleichung als nichtlineare Differentialgleichung bezeichnet. Lineare Differentialgleichungen sind beachtenswert, weil sie Lösungen haben, die in linearen Kombinationen zusammengefasst werden und weitere Lösungen bilden können.
  • Hier sind ein paar Beispiele für lineare Differentialgleichungen.
    • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
    • $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
  • Hier sind ein paar Beispiele für nichtlineare Differentialgleichungen. Die erste Gleichung ist aufgrund des Sinus-Terms nichtlinear.
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+tx^{2}=0$
• Die allgemeinen Lösungen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind nicht eindeutig, sondern bringen arbiträre Konstanten hervor. Die Anzahl der Konstanten entspricht in den meisten Fällen der Ordnung der Gleichung. In der Anwendung unterliegen diese Konstanten bestimmten Anfangswerten: die Funktion und ihre Ableitungen bei $x=0$. Die Anzahl der Anfangswerte, die benötigt wird, um eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung zu finden, entspricht in den meisten Fällen ebenfalls der Ordnung der Gleichung.
  • Diese Gleichung zum Beispiel ist eine, deren Lösung in diesem Artikel besprochen wird. Es ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ihre allgemeine Lösung enthält zwei arbiträre Konstanten. Um diese Konstanten auszuwerten, benötigen wir die Anfangswerte bei $x(0)$ und $x'(0)$. Diese Anfangswerte sind normalerweise bei $x=0$ gegeben, müssen sie aber nicht sein. Wir werden weiter unten im Artikel außerdem die Auffindung bestimmter Lösung bei gegebenen Anfangswerten besprechen.
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+k^{2}x=0$
    • $x(t)=c_{1}\cos kt+c_{2}\sin kt$

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 2:

Gleichungen erster Ordnung

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1. 1
   Lineare Gleichungen erster Ordnung. In diesem Abschnitt besprechen wir die Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung, sowohl im Allgemeinen als auch in speziellen Fällen, wo bestimmte Terme auf Null gesetzt werden. Lassen wir $y=y(x),$ $p(x)$ und $q(x)$ Funktionen von $x$ sein.
   
   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
   

   $p(x)=0.$ Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besagt, dass das Integral der Ableitung einer Funktion die Funktion selber ist. Wir können einfach integrieren, um das Ergebnis zu erhalten. Denke daran, dass ein unbestimmtes Integral auszuwerten eine arbiträre Konstante hervorbringt.

   • $y(x)=\int q(x)\mathrm {d} x$

   $q(x)=0.$ Wir wenden die Methode der Trennung von Variablen an. Bei der Trennung von Variablen wird jede Variable auf intuitive Weise auf unterschiedliche Seiten der Gleichung gebracht. Zum Beispiel bewegen wir alle $y$-Terme auf eine Seite und die $x$-Terme auf die andere. Wir können $\mathrm {d} x$ und $\mathrm {d} y$ in der Ableitung als Größen behandeln, die bewegt werden können, behalte aber im Hinterkopf, dass das einfach eine Abkürzung für eine Umformung ist, bei der die Kettenregel genutzt wird. Die genaue Beschaffenheit dieser Objekte, die als Differentiale bezeichnet werden, geht über den Rahmen dieses Artikels hinaus.

   • Als Erstes bringen wir jede Variable in der Gleichung auf eine andere Seite.
     • ${\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-p(x)\mathrm {d} x$
   • Integriere beide Seiten. Das Integrieren bringt auf beiden Seiten eine arbiträre Konstante hervor, wir können sie aber auf einer Seite zusammenfassen.
     • $\ln y=\int -p(x)\mathrm {d} x$
     • $y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm {d} x}$
   • Beispiel 1.1. Im letzten Schritt nutzen wir das Potenzgesetz $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ und ersetzen $e^{C}$ durch $C$, weil es sich wieder um eine arbiträre Konstante handelt.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2y\sin x=0$
     • ${\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}\mathrm {d} y&=\sin x\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}$

   $p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0$. Um den Normalfall zu lösen, führen wir einen integrierenden Faktor $\mu (x)$ ein, eine Funktion von $x$, wodurch die Gleichung leichter zu lösen ist, indem die linke Seite unter eine gemeinsame Ableitung gebracht wird.

   • Multipliziere beide Seiten mit $\mu (x)$.
     • $\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py=\mu q$
   • Um die linke Seite unter eine gemeinsame Ableitung zu bringen, müssen wir Folgendes haben.
     • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mu y)={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y+\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py$
   • Die letzte Gleichung setzt voraus, dass ${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}=\mu p$, das die folgende Lösung hat. Das ist der integrierende Faktor, mit dem jede lineare Gleichung erster Ordnung gelöst wird. Wir können nun fortfahren und eine Formel ableiten, bei der die Gleichung in Bezug auf $\mu$ gelöst wird, es ist aber aufschlussreicher, einfach die Berechnungen durchzuführen.
     • $\mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm {d} x}$
   • Beispiel 1.2. Bei diesem Beispiel wird die Vorgehensweise vorgestellt, bei gegebenen Anfangswerten eine bestimmte Lösung für die Differentialgleichung zu finden.
     • $t{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3$
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2}{t}}y=t$
     • $\mu (t)=e^{\int p(t)\mathrm {d} t}=e^{2\ln t}=t^{2}$
     • ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}$
     • $3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8$
     • $y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}$
2. 2
   Nichtlineare Gleichungen erster Ordnung. In diesem Abschnitt besprechen wir Methoden zur Lösung bestimmter nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung. Es gibt keine allgemeine Lösung in geschlossener Form, manche Gleichungen können aber mit den unten erwähnten Techniken gelöst werden.
   
   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=f(x,y)$
   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=h(x)g(y).$ Wenn die Funktion $f(x,y)=h(x)g(y)$ in Funktionen mit je einer Variable geteilt werden kann, dann bezeichnet man die Gleichung als separabel. Dann gehen wir mit derselben Methode vor wie zuvor.

   • $\int {\frac {\mathrm {d} y}{h(y)}}=\int g(x)\mathrm {d} x$
   • Beispiel 1.3.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}$
     • ${\begin{aligned}\int y\mathrm {d} y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}$

   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.$ Seien $g(x,y)$ und $h(x,y)$ Funktionen von $x$ und $y.$ Dann ist eine homogene Differentialgleichung eine Gleichung, bei der $g$ und $h$ homogene Funktionen desselben Grades sind. Das heißt, die Funktion erfüllt die Eigenschaft $g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y)$ und $k$ wird als Grad der Homogenität bezeichnet. Jede homogene Differentialgleichung kann durch eine ausreichende Änderung der Variablen in eine separable Gleichung umgewandelt werden, sei es $v=y/x$ oder $v=x/y.$

   • Beispiel 1.4. Die oben genannte Erklärung der Homogenität kann ein wenig undurchsichtig sein. Betrachten wir anhand eines Beispiels, wie sie angewandt wird.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}$
     • Wir beachten zunächst, dass dies eine nichtlineare Gleichung in $y$ ist. Wir sehen außerdem, dass diese Gleichung nicht aufgespalten werden kann. Es ist jedoch eine homogene Differentialgleichung, weil sowohl der obere, als auch der untere Teil homogen dritten Grades sind. Daher könnten wir eine Veränderung der Variablen $v=y/x$ durchführen.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}$
     • $y=vx,\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x+v$
     • ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.$ Das ist nun eine separable Gleichung in $v$.
     • $v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$
     • $y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$

   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)y+q(x)y^{n}$. Das ist die Bernoullische Differentialgleichung, ein bestimmtes Beispiel einer nichtlinearen Gleichung erster Ordnung mit Lösungen, die als Elementarfunktionen aufgeschrieben werden können.

   • Multipliziere mit < $(1-n)y^{-n}.$
     • $(1-n)y^{-n}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$
   • Wende die Kettenregel auf der linken Seite an, um die Gleichung bei $y^{1-n}$ in eine lineare Gleichung umzuwandeln, die dann mit den vorher genannten Techniken gelöst werden kann.
     • ${\frac {\mathrm {d} y^{1-n}}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$

   $M(x,y)+N(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0.$ Hier geht es um exakte Gleichungen. Wir möchten eine Funktion $\varphi (x,y)$ finden, die als Potentialfunktion bezeichnet wird, sodass ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=0.$

   • Um diese Bedingung zu erfüllen, haben wir die folgende totale Ableitung. Die totale Ableitung ermöglicht weitere Abhängigkeiten der Variablen. Um die totale Ableitung von $\varphi$ in Bezug auf $x$ zu berechnen, lassen wir die Möglichkeit zu, dass $y$ ebenfalls von $x$ abhängen könnte.
     • ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
   • Beim Vergleich der Terme haben wir $M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$ und $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.$ Das ist ein Standardergebnis in der Infinitesimalrechnung mit mehreren Variablen, dass gemischte Ableitungen glatter Funktionen gleich sind. Das wird manchmal als Theorem von Clairaut bezeichnet. Die Differentialgleichung ist exakt, wenn folgende Bedingung zutrifft.
     • ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$
   • Die Methode zum Lösen exakter Gleichung ist ähnlich wie das Auffinden von Potenzfunktionen in der multivariablen Infinitesimalrechnung, die wir nur kurz anschneiden werden. Wir integrieren zunächst $M$ in Bezug auf $x$. Weil $M$ sowohl eine Funktion von $x$, als auch von $y$ ist, kann die Integration $\varphi$ nur teilweise wiederherstellen, woran der Term ${\tilde {\varphi }}$ den Leser erinnern soll. Es gibt auch eine Integrationskonstante, die eine Funktion von $y$ ist.
     • $\varphi (x,y)=\int M(x,y)\mathrm {d} x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)$
   • Wir nehmen die partielle Ableitung aus unserem Ergebnis in Bezug auf $y$, vergleichen die Terme mit $N(x,y)$ und integrieren, um $c(y)$ zu erhalten. Wir können auch damit beginnen, zuerst $N$ zu integrieren und dann die partielle Ableitung aus unserem Ergebnis in Bezug auf $x$ nehmen, um die arbiträre Funktion $d(x)$ zu lösen. Beide Methoden sind einsetzbar und normalerweise wird die einfachere Funktion zum Integrieren ausgewählt.
     • $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}$
   • Beispiel 1.5. Wir können überprüfen, dass die unten genannte Gleichung exakt ist, indem wir partielle Ableitungen finden.
     • $3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
     • ${\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2})\mathrm {d} x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}\end{aligned}}$
     • ${\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}=0,\quad c(y)=C$
     • $x^{3}+xy^{2}=C$
   • Wenn die Differentialgleichung nicht exakt ist, gibt es bestimmte Fälle, in denen man einen integrierenden Faktor finden kann, der sie exakt macht. Für diese Gleichungen kann man in den Naturwissenschaften aber noch schwierigere Anwendungen finden und integrierende Faktoren sind, auch wenn sie garantiert existieren, mit Sicherheit nicht garantiert einfach zu finden. Daher werden wir sie an dieser Stelle nicht behandeln.
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Teil 2

Teil 2 von 2:

Gleichungen zweiter Ordnung

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1. 1
   Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diese Gleichungen gehören zu denen, die es wichtig ist lösen können, aufgrund ihrer weiterverbreiteten Anwendbarkeit. Hier bezieht sich homogen nicht auf homogene Funktionen, sondern auf die Tatsache, dass die Gleichung auf 0 gestellt ist. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie man entsprechende inhomogene Differentialgleichungen lösen kann. In diesem Beispiel $a$ und $b$ Konstanten.
   
   ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
   

   Charakteristische Gleichung. Diese Differentialgleichung ist beachtenswert, weil wir sie sehr einfach lösen können, wenn wir ein paar Beobachtungen dazu anstellen, welche Eigenschaften ihre Lösungen haben müssen. Diese Gleichung sagt uns, dass $y$ und seine Ableitungen alle proportional zueinander sind. Von den vorherigen Beispielen mit Gleichungen erster Ordnung wissen wir, dass nur die Exponentialfunktion diese Eigenschaft hat. Daher werden wir einen Ansatz aufstellen – eine auf Sachkenntnis beruhende Vermutung – was die Lösung sein könnte.

   • Dieser Ansatz ist die Exponentialfunktion $e^{rx}$, wobei $r$ eine Konstante ist, die festgestellt werden muss. Wenn wir das in die Gleichung einsetzen, erhalten wir Folgendes.
     • $e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0$
   • Diese Gleichung sagt uns, dass eine Expontentialfunktion multipliziert mit einem Polynom gleich 0 sein muss. Wir wissen, dass die Exponentialfunktion nirgendwo 0 sein kann. Dass das Polynom auf 0 gesetzt wird, wird als charakteristische Gleichung erachtet. Wir haben eine Aufgabe mit einer Differentialgleichung erfolgreich in eine Aufgabe mit einer algebraischen Gleichung umgewandelt – welche deutlich leichter zu lösen ist.
     • $r^{2}+ar+b=0$
     • $r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}$
   • Wir erhalten zwei Nullstellen. Weil es sich bei dieser Differentialgleichung um eine lineare Gleichung handelt, besteht die allgemeine Lösung aus einer linearen Kombination der einzelnen Lösungen. Weil es eine Gleichung zweiten Grades ist, wissen wir, dass dies die allgemeine Lösung ist. Man kann keine anderen finden. Eine striktere Begründung findet man in den Theoremen zur Existenz und Eindeutigkeit in der Literatur.
   • Eine dienliche Methode zu überprüfen, ob zwei Lösungen linear unabhängig sind, ist mit Hilfe der Wronski-Determinante. Bei der Wronski-Determinante $W$ handelt es sich um eine Matrix, deren Spalten die Funktionen sind und in den nächsten Zeilen stehen ihre folgenden Ableitungen. Ein Theorem der linearen Algebra ist, dass die Funktionen in der Wronski-Matrix linear abhängig sind, wenn die Wronski-Determinante aufgelöst wird. An dieser Stelle können wir überprüfen, dass die zwei Lösungen linear unabhängig sind, indem wir uns vergewissern, dass die Wronski-Determinante nicht verschwindet. Diese Determinante wird von Bedeutung sein, wenn wir inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten über die Variation der Parameter lösen.
     • $W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}$
   • Im Sinne der linearen Algebra erstreckt sich die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung auf einen Vektorraum mit einer Dimension, die der Ordnung der Differentialgleichung entspricht. Die Lösungen bilden eine Basis und sind somit linear unabhängig voneinander. Das ist möglich, weil ein linearer Operator auf die Funktion $y(x)$ einwirkt. Die Ableitung ist ein linearer Operator, weil sie den Raum der ableitbaren Funktionen im Bezug auf alle Funktionen abbildet. Das ist deswegen eine homogene Gleichung, weil wir für jeden linearen Operator $L$ nach Lösungen für die Gleichung $L[y]=0$ suchen. Wir gehen nun zwei der drei Fälle durch. Der Fall mit wiederholten Nullstellen muss bis zum Abschnitt über die Verringerung der Ordnung verschoben werden.
     
     

   Zwei echte und unterschiedliche Nullstellen. Wenn $r_{\pm }$ beide real und unterschiedlich sind, dann ist die Lösung der Differentialgleichung unten angegeben.

   • $y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}$

   Zwei komplexe Nullstellen. Es ist ein Folgesatz des Hauptsatzes der Algebra, dass Lösungen zu Polynomgleichungen mit realen Koeffizienten Nullstellen enthalten, die real sind und in verbundenen Paaren auftreten. Daraus folgt, dass wenn $r=\alpha +i\beta$ komplex ist und eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung, dann ist $r^{*}=\alpha -i\beta$ ebenfalls eine Nullstelle. Wir können dann die Lösung als $c_{1}e^{(\alpha +i\beta )x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta )x}$ aufschreiben, aber diese Lösung ist komplex und als Lösung einer echten Differentialgleichung unerwünscht.

   • Wir können stattdessen die eulersche Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ anwenden, um die Lösung in Form einer trigonometrischen Funktion aufzuschreiben.
     • $e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\sin \beta x)$
   • Nun ersetzen wir die Konstante $c_{1}+c_{2}$ durch $c_{1}$ und $i(c_{1}-c_{2})$ durch $c_{2}.$ Das ergibt die unten genannte Lösung.
     • $y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x)$
   • Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, diese Lösung in Form einer Amplitude und Phase anzugeben, was bei physikalischen Anwendungen normalerweise nützlicher ist. Beschäftige dich für weitere Einzelheiten zu dieser Berechnung mit der Lösung homogener linearer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
   • Beispiel 2.1. Finde die Lösung zu der unten stehenden Differentialgleichung mit gegebenen Anfangswerten. Dafür musst du unsere Lösung sowie ihre Ableitung anwenden und die Anfangswerte in beide Ergebnisse einsetzen, um nach den arbiträren Konstanten zu lösen.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+3{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x'(0)=-1$
     • $r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i$
     • $x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
     • $x(0)=1=c_{1}$
     • ${\begin{aligned}x'(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}$
     • $x'(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}$
     • $x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
2. 2
   Reduktion der Ordnung. Die Reduktion der Ordnung ist eine Methode zum Lösen von Differentialgleichungen, wenn eine linear unabhängige Lösung bekannt ist. Diese Methode eignet sich dazu, die Ordnung der Gleichung um Eins zu reduzieren, sodass die Gleichung mithilfe der Techniken gelöst werden kann, die im ersten Teil dargelegt werden. Nehmen wir an, $y_{1}(x)$ ist die bekannte Lösung. Der Grundgedanke der Reduktion der Ordnung ist, nach einer Lösung in der folgenden Form zu suchen, wobei $v(x)$ eine Funktion ist, die festgestellt werden soll. Setze sie in die Differentialgleichung ein und löse nach $v(x).$ Wir werden sehen, wie die Reduktion der Ordnung angewandt werden kann, um die Lösung zu einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und wiederholten Nullstellen zu finden.
   
   $y(x)=v(x)y_{1}(x)$
   

   Wiederholte Nullstellen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Erinnere dich daran, dass eine Gleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen haben sollte. Wenn die charakteristische Gleichung eine wiederholte Nullstelle ergibt, dann erzeugt die Lösungsmenge nicht den Raum, denn die Lösungen sind linear abhängig. Wir müssen eine Reduktion der Ordnung anwenden, um die zweite linear unabhängige Lösung zu finden.

   • Nehmen wir an, $r$ steht für die wiederholte Nullstelle der charakteristischen Gleichung. Wir gehen davon aus, dass die zweite Lösung $y(x)=e^{rx}v(x)$ ist und setzen dies in die Differentialgleichung ein. Wir finden heraus, dass die meisten Terme, bis auf den Term mit der zweiten Ableitung von $v$, aufgehoben werden.
     • $v''(x)e^{rx}=0$
   • Beispiel 2.2. Nehmen wir an, wir arbeiten mit der unten genannten Gleichung, die eine wiederholte Nullstelle bei $r=-4$ hat. Durch unsere Substitution wird scheinbar zufällig der Großteil der Terme gestrichen.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+8{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+16y=0$
     • ${\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y'&=v'(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y''&=v''(x)e^{-4x}-8v'(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}$
     • ${\begin{aligned}v''e^{-4x}&-{\cancel {8v'e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v'e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}$
   • Ähnlich wie bei unserem Ansatz für die Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann hier nur die zweite Ableitung 0 sein. Zweimal zu integrieren führt zu dem gewünschten Ausdruck für $v$.
     • $v(x)=c_{1}+c_{2}x$
   • Die allgemeine Lösung zu der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei wiederholten Nullstellen in ihrer charakteristischen Gleichung kann dann so geschrieben werden. Als praktische Erinnerunsstütze, man multipliziert einfach den zweiten Term mit einem $x$, um die lineare Unabhängigkeit zu erreichen. Weil diese Menge linear unabhängig ist, haben wir alle Lösungen zu dieser Gleichung gefunden und sind fertig.
     • $y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}$

   ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+q(x)y=0.$ Die Reduktion der Ordnung kann angewandt werden, wenn wir eine Lösung $y_{1}(x)$ zu dieser Gleichung kennen, ob wir sie zufällig gefunden haben oder sie in der Aufgabe angegeben war.

   • Wir suchen nach einer Lösung in der Form $y(x)=v(x)y_{1}(x)$ und setzen dies in der Folge in die Gleichung ein.
     • $v''y_{1}+2v'y_{1}'+p(x)v'y_{1}+v(y_{1}''+p(x)y_{1}'+q(x))=0$
   • Weil $y_{1}$ bereits eine Lösung der Differentialgleichung ist, werden alle Terme mit $v$ gestrichen. Was übrig bleibt, ist eine lineare Gleichung erster Ordnung. Verändere, um das besser zu sehen, die Variablen $w(x)=v'(x).$
     • $y_{1}w'+(2y_{1}'+p(x)y_{1})w=0$
     • $w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}'(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right)\mathrm {d} x\right)$
     • $v(x)=\int w(x)\mathrm {d} x$
   • Wenn die Integrale ausgeführt werden können, würde man eine allgemeine Lösung in Form von elementaren Funktionen erhalten. Wenn nicht, kann die Lösung in integraler Form stehen bleiben.
3. 3
   Die Euler-Cauchy-Gleichung. Die Euler-Cauchy-Gleichung ist ein spezielles Beispiel einer Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten, die exakte Lösungen beinhalten. Diese Gleichung sieht man in einigen Anwendungsberichen, wie beim Lösen der Laplace-Gleichung in sphärischen Koordinaten.
   
   $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
   

   Charakteristische Gleichung. Die Struktur dieser Differentialgleichung ist derart, dass jeder Term mit einem Exponentialterm multipliziert wird, dessen Grad der Ordnung der Ableitung entspricht.

   • Das legt nahe, dass wir den Ansatz $y(x)=x^{n}$ ausprobieren, wobei $n$ noch zu bestimmen ist, auf eine ähnliche Weise wie wir die Exponentialfunktion ausprobiert haben bei der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Nach dem Differenzieren und Ersetzen erhalten wir Folgendes.
     • $x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0$
   • Hier müssen wir davon ausgehen, dass $x\neq 0$ ist, damit wir die charakteristische Gleichung verwenden können. Der Punkt $x=0$ wird als regulärer Einzelpunkt bezeichnet, eine Eigenschaft die von Bedeutung ist, wenn man Differentialgleichungen mit Potenzreihen löst. Die Gleichung hat zwei Nullstellen, die real und unterschiedlich, wiederholt oder konjugierte Zahlen sein können.
     • $n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}$

   Zwei reale und unterschiedliche Nullstellen. Wenn $n_{\pm }$ beide real und unterschiedlich sind, dann ist die Lösung zu der Differentialgleichung unten angegeben.

   • $y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}$

   Zwei komplexe Nullstellen. Wenn $n_{\pm }=\alpha \pm \beta i$ die Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind, dann erhalten wir eine komplexe Funktion als Lösung.

   • Um das in eine echte Funktion umzuwandeln, führen wir die Änderung der Variablen $x=e^{t},$ durch, nehmen an, dass $t=\ln x$ und verwenden die eulersche Formel. Es wird eine ähnliche Vorgehensweise eingesetzt wie vorher beim neuen Zuordnen der arbiträren Konstanten.
     • $y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})$
   • Die allgemeine Lösung kann wie folgt geschrieben werden.
     • $y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\sin(\beta \ln x))$

   Wiederholte Nullstellen. Um die zweite linear unabhängige Lösung zu erhalten, müssen wir wieder eine Reduktion der Ordnung einsetzen.

   • Es beinhaltet viel Algebra, das Konzept bleibt aber das Gleiche: wir ersetzen in der Gleichung $y=v(x)y_{1}$, wobei $y_{1}$ die erste Lösung ist. Es werden Terme gestrichen und die folgende Gleichung bleibt übrig.
     • $v''+{\frac {1}{x}}v'=0$
   • Das ist eine lineare Gleichung erster Ordnung in $v'(x).$ Ihre Lösung ist $v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x$. Unsere Lösung kann daher wie folgt geschrieben werden. Eine einfache Weise, sich diese Lösung zu merken, ist dass die zweite linear unabhängige Lösung schlicht einen weiteren Term $\ln x$ braucht.
     • $y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)$
4. 4
   Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Im Falle der inhomogenen Gleichungen geht es um $L[y(x)]=f(x)$, wobei $f(x)$ der Quellterm genannt wird. Gemäß der Theorie der Differentialgleichungen ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung die Superposition der speziellen Lösung $y_{p}(x)$ und der ergänzenden Lösung $y_{c}(x)$. Die spezielle Lösung bezieht sich verwirrenderweise nicht auf eine Lösung, die durch die Anfangswerte gegeben ist, sondern auf eine Lösung, die als Folge des inhomogenen Terms existiert. Die ergänzende Lösung bezieht sich auf die Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung, wenn man $f(x)=0$ setzt. Wir können zeigen, dass die allgemeine Lösung eine Superposition dieser beiden Lösungen ist, indem wir schreiben $L[y_{p}+y_{c}]=L[y_{p}]+L[y_{c}]=f(x)$ und notieren, dass weil $L[y_{c}]=0$ ist, diese Superposition tatsächlich die allgemeine Lösung ist.
   
   ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=f(x)$
   

   Methode der unbestimmten Koeffizienten. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist eine Methode, die anwendbar ist, wenn der Quellterm eine Kombination aus exponentiellen, trigonometrischen, hyperbolischen oder Potenztermen ist. Diese Terme sind die einzigen, die eine begrenzte Anzahl linear unabhängiger Ableitungen haben. In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns darauf, die spezielle Lösung zu finden.

   • Vergleiche die Terme in $f(x)$ mit den Termen in $y_{c},$ aber berücksichtige dabei nicht die multiplikativen Konstanten. Es gibt drei Fälle.
     • Keine der Terme sind gleich. Die spezielle Lösung $y_{p}$ wird dann aus einer linearen Kombination von Termen in $y_{p}$ und ihren linear unabhängigen Ableitungen bestehen.
     • $f(x)$ enthält einen Term $h(x)$, der $x^{n}$ Mal ein Term in $y_{c}$ ist, wobei $n$ 0 oder ein positiver Integer ist, dieser Term stammt aber von einer eigenständigen Nullstelle der charakteristischen Gleichung ab. In diesem Fall besteht $y_{p}$ aus einer linearen Kombination von $x^{n+1}h(x)$, seinen linear unabhängigen Ableitungen sowie anderen Termen aus $f(x)$ und ihren linear unabhängigen Ableitungen.
     • $f(x)$ enthält einen Term $h(x)$, der $x^{n}$ Mal ein Term in $y_{c}$ , ist wobei $n$ 0 oder eine positive ganze Zahl ist, der Term stammt aber aus einer wiederholten Wurzel der charakteristischen Gleichung. In diesem Fall besteth $y_{p}$ aus einer linearen Kombination von $x^{n+s}h(x)$ (wobei $s$ die Vielfachheit der Nullstelle ist) und seiner linear unabhängigen Ableitungen sowie anderen Termen aus $f(x)$ und ihren linear unabhängigen Ableitungen.
   • Schreibe $y_{p}$ als lineare Kombination der zuvor genannten Terme auf. Der Begriff unbestimmte Koeffizienten bezieht sich auf die Koeffizienten in dieser Kombination. Wenn Terme auftreten, die in $y_{c}$ sind, können sie weggelassen werden aufgrund des Vorhandenseins der arbiträren Konstanten in $y_{c}.$ Nachdem du das aufgeschrieben hast, setze $y_{p}$ in die Gleichung ein und setze die Terme gleich.
   • Löse nach den Koeffizienten. In der Regel stößt man an dem Punkt auf ein System algebraischer Gleichungen, dieses System ist aber normalerweise nicht schwer zu lösen. Wenn man es löst, findet man $y_{p}$und wir sind fertig.
   • Beispiel 2.3. Die folgende Differentialgleichung ist eine inhomogene Differentialgleichung mit einem Quellterm, der eine begrenzte Anzahl linear unabhängiger Ableitungen hat. Daher können wir die Methode der unbestimmten Koeffizienten anwenden, um seine spezielle Lösung zu finden.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t$
     • $y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t$
     • $y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\sin 5t$
     • ${\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}$
     • ${\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}$
     • $y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t$

   Variation von Parametern. Die Variation von Parametern ist eine allgemeinere Methode zum Lösen inhomogener Differentialgleichungen, besonders wenn der Quellterm keine endliche Anzahl von linear unabhängigen Ableitungen enthält. Quellterme wie $\tan x$ und $x^{-n}$ erfordern die Anwendung einer Variation von Parametern, um die spezielle Lösung zu finden. Die Variation von Parametern kann sogar eingesetzt werden, um Differentialgleichungen mit Variablen als Koeffizienten zu lösen, mit Ausnahme der Euler-Cauchy-Gleichung ist das jedoch weniger geläufig, weil die ergänzende Lösung üblicherweise nicht in Form von Elementarfunktionen geschrieben wird.

   • Gehen wir von einer Lösung in der unten angegebenen Form aus. Ihre Ableitung steht in der zweiten Zeile.
     • $y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)$
     • $y'=v_{1}'y_{1}+v_{1}y_{1}'+v_{2}'y_{2}+v_{2}y_{2}'$
   • Weil die angenommene Lösung in einer Form steht, in der es zwei Unbekannte gibt, es jedoch nur eine Gleichung gibt, müssen wir außerdem eine Nebenbedingung aufstellen. Wir wählen folgende Nebenbedingung.
     • $v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0$
     • $y'=v_{1}y_{1}'+v_{2}y_{2}'$
     • $y''=v_{1}'y_{1}'+v_{1}y_{1}''+v_{2}'y_{2}'+v_{2}y_{2}''$
   • Nun gehen wir dazu über, die zweite Gleichung aufzustellen. Nachdem wir die Terme ersetzen und neu anordnen, können wir Terme mit $v_{1}$ und Terme mit $v_{2}$ gruppieren. Diese Terme werden alle gestrichen, weil $y_{1}$ und $y_{2}$ Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung sind. Es bleibt dann folgendes Gleichungssystem übrig.
     • ${\begin{aligned}v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}&=0\\v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'&=f(x)\\\end{aligned}}$
   • Dieses System kann zu einer Matrixgleichung der Form $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ umgewandelt werden, deren Lösung $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$ ist. Die Umkehrung einer Matrix $2\times 2$ findet man, indem man durch die Determinante dividiert, die diagonalen Elemente vertauscht und die nicht diagonalen Elemente negiert. Die Determinante dieser Matrix ist de facto die Wronski-Determinante.
     • ${\begin{pmatrix}v_{1}'\\v_{2}'\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}'&-y_{2}\\-y_{1}'&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}$
   • Die Formeln für $v_{1}$ und $v_{2}$ sind unten angegeben. Wie bei der Reduktion der Ordnung bringt die Integration hier eine arbiträre Konstante hervor, die die ergänzende Lösung in die allgemeine Lösung der Differentialgleichung einbezieht.
     • $v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x)\mathrm {d} x$
     • $v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x)\mathrm {d} x$
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Erörterung

Differentialgleichungen verbinden eine Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen. Weil solche Verhältnisse extrem häufig auftreten, haben Differentialgleichungen viele bedeutende Anwendungen im echten Leben und weil wir in vier Dimensionen leben, sind diese Gleichungen häufig partielle Differentialgleichungen. In diesem Abschnitt geht es um die Erörterung einiger der wichtigsten Anwendungen.

• Exponentielle Zunahme oder Zerfall. Radioaktiver Zerfall. Zinseszinsen. Chemische Ratengleichungen. Wirkstoffkonzentration im Blutkreislauf. Unbegrenztes Populationswachstum. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz. Es gibt in der echten Welt eine Vielzahl von Systemen, deren Wachstums- oder Zerfallsrate zu einem beliebigen Zeitpunkt proportional zu der Menge zu diesem Zeitpunkt ist oder durch ein solches Modell gut angenähert werden kann. Aus diesem Grunde ist die Exponentialfunktion, die Lösung zu dieser Differentialgleichung, eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und den Naturwissenschaften. Allgemein würden Systeme wie das kontrollierte Bevölkerungswachstum weitere Terme beinhalten, die das Wachstum eingrenzen. In dem angegebenen Beispiel ist $k$ eine Konstante, die positiv oder negativ sein kann.
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=kx$
• Harmonische Bewegung. Der harmonische Oszillator ist sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik eines der wichtigsten physikalischen Systeme wegen seiner Einfachheit und seiner breiten Anwendung bei der Annäherung komplizierterer Systeme, wie bei einem Fadenpendel. In der klassischen Mechanik wird die harmonische Bewegung als eine Gleichung beschrieben, die über das Hooke'sche Gesetz die Position eines Partikels mit seiner Beschleunigung in Verbindung setzt. Dämpfende und treibende Kräfte können in der Analyse auch vorhanden sein. Weiter unten ist ${\dot {x}}$ die Zeitableitung von $x$, $\beta$ ist ein Parameter, der die dämpfende Kraft beschreibt, $\omega _{0}$ ist die Winkelfrequenz des Systems und $F(t)$ ist eine zeitabhängige antreibende Kraft. Der harmonische Oszillator ist auch in Systemen wie dem RLC-Schwingkreis vorhanden und kann tatsächlich in Experimenten genauer umgesetzt werden als in mechanischen Systemen.
  • ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)$
• Bessel-Gleichung. Die Besselsche Differentialgleichung hat viele Anwendungen in der Physik, darunter das Lösen der Wellengleichung, der Laplace-Gleichung und der Schrödingergleichung, besonders in Aufgaben, die eine zylindrische oder sphärische Symmetrie aufweisen. Weil sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Variablen als Koeffizienten ist und nicht die Euler-Cauchy-Gleichung, hat sie keine Lösungen, die als Elementarfunktionen aufgeschrieben werden können. Die Lösungen der Bessel-Gleichung sind Bessel-Funktionen und sie wurden aufgrund ihrer weiterverbreiteten Anwendung ausgiebig studiert. Im unten genannten Beispiel ist $\alpha$ eine Konstante, die als die Ordnung der Bessel-Funktion betrachtet wird.
  • $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$
• Maxwell-Gleichungen. Die Maxwell-Gleichungen umfassen, zusammen mit der Lorentzkraft, die gesamte klassische Elektrodynamik. Es sind vier partielle Differentialgleichungen im elektrischen Feld $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ und im magnetischen Feld $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$ Im unten angegebenen Beispiel ist $\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)$ die Ladungsdichte, $\mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ die Stromdichte und $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ sind die elektrische und magnetische Konstante.
  • ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}$
• Schrödingergleichung. In der Quantenmechanik ist die Schrödingergleichung die grundlegende Bewegungsgleichung, die beschreibt, wie Partikel, beeinflusst von einer Wellenfunktion $\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)$, sich mit der Zeit entwicklen. Die Bewegungsgleichung wird von dem Verhalten des Hamiltonian ${\hat {H}}$ geregelt, ein Operator, der die Energie des Systems beschreibt. Wir nennen auch die Schrödingergleichung eines einzelnen, nichtrelativistischen Partikels unter dem Einfluss eines Potentials $V(\mathbf {r} ,t)$, ein sehr bekanntes Beispiel der Schrödingergleichung, denn sie gehört zu physischen Systemen. Viele Systeme beinhalten außerdem die zeitunabhängige Schrödingergleichung, bei der die linke Seite durch $E\Psi$ ersetzt wird, wobei $E$ die Energie des Partikels ist. Im unten genannten Beispiel ist $\hbar$ die reduzierte Planck'sche Konstante.
  • $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi$
  • $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right)\Psi$
• Wellengleichung. Wellen sind in der Physik und im Ingenieurwesen allgegenwärtig und kommen in allen Arten von Systemen vor. Allgemein wird die Wellengleichung beschrieben als die unten stehende Gleichung, wobei $u=u(\mathbf {r} ,t)$ die gesuchte Funktion ist und $c$ eine experimentell festgestellte Konstante. D'Alembert entdeckte als Erster, dass in einer (räumlichen) Dimension die Lösung zu einer Wellengleichung jede arbiträre Funktion ist, die $x-ct$ als Argument zulässt, das eine Welle mit arbiträrer Form beschreibt, die sich mit der Zeit nach rechts bewegt. Die allgemeine Lösung in einer Dimension beschreibt eine lineare Kombination dieser Funktion mit einer weiteren Funktion, die $x+ct$ als ihr Argument zulässt und eine sich nach links bewegende Form beschreibt. Wir schreiben diese Lösung in die zweite Zeile.
  • ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$
  • $u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$
• Navier-Stokes-Gleichungen. Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten. Weil Flüssigkeiten in so gut wie jedem Zweig der Naturwissenschaften und des Ingenieurwesens allgegenwärtig sind, sind diese Gleichungen von höchster Bedeutung bei Wettervorhersagen, dem Entwurf von Fluggeräten, Ozeanströmungen und vielen weiteren Anwendungsgebieten. Die Navier-Stokes Gleichungen sind nichtlineare partielle Differentialgleichungen und sie zu lösen ist in den meisten Fällen sehr schwierig, weil die Nichtlinearität eine Turbulenz einbringt, deren stabile Lösung eine derart feinmaschige Auflösung erfordert, dass numerische Lösungen, mit denen man versucht, die Gleichung numerisch zu lösen, direkt eine schwer umsetzbare Menge an Rechenleistung erfordern. Die praktische Strömungslehre baut auf Techniken auf wie ein Modell turbulenter Strömungen mit Zeitmittelung. Sogar grundlegendere Fragen wie die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen sind schwierige Aufgaben und die Auflösung der Existenz und Eindeutigkeit bei Navier-Stokes-Gleichungen, insbesondere in drei räumlichen Dimensionen, ist der Schwerpunkt der Millenium-Probleme. Hier schreiben wir die Gleichung eines imkompressiblen Flüssigkeitsstroms mit der Kontinuitätsgleichung auf.
  • ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

Tipps

• Viele Differentialgleichungen können mit den oben genannten Methoden einfach nicht gelöst werden, besonders jene, die im Abschnitt „Erörterung“ genannt werden. Das tritt ein, wenn die Gleichung variable Koeffizienten enthält und nicht die Euler-Cauchy-Gleichung ist oder wenn die Gleichung nichtnlinear ist, bis auf ein paar wenige spezielle Beispiele. Die oben beschriebenen Methoden reichen jedoch aus, um viele wichtige Differentialgleichungen zu lösen, auf die man in den Naturwissenschaften häufig stößt.
• Im Gegensatz zur Differenziation, bei der die Ableitung eines bestimmten Ausdrucks berechnet werden kann, kann das Integral vieler Ausdrücke im Bezug auf Elementarfunktionen einfach nicht gefunden werden. Verschwende also nicht deine Zeit, zu versuchen, einen Ausdruck zu integrieren, der nicht integriert werden kann. Sieh in einer Tabelle mit Integralen nach, um das zu bestätigen. Die Lösung einer Differentialgleichung, die nicht als Elementarfunktion aufgeschrieben werden kann, kann manchmal in integraler Form geschrieben werden, ob das Integral auf analytische Weise erstellt werden kann, ist in dieser Situation jedoch nicht von Bedeutung.

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Warnungen

• Man kann leicht von der Erscheinung einer Differentialgleichung in die Irre geführt werden bei der Annahme, wie leicht ihre Lösungen gefunden werden können. Wir geben zum Beispiel zwei Differentialgleichungen erster Ordnung an. Die erste kann leicht mit den in diesem Artikel beschriebenen Methoden gelöst werden. Das scheinbar unbedeutende Ersetzen des $y$ durch ein $y^{2}$ in der zweiten Gleichung macht sie nichtlinear und sehr schwer zu lösen.
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y$
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y^{2}$

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