Cara Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Unduh PDF

Unduh PDF

Dalam Artikel Ini:

Persamaan Orde Pertama

Persamaan Orde Kedua

Tip dan Peringatan

Artikel Terkait

Referensi

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang menggambarkan relasi sebuah fungsi dengan satu atau beberapa turunannya. Dalam sebagian besar penerapannya, fungsi-fungsi ini dipakai untuk menggambarkan besaran fisika, sementara turunannya digunakan untuk menggambarkan laju perubahan, sementara itu persamaan diferensial dipakai untuk mendefinisikan relasi di antara keduanya.

Di dalam artikel ini, kita akan melihat beberapa metode yang dipakai untuk memecahkan berbagai jenis persamaan diferensial tertentu yang solusinya dapat dituliskan dalam beberapa fungsi elementer – fungsi polinomial, eksponensial, logaritma, dan trigonometrik serta inversnya. Beberapa persamaan ini dapat dijumpai di dunia nyata, tetapi sebagian besar tidak dapat dipecahkan menggunakan cara-cara ini. Solusi persamaan semacam itu harus dituliskan dalam fungsi khusus, deret pangkat, atau dihitung menggunakan metode numerik.

Artikel ini mengasumsikan bahwa Anda memiliki pemahaman yang baik dalam kalkulus diferensial maupun integral, dan juga beberapa pengetahuan dalam turunan parsial. Lebih baik lagi jika Anda memiliki pengetahuan tentang aljabar linier sebagai dasar teori persamaan diferensial, khususnya untuk bagian persamaan linier orde kedua, meskipun pemecahannya hanya membutuhkan pengetahuan kalkulus.

Pendahuluan

• Persamaan diferensial memiliki kategori yang luas. Di dalam artikel ini, kita akan berhadapan dengan persamaan diferensial biasa - persamaan fungsi satu variabel dan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa lebih mudah dipahami dan diselesaikan dibandingkan persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan relasi fungsi dengan lebih dari satu variabel. Kita tidak akan menyelesaikan persamaan diferensial parsial di dalam artikel ini karena cara penyelesaian persamaan-persamaan ini sering kali hanya berlaku untuk persamaan tertentu.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial biasa.
    • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=ky$
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+kx=0$
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial parsial.
    • ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$
    • ${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$
• Kita bisa menentukan orde persamaan diferensial dari turunan tertinggi di dalamnya. Persamaan pertama di dalam contoh di atas adalah persamaan orde pertama. Persamaan kedua adalah persamaan orde kedua. Derajat dari sebuah persamaan adalah angka pangkat pada suku dengan turunan tertinggi.
  • Misalnya, persamaan di bawah ini adalah persamaan orde ketiga, derajat kedua.
    • $\left({\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
• Kita menyebut sebuah persamaan diferensial adalah persamaan diferensial linier apabila derajat dan orde dari fungsi dan semua turunannya bernilai 1. Jika tidak, persamaan tersebut adalah sebuah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier harus mendapat perhatian khusus karena solusinya dapat dijumlahkan dalam kombinasi linier untuk membentuk solusinya berikutnya.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial linier.
    • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
    • $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial nonlinier. Persamaan pertama disebut nonlinier karena mengandung fungsi sinus.
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+tx^{2}=0$
• Solusi umum dari persamaan diferensial biasa tidaklah unik, tetapi mengandung konstanta tak tentu. Jumlah konstanta ini biasanya sama dengan orde persamaan tersebut. Dalam penggunaannya, konstanta-konstanta ini biasanya diberi kondisi awal: nilai fungsi dan turunannya pada $x=0.$ Kondisi awal ini diperlukan untuk mencari solusi partikular dari sebuah persamaan diferensial yang jumlahnya biasanya sama dengan orde persamaan tersebut.
  • Misalnya, pada artikel ini kita akan melihat cara menyelesaikan persamaan di bawah ini. Persamaan ini adalah persamaan diferensial linier orde kedua. Solusi umumnya mengandung dua konstanta tak tentu. Untuk mencari nilai kedua konstanta ini, kita memerlukan kondisi awal pada $x(0)$ and $x'(0).$ Kondisi awal yang biasa dipakai adalah nilai pada $x=0,$, tetapi tidak ada keharusan untuk itu. Kita juga akan mendiskusikan cara mencari solusi partikular dari kondisi awal lain di dalam artikel ini.
    • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+k^{2}x=0$
    • $x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx$

Langkah

Bagian 1

Bagian 1 dari 2:

Persamaan Orde Pertama

Unduh PDF

1. 1
   Persamaan linier orde pertama. Di dalam bagian ini, kita akan mendiskusikan cara penyelesaian persamaan diferensial orde pertama, baik secara umum maupun pada kasus khusus di mana beberapa suku harus dijadikan nol. Andaikan $y=y(x),$ $p(x),$ dan $q(x)$ sebagai fungsi dari $x.$
   
   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
   

   Kasus $p(x)=0.$Dengan teorema fundamental kalkulus, integral dari turunan sebuah fungsi adalah dirinya sendiri. Kita bisa langsung mengintegralkannya untuk mendapatkan jawaban. Ingat bahwa perhitungan dari sebuah integral tak tentu menghasilkan sebuah konstanta tak tentu.

   • $y(x)=\int q(x)\mathrm {d} x$

   Kasus $q(x)=0.$ Kita bisa menggunakan teknik pemisahan variabel. Pemisahan variabel secara intuitif meletakkan masing-masing variabel pada sisi persamaan yang berbeda. Misalnya, kita memindahkan semua suku $y$ di satu sisi dan suku $x$ di sisi lain. Kita bisa memperlakukan $\mathrm {d} x$ dan $\mathrm {d} y$ di dalam turunan sebagai sebuah suku yang bisa dipindah-pindahkan, tetapi ingat selalu bahwa suku ini hanya sebuah ringkasan dari sebuah perhitungan yang menggunakan aturan rantai. Sifat nyata dari objek ini, yang dinamakan diferensial, berada di luar cakupan artikel ini.

   • Pertama-tama, pindahkan tiap variabel yang berbeda pada sisi persamaan berlawanan.
     • ${\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-p(x)\mathrm {d} x$
   • Integralkan kedua sisi. Proses integral akan menghasilkan sebuah konstanta tak tentu pada kedua sisi, tetapi kita bisa menggabungkan keduanya pada sisi kanan.
     • $\ln y=\int -p(x)\mathrm {d} x$
     • $y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm {d} x}$
   • Contoh 1.1. Pada langkah terakhir, kita menggunakan hukum eksponensial $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ dan mengganti $e^{C}$ dengan $C$ karena suku ini adalah sebuah konstanta tak tentu.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2y\sin x=0$
     • ${\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}\mathrm {d} y&=\sin x\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}$

   Kasus $p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.$ Untuk menyelesaikan kasus umum, kita menambahkan sebuah faktor integral $\mu (x),$ sebuah fungsi $x$ yang bisa membuat persamaan lebih mudah dipecahkan dengan menambahkan turunan yang sama pada sisi kiri.

   • Kalikan kedua sisi dengan $\mu (x).$
     • $\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py=\mu q$
   • Untuk membuat sisi kiri memiliki turunan yang sama, kita harus menjalankan langkah berikut.
     • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mu y)={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y+\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py$
   • Dari persamaan tersebut diperoleh ${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}=\mu p,$ yang bisa dicari solusinya. Suku ini adalah faktor integral yang bisa menyelesaikan semua persamaan linier orde pertama. Sekarang kita bisa menurunkan sebuah rumus untuk menyelesaikan persamaan ini dalam suku $\mu ,$ tetapi untuk pembelajaran lebih baik kita melanjutkan perhitungan sebagai berikut.
     • $\mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm {d} x}$
   • Contoh 1.2. Pada contoh ini juga diperkenalkan cara mencari solusi partikular persamaan diferensial dari kondisi awal yang diberikan.
     • $t{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3$
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2}{t}}y=t$
     • $\mu (x)=e^{\int p(t)\mathrm {d} t}=e^{2\ln t}=t^{2}$
     • ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}$
     • $3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8$
     • $y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}$
2. 2
   Persamaan orde pertama nonlinier. Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan cara penyelesaian persamaan diferensial nonlinier orde pertama tertentu. Tidak ada satu solusi umum dalam bentuk tertutup, tetapi beberapa persamaan tertentu dapat diselesaikan dengan menggunakan cara-cara berikut.
   
   ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=f(x,y)$
   Kasus ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=h(x)g(y).$ Jika fungsi $f(x,y)=h(x)g(y)$ dapat dipisahkan berdasarkan variabelnya, persamaan tersebut dapat dipisahkan. Lalu kita bisa meneruskan dengan cara sebelumnya.

   • $\int {\frac {\mathrm {d} y}{h(y)}}=\int g(x)\mathrm {d} x$
   • Contoh 1.3.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}$
     • ${\begin{aligned}\int y\mathrm {d} y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}$

   Kasus ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.$ Misalkan $g(x,y)$ dan $h(x,y)$ sebagai fungsi dari $x$ dan $y.$ Maka sebuah persamaan diferensial homogen adalah sebuah persamaan di mana $g$ dan $h$ adalah fungsi homogen dengan derajat yang sama. Dengan kata lain, fungsi ini memenuhi kriteria $g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y),$ di mana $k$ adalah derajat homogenitas. Setiap persamaan diferensial homogen dapat diubah menjadi dua persamaan terpisah melalui pengubahan variabel baik $v=y/x$ atau $v=x/y.$

   • Contoh 1.4. Pembahasan mengenai homogenitas di atas mungkin sedikit rumit. Mari kita langsung menerapkannya dalam contoh.
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}$
     • Pertama-tama kita bisa melihat bahwa ini adalah sebuah persamaan nonlinier dalam $y.$ Kita juga bisa melihat bahwa persamaan ini tidak bisa dipisahkan. Namun, persamaan ini adalah persamaan diferensial homogen karena baik pembilang maupun penyebut memiliki derajat 3. Oleh karena itu, kita bisa melakukan perubahan variabel $v=y/x.$
     • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}$
     • $y=vx,\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x+v$
     • ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.$ Persamaan ini kini bisa dipisahkan dalam $v.$
     • $v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$
     • $y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$

   Kasus ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)y+q(x)y^{n}.$ Persamaan ini disebut persamaan diferensial Bernoulli, sebuah contoh khusus persamaan nonlinier orde pertama dengan solusi yang bisa dituliskan dalam fungsi elementer.

   • Kalikan dengan $(1-n)y^{-n}.$
     • $(1-n)y^{-n}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$
   • Gunakan aturan rantai pada sisi kiri untuk mengubah persamaan ke dalam persamaan linier dalam $y^{1-n},$ yang kemudian dapat diselesaikan dengan metode berikut.
     • ${\frac {\mathrm {d} y^{1-n}}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$

   Kasus $M(x,y)+N(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0.$ Di sini, kita membahas tentang persamaan diferensial eksak. Kita ingin mencari sebuah fungsi $\varphi (x,y),$ yang disebut fungsi potensial, sehingga ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=0.$

   • Untuk memenuhi kondisi ini, kita menggunakan turunan total. Turunan total memungkinkan penambahan variabel dependen. Untuk menghitung turunan total $\varphi$ terhadap $x,$ kita membuka kemungkinan bahwa nilai $y$ bisa ditentukan oleh $x.$
     • ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
   • Dengan membandingkan, kita memperoleh $M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$ dan $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.$ Jawaban standar dari kalkulus multivariat ini menunjukkan bahwa turunan campuran dari fungsi kurva mulus ini bernilai sama. Teorema ini biasanya dikenal dengan nama Teorema Clairaut. Dengan demikian persamaan diferensial ini eksak sehingga kondisi-kondisi berikut terpenuhi.
     • ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$
   • Metode pemecahan persamaan eksak sama dengan metode mencari fungsi potensial pada kalkulus multivariat, yang akan kita lihat sekilas. Pertama-tama integralkan $M$ terhadap $x.$ Karena $M$ adalah fungsi dari $x$ dan $y,$ pengintegralan hanya memunculkan sebagian variabel $\varphi ,$ sehingga digunakan simbol ${\tilde {\varphi }}$ untuk mengingatkan pembaca. Ada pula muncul konstanta integral yang merupakan fungsi dari $y.$
     • $\varphi (x,y)=\int M(x,y)\mathrm {d} x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)$
   • Lihat turunan parsial terhadap $y$ dari jawaban ini dan bandingkan hasilnya dengan $N(x,y),$ dan integralkan untuk memperoleh $c(y).$ Kita juga bisa mengintegralkan $N$ terlebih dahulu lalu mengambil turunan parsial terhadap $x$ dari hasilnya untuk memecahkan fungsi tak tentu $d(x).$ Kedua metode boleh dipakai, dan biasanya dikerjakan fungsi yang lebih mudah diintegralkan.
     • $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}$
   • Contoh 1.5. Kita bisa mengecek bahwa persamaan di bawah ini adalah eksak dengan melakukan turunan parsial.
     • $3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
     • ${\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2})\mathrm {d} x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}\end{aligned}}$
     • ${\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}=0,\quad c(y)=C$
     • $x^{3}+xy^{2}=C$
   • Jika persamaan diferensialnya tidak eksak, adakalanya kita bisa mencari faktor integral yang bisa membuatnya eksak. Namun, persamaan ini bahkan lebih sulit dicari terapannya di dalam sains. Sementara itu, faktor integralnya walaupun pasti ada, tidak ada jaminan sama sekali bahwa nilai ini akan mudah dicari. Oleh karena itu, kita tidak akan membahasnya terlalu jauh.
   Iklan

Bagian 2

Bagian 2 dari 2:

Persamaan Orde Kedua

Unduh PDF

1. 1
   Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Beberapa persamaan seperti ini amat penting untuk dicari solusinya karena banyak penerapannya. Dalam persamaan ini, istilah homogen tidak mengacu pada fungsi homogen, tetapi karena persamaan ini dibuat sama dengan 0. Pada bagian berikutnya kita akan menyelesaikan persamaan diferensial lain yang tidak homogen. Di dalam persamaan di bawah ini, $a$ dan $b$ adalah konstanta.
   
   ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
   

   Persamaan karakteristik. Persamaan ini perlu diperhatikan karena kita bisa menyelesaikannya dengan mudah bila kita mengamati sifat-sifat dari solusinya. Dari persamaan ini kita tahu bahwa $y$ dan turunan-turunannya proporsional satu sama lain. Dari contoh sebelumnya pada persamaan orde pertama, kita tahu bahwa hanya fungsi eksponensial yang memiliki sifat seperti ini. Oleh karena itu, kita bisa membuat tebakan secara ilmiah seperti apa solusi dari persamaan ini.

   • Kita bisa menebak fungsi eksponensial $e^{rx},$ di mana $r$ adalah sebuah konstanta yang perlu ditentukan kemudian. Dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan, kita akan memperoleh persamaan sebagai berikut.
     • $e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0$
   • Dari persamaan ini kita tahu bahwa fungsi eksponensial yang dikalikan dengan sebuah polinomial akan selalu sama dengan 0. Kita juga tahu bahwa fungsi eksponensial tidak akan menjadi 0 pada setiap nilai. Polinomial yang bisa menjadikan 0 disebut dengan persamaan karakteristik. Kita dengan demikian telah mengubah sebuah persoalan persamaan diferensial menjadi sebuah persoalan persamaan aljabar – sebuah persoalan yang jauh lebih mudah untuk diselesaikan.
     • $r^{2}+ar+b=0$
     • $r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}$
   • Dari sini kita mendapatkan dua akar. Karena persamaan diferensial ini adalah persamaan linier, solusi umumnya terdiri dari kombinasi linier masing-masing solusi. Karena ini adalah sebuah persamaan orde kedua, kita tahu bahwa ini adalah solusi umum satu-satunya. Tidak ada solusi lain di luar ini. Justifikasi yang lebih ketat diperoleh dari teorema eksistensi dan keunikan yang bisa dicari di literatur.
   • Salah satu cara untuk mengecek apakah kedua solusi ini independen linier adalah menggunakan cara Wronskian. Parameter Wronski $W$ adalah determinan dari matriks yang kolom-kolomnya adalah fungsi dan turunan-turunannya secara berurutan ke bawah. Sebuah teorema aljabar linier mengatakan bahwa fungsi matriks Wronskian adalah dependen linier bila parameter W tidak ada. Di dalam bagian ini, kita bisa mengecek apakah kedua solusi ini independen linier dengan memastikan adanya parameter Wronski. Parameter ini menjadi penting dalam memecahkan persamaan linier nonhomogen dengan koefisien konstan dengan menggunakan variasi parameter.
     • $W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}$
   • Di dalam aljabar linier, himpunan solusi dari persamaan diferensial ini membentuk sebuah vektor bidang dalam dimensi yang sama dengan orde persamaan diferensial. Solusi-solusi ini membentuk sebuah basis dan oleh karena ini independen linier satu sama lain. Hal ini dimungkinkan karena fungsi $y(x)$ dijalankan dengan sebuah operator linier. Turunannya adalah sebuah operator linier karena ia memetakan ruang fungsi yang dapat diturunkan pada semua ruang fungsi lainnya. Alasan mengapa persamaan ini linier adalah karena untuk setiap operator linier $L,$ kita akan mencari solusi persamaan $L[y]=0.$

   Kita sekarang akan melanjutkan dengan menjelaskan dua dari tiga kasus. Akar berulang akan dijelaskan setelah bagian reduksi orde.
   
   Dua akar riil dan berlainan. Jika $r_{\pm }$ keduanya riil dan berlainan, solusi dari persamaan adalah sebagai berikut.

   • $y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}$

   Dua akar kompleks. Sebagai konsekuensi dari teorema fundamental aljabar, solusi dari persamaan polinomial dengan koefisien riil adalah akar-akar riil atau dalam pasangan konjugat. Oleh karena itu, jika $r=\alpha +i\beta$ adalah bilangan kompleks dan merupakan akar dari persamaan karakteristik, $r^{*}=\alpha -i\beta$ adalah juga akarnya. Kita bisa menuliskan solusinya dengan $c_{1}e^{(\alpha +i\beta )x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta )x},$ tetapi solusi dalam bilangan kompleks ini kurang disukai sebagai jawaban dari persamaan diferensial dalam bilangan riil.

   • Kita bisa menggunakan Rumus Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ untuk mengubahnya menjadi solusi dalam fungsi trigonometrik.
     • $e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\sin \beta x)$
   • Kita sekarang bisa mengganti konstanta $c_{1}+c_{2}$ dengan $c_{1}$ dan mengganti $i(c_{1}-c_{2})$ dengan $c_{2}.$
     • $y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x)$
   • Ada cara lain untuk menuliskan solusi ini dalam bentuk amplitudo dan fase, yang biasanya lebih berguna dalam penerapan ilmu fisika.
   • Contoh 2.1. Cari solusi dari persamaan diferensial di bawah ini dengan kondisi awal yang diberikan. Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menggunakan solusi beserta turunannya dan mensubstitusikan kondisi awal ke dalam keduanya untuk mencari konstanta tak tentunya.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+3{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x'(0)=-1$
     • $r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i$
     • $x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
     • $x(0)=1=c_{1}$
     • ${\begin{aligned}x'(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}$
     • $x'(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}$
     • $x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
2. 2
   Reduksi orde. Reduksi orde adalah sebuah metode dalam menyelesaikan persamaan diferensial jika satu solusi independen liniernya diketahui. Metode ini bekerja dengan mereduksi orde persamaan sebanyak satu tingkat, sehingga persamaan bisa diselesaikan dengan teknik yang sudah dijelaskan di atas. Misalkan $y_{1}(x)$ adalah solusi yang sudah diketahui. Ide dasar dari reduksi orde adalah mencari sebuah solusi dari bentuk berikut, di mana $v(x)$ adalah sebuah fungsi yang ditentukan kemudian, mensubstitusikannya ke dalam persamaan diferensial, dan memecahkan $v(x).$ Kita akan melihat bagaimana reduksi orde dapat diterapkan untuk mencari solusi persamaan diferensial dengan koefisien konstan dengan akar berulang.
   
   $y(x)=v(x)y_{1}(x)$
   

   Akar berulang dari persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Ingat bahwa persamaan orde kedua memiliki dua solusi independen linier. Jika persamaan karakteristik memiliki akar berulang, himpunan solusi gagal memenuhi ruang karena solusinya dependen linier. Kita harus menggunakan reduksi orde untuk mencari solusi independen linier kedua.

   • Misalkan $r$ sebagai akar berulang pada persamaan karakteristik. Asumsikan solusi kedua adalah $y(x)=e^{rx}v(x)$ dan substitusikan ke dalam persamaan diferensial. Kita bisa melihat bahwa sebagian besar suku, kecuali suku dari turunan kedua $v,$ akan saling menghilangkan.
     • $v''(x)e^{rx}=0$
   • Contoh 2.2. Misalkan kita mengerjakan persamaan di bawah ini, yang memiliki akar berulang $r=-4.$. Dengan substitusi kita akan menghilangkan sebagian besar suku.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+8{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+16y=0$
     • ${\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y'&=v'(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y''&=v''(x)e^{-4x}-8v'(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}$
     • ${\begin{aligned}v''e^{-4x}&-{\cancel {8v'e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v'e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}$
   • Mirip dengan tebakan kita dalam persamaan diferensial dengan koefisien konstan, hanya turunan kedua yang bisa menjadi 0 di sini. Dengan mengintegrasikan dua kali kita memperoleh bentuk $v$ yang diinginkan.
     • $v(x)=c_{1}+c_{2}x$
   • Solusi umum dari persamaan diferensial dengan koefisien konstan yang menghasilkan akar berulang dari persamaan karakteristiknya dengan demikian dapat ditulis seperti ini. Untuk mengingatnya dengan mudah, kita hanya perlu mengalikan suku kedua dengan $x$ untuk mencapai independensi linier. Karena himpunan ini independen linier, kita telah menemukan semua solusi persamaan, dan dengan demikian menyelesaikan soal.
     • $y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}$

   Kasus ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+q(x)y=0.$ Reduksi orde bisa dilakukan bila kita mengetahui satu solusi $y_{1}(x)$ dari persamaan ini, baik ditemukan sendiri atau diberikan dari awal.

   • Kita mencari solusi dalam bentuk $y(x)=v(x)y_{1}(x)$ dan melanjutkan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan.
     • $v''y_{1}+2v'y_{1}'+p(x)v'y_{1}+v(y_{1}''+p(x)y_{1}'+q(x))=0$
   • Karena $y_{1}$ adalah sebuah solusi dari persamaan diferensial, suku-suku yang mengandung $v$ akan hilang. Yang tersisa hanyalah persamaan linier orde pertama. Untuk melihat ini secara lebih jelas, lakukan perubahan variabel $w(x)=v'(x).$
     • $y_{1}w'+(2y_{1}'+p(x)y_{1})w=0$
     • $w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}'(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right)\mathrm {d} x\right)$
     • $v(x)=\int w(x)\mathrm {d} x$
   • Jika integralnya bisa dikerjakan, kita bisa mendapatkan solusi umum dalam bentuk fungsi elementer. Jika tidak, solusinya dibiarkan dalam bentuk integral.
3. 3
   Persamaan Euler-Cauchy. Persamaan Euler-Cauchy adalah contoh khusus dari persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien variabel yang mengandung solusi eksak. Persamaan ini dapat ditemui dalam beberapa aplikasi, misalnya ketika memecahkan persamaan Laplace dalam koordinat bola.
   
   $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
   

   Persamaan karakteristik. Persamaan diferensial ini memiliki struktur tertentu sehingga setiap suku dikalikan dengan pangkat sesuai dengan orde turunannya.

   • Artinya kita bisa menebak $y(x)=x^{n},$ di mana $n$ belum diketahui, seperti saat kita menebak fungsi eksponensial sewaktu memecahkan persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. Setelah menghitung turunan dan mensubstitusikannya, kita akan memperoleh seperti di bawah ini.
     • $x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0$
   • Di sini, kita harus mengasumsikan bahwa $x\neq 0$ untuk bisa menggunakan persamaan karakteristik. Titik $x=0$ disebut titik singular reguler dari persamaan diferensial, sebuah titik yang menjadi penting saat menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan deret pangkat. Persamaan ini memiliki dua akar, yang bisa jadi riil dan berlainan, berulang, atau konjugat kompleks.
     • $n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}$

   Dua akar riil dan berlainan. Jika $n_{\pm }$ keduanya riil dan berlainan, solusi dari persamaan adalah sebagai berikut.

   • $y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}$

   Dua akar kompleks. Jika $n_{\pm }=\alpha \pm \beta i$ adalah akar-akar dari persamaan karakteristik, kita mendapatkan sebuah fungsi kompleks sebagai solusi.

   • Untuk mengubah ini ke dalam fungsi riil, kita mengubah variabel $x=e^{t},$ dengan $t=\ln x,$ dan menggunakan rumus Euler. Lalu kita lakukan proses yang sama seperti saat mencari konstanta tak tentu.
     • $y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})$
   • Solusi umum dapat dituliskan sebagai berikut.
     • $y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\sin(\beta \ln x))$

   Akar berulang. Untuk memperoleh solusi independen linier kedua, kita harus menggunakan kembali reduksi orde.

   • Banyak langkah aljabar di sini, tetapi konsepnya tetap sama: kita mensubstitusikan $y=v(x)y_{1}$ ke dalam persamaan, di mana $y_{1}$ adalah solusi pertama. Suku-sukunya akan saling menghilangkan menyisakan persamaan berikut.
     • $v''+{\frac {1}{x}}v'=0$
   • Ini adalah persamaan orde pertama linier dalam $v'(x).$ Solusinya adalah $v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x.$ Jawabannya bisa kita tuliskan sebagai ini. Cara mudah untuk mengingat solusi ini adalah dengan menambahkan suku $\ln x$ pada solusi independen linier kedua.
     • $y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)$
4. 4
   Persamaan diferensial linier nonhomogen dengan koefisien konstan. Kasus nonhomogen berhadapan dengan persamaan $L[y(x)]=f(x),$ di mana $f(x)$ disebut suku sumber. Berdasarkan teori persamaan diferensial, solusi umum dari persamaan ini adalah superposisi dari solusi partikular $y_{p}(x)$ dan solusi komplementer $y_{c}(x).$ Solusi partikular di sini, agak membingungkan, tidak mengacu pada solusi dari kondisi awal, melainkan solusi yang muncul akibat suku nonhomogen. Solusi komplementer mengacu pada solusi dari persamaan diferensial homogen koresponden dengan membuat $f(x)=0.$ Kita bisa menunjukkan bahwa solusi umum adalah superposisi dari kedua solusi ini dengan menuliskan $L[y_{p}+y_{c}]=L[y_{p}]+L[y_{c}]=f(x)$ dan karena $L[y_{c}]=0,$ superposisi ini adalah solusi umum.
   
   ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=f(x)$
   

   Metode penentuan koefisien tak tentu. Metode penentuan koefisien tak tentu adalah sebuah metode yang bisa dipakai bila suku awal terdiri dari kombinasi suku-suku eksponensial, trigonometrik, hiperbolik, atau pangkat. Suku-suku ini adalah suku yang jumlah turunan independen liniernya terbatas. Di dalam bagian ini, kita akan berkonsentrasi pada mencari solusi partikular.

   • Bandingkan suku dalam $f(x)$ dengan suku di dalam $y_{c},$ tanpa melihat konstanta pengali. Ada tiga kasus yang bisa kita lihat.
     • Tidak ada suku yang sama. Solusi partikular $y_{p}$ akan terdiri dari kombinasi linier suku-suku dalam $y_{p}$ dan turunan independen liniernya.
     • $f(x)$ mengandung sebuah suku $h(x)$ yaitu $x^{n}$ dikalikan sebuah suku dalam $y_{c},$ di mana $n$ sama dengan 0 atau integer positif, tetapi suku ini berasal dari sebuah akar berlainan pada persamaan karakteristik. Dalam kasus ini, $y_{p}$ akan terdiri dari kombinasi linier $x^{n+1}h(x),$ turunan independen liniernya, dan juga beberapa suku lain dalam $f(x)$ dan turunan independen liniernya.
     • $f(x)$ mengandung sebuah suku $h(x)$ yang berupa $x^{n}$ dikalikan sebuah suku dalam $y_{c},$ di mana $n$ sama dengan 0 atau integer positif, tetapi suku ini berasal dari sebuah akar berulang pada persamaan karakteristik. Dalam kasus ini, $y_{p}$ akan terdiri dari kombinasi linier $x^{n+s}h(x),$ (di mana $s$ adalah pengulangan akarnya) dan turunan independen liniernya, dan juga beberapa suku lain dalam $f(x)$ dan turunan independen liniernya.
   • Tuliskan $y_{p}$ sebagai kombinasi linier dari suku-suku yang disebutkan di atas. Koefisien-koefisien dalam kombinasi linier ini mengacu pada "koefisien tak tentu". Jika suku-suku di dalam $y_{c}$ muncul, suku-suku ini bisa dibuang karena keberadaan konstanta tak tentu dalam $y_{c}.$ Begitu dituliskan, substitusikan $y_{p}$ ke dalam persamaan dan samakan suku-sukunya.
   • Memecahkan koefisien. Secara umum, kita menjumpai sistem persamaan aljabar pada titik ini, tetapi sistem ini biasanya tidak terlalu sulit untuk dipecahkan. Begitu terpecahkan, kita menemukan $y_{p}$, dan soal ini terjawab.
   • Contoh 2.3. Persamaan diferensial berikut ini adalah persamaan diferensial nonhomogen dengan suku asal yang mengandung jumlah turunan independen linier terbatas. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan metode koefisien tak tentu untuk mencari solusi partikularnya.
     • ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t$
     • $y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t$
     • $y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\sin 5t$
     • ${\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}$
     • ${\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}$
     • $y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t$

   Variasi parameter. Variasi parameter adalah sebuah metode yang lebih umum dalam memecahkan persamaan diferensial nonhomogen, khususnya bila suku asal tidak mengandung turunan independen linier terbatas. Suku asal seperti $\tan x$ dan $x^{-n}$ bisa menggunakan variasi parameter dalam mencari solusi partikular. Variasi parameter bahkan bisa dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien variabel, dengan pengecualian persamaan Euler-Cauchy, meskipun hal ini agak tidak biasa karena solusi komplementer biasanya tidak dituliskan dalam suku-suku fungsi elementer.

   • Misalkan ada sebuah solusi dalam bentuk di bawah ini. Turunannya dituliskan pada baris kedua.
     • $y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)$
     • $y'=v_{1}'y_{1}+v_{1}y_{1}'+v_{2}'y_{2}+v_{2}y_{2}'$
   • Karena solusi yang dimisalkan bentuknya mengandung dua variabel, tetapi hanya ada satu persamaan, kita harus memakai sebuah kondisi tambahan. Kita bisa memilih dari kondisi tambahan di bawah ini.
     • $v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0$
     • $y'=v_{1}y_{1}'+v_{2}y_{2}'$
     • $y''=v_{1}'y_{1}'+v_{1}y_{1}''+v_{2}'y_{2}'+v_{2}y_{2}''$
   • Sekarang kita lanjutkan untuk mendapatkan persamaan kedua. Setelah mensubstitusi dan mengatur suku-suku yang ada, kita bisa mengelompokkan masing-masing suku yang mengandung $v_{1}$ dan $v_{2}$. Suku-suku ini akan saling menghilangkan karena $y_{1}$ dan $y_{2}$ adalah solusi dari persamaan homogen korenspondennya. Kita dengan demikian hanya menyisakan sistem persamaan ini.
     • ${\begin{aligned}v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}&=0\\v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'&=f(x)\\\end{aligned}}$
   • Sistem ini bisa diatur dalam sebuah persamaan matriks dalam bentuk $A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,$ yang solusinya adalah $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} .$ Invers dari matriks $2\times 2$ bisa diperoleh setelah dibagi dengan determinan, menukarkan posisi unsur diagonalnya, dan mengalikan diagonal lainnya dengan -1. Determinan matriks ini parameter Wronski.
     • ${\begin{pmatrix}v_{1}'\\v_{2}'\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}'&-y_{2}\\-y_{1}'&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}$
   • Rumus untuk $v_{1}$ dan $v_{2}$ adalah sebagai berikut. Seperti halnya reduksi orde, integral di sini memunculkan sebuah konstanta tak tentu yang menggabungkan solusi komplementer ke dalam solusi umum persamaan diferensial.
     • $v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x)\mathrm {d} x$
     • $v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x)\mathrm {d} x$
   Iklan

Bahasan

Persamaan diferensial menyatakan relasi sebuah fungsi dengan satu turunannya atau lebih. Oleh karena relasi seperti ini sangat sering dijumpai, persamaan diferensial memiliki banyak penerapan dalam dunia nyata, dan karena kita hidup dalam empat dimensi, persamaan-persamaan ini sering kali muncul dalam persamaan diferensial parsial. Pada bagian ini kita akan mendiskusikan beberapa persamaan yang penting.

• Pertumbuhan dan peluruhan secara eksponensial. Peluruhan radioaktif. Bunga majemuk. Hukum-hukum laju reaksi kimia. Konsentrasi obat dalam aliran darah. Pertumbuhan populasi tanpa batas. Hukum pendinginan Newton. Ada banyak contoh di dunia nyata di mana laju pertumbuhan atau peluruhan sesaat adalah proporsional terhadap jumlah pada waktu tertentu atau dapat didekati dengan model semacam ini. Oleh karena itulah fungsi eksponensial, sebagai solusi dari persamaan diferensial, adalah salah satu fungsi paling penting di dalam matematika dan sains. Secara lebih umum, sistem seperti pertumbuhan penduduk terkendali bisa memuat faktor tambahan yang membatasi pertumbuhan. Di dalam persamaan di bawah ini, $k$ sebagai konstanta dapat bernilai positif atau negatif.
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=kx$
• Gerak harmonik. Osilasi harmonik, baik dalam mekanika klasik maupun kuantum, adalah sistem fisika paling penting karena kesederhanaan dan penerapannya yang luas untuk memodelkan sistem lain yang lebih kompleks, seperti pendulum sederhana. Di dalam mekanika klasik, gerak harmonik dituliskan dalam sebuah persamaan yang menghubungkan posisi benda dengan percepatannya melalui hukum Hooke. Di dalam analisisnya mungkin juga dimasukkan gaya redam atau gaya dorong. Dalam persamaan di bawah ini, ${\dot {x}}$ adalah turunan terhadap waktu dari $x,$ $\beta$ adalah parameter yang menggambarkan gaya redam, $\omega _{0}$ adalah frekuensi sudut sistem, dan $F(t)$ adalah fungsi gaya dorong terhadap waktu. Osilasi harmonik juga ada dalam sistem seperti sirkuit RLC, dan bahkan dapat diamati secara lebih akurat di dalam percobaan ketimbang sistem mekanik.
  • ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)$
• Persamaan Bessel. Persamaan diferensial Bessel muncul di dalam banyak penerapan ilmu fisika, termasuk dalam penyelesaian persamaan gelombang, persamaan Laplace, persamaan Schrödinger, terutama dalam soal yang memiliki simetri silinder atau bola. Oleh karena persamaan ini adalah persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien variabel dan tidak termasuk persamaan Euler-Cauchy, tidak ada solusinya yang dapat dituliskan dalam fungsi elementer. Solusi dari persamaan Bessel adalah fungsi Bessel dan banyak dipelajari karena pemakaiannya yang luas. Dalam persamaan di bawah ini, $\alpha$ adalah konstanta yang merupakan orde dari fungsi Bessel.
  • $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$
• Persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell, bersama dengan gaya Lorentz, menyusun seluruh elektrodinamika klasik. Persamaan ini terdiri dari empat persamaan diferensial parsial di dalam medan listrik $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ dan medan magnet $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$ Di dalam persamaan di bawah ini, $\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)$ adalah densitas muatan listrik, $\mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ adalah densitas arus listrik, dan $\epsilon _{0}$ serta $\mu _{0}$ adalah konstanta listrik dan magnet.
  • ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}$
• Persamaan Schrödinger. Di dalam mekanika kuantum, persamaan Schrödinger adalah persamaan gerak fundamental yang menggambarkan bagaimana partikel, yang digambarkan dengan fungsi gelombang $\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t),$ berubah terhadap waktu. Persamaan gerak ini digambarkan secara Hamiltonian ${\hat {H}},$ yaitu sebuah operator yang menggambarkan energi dari sistem. Kita juga bisa menuliskan persamaan Schrödinger dari sebuah partikel non-relativistik di bawah pengaruh potensial $V(\mathbf {r} ,t),$ yang menjadi salah satu contoh terkenal persamaan Schrödinger dalam penjelasan sistem fisika. Banyak sistem juga menggunakan persamaan Schrödinger yang independen terhadap waktu, dengan menggantikan sisi kiri dengan $E\Psi ,$ di mana $E$ adalah energi dari partikel. Di dalam persamaan di bawah ini, $\hbar$ adalah konstanta Planck tereduksi.
  • $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi$
  • $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right)\Psi$
• Persamaan gelombang. Gelombang muncul di mana-mana dalam ilmu fisika dan teknik, serta ada di dalam banyak sistem. Pada umumnya, persamaan gelombang dinyatakan dengan persamaan berikut, di mana $u=u(\mathbf {r} ,t)$ adalah fungsi yang dicari dan $c$ adalah konstanta yang didapatkan dari eksperimen. D'Alembert pertama kali menemukan bahwa pada bidang satu dimensi, persamaan gelombang adalah fungsi arbitrer apa pun yang memiliki suku $x-ct$ sebagai argumennya, yang menggambarkan gelombang bentuk arbitrer yang bergerak ke kanan. Solusi umum dalam satu dimensi menggambarkan sebuah kombinasi linier dari fungsi ini dengan fungsi lain yang memiliki suku $x+ct$ sebagainya argumennya, yang menggambarkan gelombang yang bergerak ke kiri. Solusinya kita tuliskan pada baris kedua.
  • ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$
  • $u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$
• Persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes menggambarkan gerakan fluida. Oleh karena fluida muncul pada hampir semua cabang sains dan ilmu teknik, persamaan ini menduduki tempat penting di dalam ramalan cuaca, perancangan pesawat, gelombang laut, dan banyak aplikasi lain. Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial parsial nonlinier dan umumnya sangat sulit dipecahkan karena nonlinieritasnya memunculkan turbulensi. Solusi stabil yang ditimbulkan turbulensi membutuhkan jaring resolusi yang tinggi sehingga upaya untuk menyelesaikan persamaan ini secara numerik memakan kemampuan komputasi yang besar. Dinamika fluida praktis bergantung pada teknik seperti rerata waktu untuk memodelkan aliran turbulen. Bahkan pertanyaan lebih mendasar seperti keberadaan dan keunikan solusi persamaan diferensial parsial nonlinier sulit dipecahkan, sehingga upaya untuk mencari solusi persamaan Navier-Stokes dalam ruang tiga dimensi menjadi salah satu fokus utama dari Millenium Prize Problems. Di bawah ini adalah persamaan dari aliran fluida tak termampatkan dengan persamaan kontinuitas.
  • ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

Tips

• Banyak persamaan diferensial yang tidak bisa diselesaikan dengan metode di atas, terutama pada persamaan yang dijelaskan pada bagian bahasan. Hal ini terjadi bila persamaan tersebut mengandung koefisien variabel dan tidak termasuk persamaan Euler-Cauchy, atau persamaannya nonlinier, misalnya. Namun, metode di atas cukup membantu untuk memecahkan banyak persamaan diferensial penting yang sering ditemukan dalam sains.
• Tidak seperti pada turunan, yang dapat dihitung dari penyataan apa pun, banyak integral yang tidak dapat dituliskan dalam fungsi elementer. Jadi jangan memusingkan pernyataan yang tidak dapat diintegralkan. Periksalah tabel integral untuk memastikan. Solusi persamaan diferensial yang tidak dapat dituliskan dalam fungsi elementer kadang-kadang dapat ditulis dalam bentuk integral, tetapi apakah integral tersebut dapat dikerjakan secara analitis tidaklah penting dalam situasi ini.

Iklan

Peringatan

• Orang bisa salah mengira ketika melihat penampilan sebuah persamaan diferensial dan menyangka persamaan ini mudah untuk diselesaikan. Misalnya, mari kita lihat dua persamaan diferensial orde pertama di bawah ini. Persamaan pertama bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan cara yang dijelaskan dalam artikel ini. Perubahan $y$ menjadi $y^{2}$ yang tampak sederhana pada persamaan kedua sebenarnya membuatnya menjadi sebuah persamaan nonlinier yang sangat sulit untuk dipecahkan.
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y$
  • ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y^{2}$

Iklan