Skalárni prodúkt je matematična operacija , ki dvema vektorjema priredi število (skalar ). Rezultat se izračuna kot produkt dolžin obeh vektorjev in kosinusa vmesnega kota (vmesni kot je kot φ , ki ga vektorja oklepata, če izhajata iz skupne začetne točke ). Simbol za skalarni produkt je pika, ki pa se jo lahko tudi izpušča:
a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos φ , {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \varphi \!\,,} a → b → = | a → | | b → | cos φ . {\displaystyle {\vec {a}}{\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \varphi \!\,.} Definicija uredi
Skalarni produkt vektorjev a = [ a 1 , a 2 , … , a n ] {\displaystyle \mathbf {a} =\left[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right]} in b = [ b 1 , b 2 , … , b n ] {\displaystyle \mathbf {b} =\left[b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right]} je definiran kot:
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\!\,,} kjer Σ {\displaystyle \Sigma } pomeni vsoto in n {\displaystyle n} razsežnost vektorskega prostora. V dvorazsežnem prostoru je tako produkt vektorjev [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} in [ c , d ] {\displaystyle \left[c,d\right]} enak a c + b d {\displaystyle ac+bd} .
Podobno je v trirazsežnem prostoru produkt vektorjev [ a , b , c ] {\displaystyle [a,b,c]} in [ d , e , f ] {\displaystyle [d,e,f]} enak a d + b e + c f {\displaystyle ad+be+cf} .
Zgled: [ 1 , 3 , − 5 ] ⋅ [ 4 , − 2 , − 1 ] = 1 × 4 + 3 × ( − 2 ) + ( − 5 ) × ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3. {\displaystyle [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\times 4+3\times (-2)+(-5)\times (-1)=4-6+5=3.}
Značilnosti skalarnega produkta uredi
Skalarni produkt je komutativen .
a → ⋅ b → = b → ⋅ a → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}
Skalarni produkt je distributiven .
( a → + b → ) c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → {\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}){\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}
Velja homogenost :
n ( a → ⋅ b → ) = ( n a → ) b → = a → ( n b → ) {\displaystyle n({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(n{\vec {a}}){\vec {b}}={\vec {a}}(n{\vec {b}})}
Asociativnost za skalarni produkt ne velja.
( a → ⋅ b → ) ⋅ c → ≠ a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})}
Skalarni produkt vektorja s samim sabo je enak kvadratu dolžine vektorja, saj je vmesni kot v tem primeru enak 0° (cos 0° = 1):
a → a → = | a → | 2 . {\displaystyle {\vec {a}}{\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}\!\,.} Skalarni produkt medsebojno pravokotnih vektorjev je enak 0, saj je kosinus vmesnega kota enak nič (cos 90° = 0):
a → ⊥ b → ⟺ a → b → = 0 . {\displaystyle {\vec {a}}\bot {\vec {b}}\iff {\vec {a}}{\vec {b}}=0\!\,.} Posplošitev skalarnega produkta uredi
Izraz skalarni produkt se rabi tudi v širšem smislu besede.
Posplošeni skalarni produkt (ali skalarni produkt v širšem smislu besede ) je računska operacija , ki ima iste osnovne značilnosti kot običajni skalarni produkt. Takšna operacija se imenuje tudi notranji produkt .
Definicija notranjega produkta uredi Naj je vektorski prostor V nad komutativnim obsegom F (v praksi je F običajno množica realnih ali pa množica kompleksnih števil ).
Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz V priredi element obsega F . Rezultat se označi kot ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } ali (x,y ) ali kar preprosto x y .
Za notranji produkt morajo veljati naslednje značilnosti (za poljubne vektorje x,y in z ter za poljubna a in b iz obsega F ):
⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ ¯ {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}} Opomba: Če je F obseg realnih števil, to pomeni preprosto simetričnost ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle } , v kompleksnem pa je treba upoštevati še konjugiranje. Linearnost (v prvem faktorju): ⟨ a x , y ⟩ = a ⟨ x , y ⟩ , {\displaystyle \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle \!\,,} ⟨ x + y , z ⟩ = ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩ . {\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \!\,.} ⟨ x , x ⟩ > 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle >0} za vsak x , različen od 0.Značilnosti uredi Če se upošteva definicijske značilnosti, se vidi, da velja tudi:
Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je b kompleksno število): ⟨ x , b y ⟩ = b ¯ ⟨ x , y ⟩ , {\displaystyle \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle \!\,,} ⟨ x , y + z ⟩ = ⟨ x , y ⟩ + ⟨ x , z ⟩ , {\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \!\,,} ⟨ 0 , 0 ⟩ = 0 . {\displaystyle \langle 0,0\rangle =0\!\,.} Evklidski prostor uredi S pomočjo notranjega produkta se lahko v vektorski prostor V uvede mero za merjenje dolžin in kotov. Tako opremljen vektorski prostor se imenuje evklidski prostor .
Dolžino vektorja x se definira kot:
| | x | | = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle ||x||={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\!\,.} Razdaljo med vektorjema x in y se definira kot:
d ( x , y ) = | | x − y | | . {\displaystyle d(x,y)=||x-y||\!\,.} Kot med vektorjema x in y pa se definira kot:
< ) ( x , y ) = arccos ⟨ x , y ⟩ | | x | | | | y | | . {\displaystyle <\!\!\!)\,(x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{||x||~||y||}}\!\,.}