Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։
Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.
⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle } ( a , b ) {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )} a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } (կամ Դիրակի նշանակումը[1] քվանտային մեխանիկայում
⟨ a | b ⟩ {\displaystyle \langle a|b\rangle } Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝
⟨ a , a ⟩ > 0 {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0} a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։
L {\displaystyle \mathbb {L} } C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } x , y ∈ L {\displaystyle x,y\in \mathbb {L} } C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} }
L {\displaystyle \mathbb {L} } տարածության ցանկացած երեք x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} y {\displaystyle y} C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } ⟨ α x 1 + β x 2 , y ⟩ = α ⟨ x 1 , y ⟩ + β ⟨ x 2 , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle } ցանկացած x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ {\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}} ցանկացած x {\displaystyle x} ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0} ⟨ x , x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle =0} x = 0 {\displaystyle x=0}
Հանրահաշվական սահմանում խմբագրել
n իրական տարածությունում a = [a 1 , a 2 , ..., a n b = [b 1 , b 2 , ..., b n [2]
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}} Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.
[ 1 , 3 , − 5 ] ⋅ [ 4 , − 2 , − 1 ] = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 2 ) + ( − 5 ) ⋅ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}} a = [a 1 , a 2 , ..., a n b = [b 1 , b 2 , ..., b n
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + a n b n ¯ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}} Օրինակ, [ 1 + i , 2 ] ⋅ [ 2 + i , i ] = ( 1 + i ) ⋅ ( 2 + i ¯ ) + 2 ⋅ i ¯ = ( 1 + i ) ⋅ ( 2 − i ) + 2 ⋅ ( − i ) = 3 − i {\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}
Երկրաչափական սահմանում խմբագրել
== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ
| B C | 2 = B C → 2 = ( A C → − A B → ) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos A ^ {\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}} Անկյունը վեկտորների միջև. α = arccos ⟨ a , b ⟩ ⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩ {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}} Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը. ⟨ a , b ⟩ = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ∠ ( a , b ) {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}} a {\displaystyle \mathbf {a} } e {\displaystyle \mathbf {e} } a e = ⟨ a , e ⟩ = | a | | e | cos ∠ ( a , e ) = | a | cos ∠ ( a , e ) {\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}} | e | = 1 {\displaystyle |\mathbf {e} |=1} a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } a ⊥ b ⇔ ⟨ a , b ⟩ = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0} a {\displaystyle \mathbf {a} \ } b {\displaystyle \mathbf {b} \ } զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է. ⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩ − ⟨ a , b ⟩ 2 {\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ } Գծային տարածության ցանկացած x {\displaystyle \mathbf {x} } y {\displaystyle \mathbf {y} } [1] Արխիվացված 2009-02-27 Wayback Machine
| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }
Ծանոթագրություններ խմբագրել 
և
տարրերի և
թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.
;
և
հավասարությունը;
, ընդ որում
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8349a32948f411198fb46d04a877de3b5cdcdd7e)
:
բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։
վեկտորի պրոյեկցիան
միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
, քանի որ
վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
և
երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.
