Εσωτερικό γινόμενο

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα ${\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}}$ του επιπέδου. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}}$ τον πραγματικό αριθμό ^[1][2]:

${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|\cos(\phi )}$ ,

όπου ${\displaystyle \phi }$ η γωνία μεταξύ ${\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}}$ και αν ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\neq {\vec {0}}}$ και ${\displaystyle {\vec {\beta }}\neq {\vec {0}}}$ .

Αν ${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\vec {0}}}$ ή ${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {0}}}$ , τότε ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0}$ .

Παρατηρήσεις:

1. ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\upuparrows {\vec {\beta }}}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|}$
2. ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\uparrow \downarrow {\vec {\beta }}}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=-|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|}$
3. ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\bot {\vec {\beta }}}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

• Denis Auroux (2007). Lec 1 | MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007. MIT open course. Συμβαίνει στα 00 00.  - Εσωτερικό γινόμενο, μάθημα μαθηματικών στο MIT (καθηγητής Denis Auroux).
• Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
• Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
• Διανυσματικοί χώροι και χώροι με εσωτερικό γινόμενο

Ελληνικά άρθρα Επεξεργασία

• Νίκος Βαδιβούλης (1980). «Εσωτερικό γινόμενο και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (4): 34-38. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4139. 
• Τ. Λαμπρόπουλος (1985). «Εσωτερικό γινόμενο». Ευκλείδης Β΄ (4): 51-59. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2789. 
• Τ. Λαμπρόπουλος (1990). «Εφαρμογές του εσωτερικού γινομένου». Ευκλείδης Β΄ (1): 35-43. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2868. 

Ξενόγλωσσα άρθρα Επεξεργασία

• Greco, Frank A. (Ιουλίου 2019). «How is the scalar product derived?». The Mathematical Gazette 103 (557): 357–358. doi:10.1017/mag.2019.75. 
• Clifford, Frank (Οκτωβρίου 1989). «73.40 Applications of the scalar product». The Mathematical Gazette 73 (465): 231–234. doi:10.2307/3618452. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1989-10_73_465/page/231. 
• Gerrish, F. (Νοεμβρίου 2000). «Vector products». The Mathematical Gazette 84 (501): 453–459. doi:10.2307/3620775. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-11_84_501/page/453. 
• Edwards, Constance C.; Sansgiry, Prashant S. (Απριλίου 1997). «Proof Without Words: The Distributive Property of the Triple Scalar Product». Mathematics Magazine 70 (2): 136–136. doi:10.1080/0025570X.1997.11996518. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1997-04_70_2/page/136.