วิธีการ แยกตัวประกอบในสมการพีชคณิต

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

แยกตัวประกอบจำนวนตัวเลขและนิพจน์เชิงพีชคณิตพื้นฐาน

แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

แยกตัวประกอบสมการรูปแบบอื่น

บทความที่เกี่ยวข้อง

ในวิชาคณิตศาสตร์นั้น การแยกตัวประกอบ คือการหาตัวเลขหรือนิพจน์ที่คูณกันแล้วได้จำนวนหรือสมการที่ให้มา การแยกตัวประกอบเป็นทักษะที่มีประโยชน์ในการเรียนรู้เพื่อแก้โจทย์ทางพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งจะยิ่งจำเป็นเวลาต้องเจอโจทย์สมการกำลังสองและพหุนามรูปแบบอื่นๆ การแยกตัวประกอบยังสามารถใช้ในการทอนนิพจน์เชิงพีชคณิตให้เขียนในรูปง่ายขึ้นเพื่อแก้โจทย์ได้ง่ายขึ้น การแยกตัวประกอบยังช่วยให้คุณสามารถตัดคำตอบที่อาจเป็นไปได้ทิ้งได้ไวกว่าที่คุณต้องมานั่งแก้โจทย์เอง

ขั้นตอน

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 3:

แยกตัวประกอบจำนวนตัวเลขและนิพจน์เชิงพีชคณิตพื้นฐาน

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เข้าใจนิยามของการแยกตัวประกอบเมื่อใช้กับตัวเลขหนึ่งจำนวน. การแยกตัวประกอบนั้นง่ายมากในแนวคิด แต่พอทำจริงกลับช่างท้าทายอยู่ไม่น้อยเวลานำมาใช้กับสมการที่มีความซับซ้อน เมื่อเป็นเช่นนี้ ทางที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องการแยกตัวประกอบจึงต้องเริ่มจากตัวเลขง่ายๆ แล้วค่อยเลื่อนไปเป็นสมการง่ายๆ ก่อนจะก้าวไปสู่การใช้งานขั้นก้าวหน้าในท้ายที่สุด ตัวประกอบ ของตัวเลขหนึ่งคือจำนวนที่คูณกันได้ตัวเลขนั้น ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 12, 2, 6, 3 และ 4, เพราะ 1 × 12, 2 × 6, และ 3 × 4 ล้วนเท่ากับ 12

   • อีกวิธีคือคิดว่าตัวประกอบของจำนวนใดๆ ก็คือตัวเลขที่สามารถ หารเลขนั้นลงตัว
   • คุณสามารถหาตัวประกอบทั้งหมดของเลข 60 หรือไม่? เราใช้เลข 60 ด้วยจุดประสงค์หลากหลาย (จำนวนนาทีในหนึ่งชั่วโมง จำนวนวินาทีในนาที เป็นต้น) เพราะมันมีตัวเลขหลายตัวที่สามารถหารมันได้ลงตัว
     • ตัวประกอบของ 60 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, และ 60
2. 
   2
   เข้าใจว่านิพจน์ที่ติดตัวแปรก็สามารถแยกตัวประกอบได้. เหมือนเช่นที่ตัวเลขโดดๆ สามารถแยกตัวประกอบ ตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มก็สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน ทำได้โดยแค่หาตัวประกอบของสัมประสิทธิ์ของตัวแปร การรู้วิธีแยกตัวประกอบของตัวแปรนั้นมีประโยชน์สำหรับการทำสมการพีชคณิตที่ติดตัวแปรนั้นให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น

   • ตัวอย่าง ตัวแปร 12x สามารถเขียนได้เป็นผลของตัวประกอบ 12 กับ x เราสามารถเขียน 12x เป็น 3(4x), 2(6x), เป็นต้น โดยใช้ตัวประกอบของ 12 ให้เหมาะกับความต้องการของเราที่สุด
     • เรายังสามารถไปได้ถึงขนาดแยกตัวประกอบ 12x หลายครั้ง พูดง่ายๆ ก็คือ เราไม่จำเป็นต้องหยุดอยู่ที่ 3(4x) หรือ 2(6x) เลย เราสามารถแยกตัวประกอบ 4x และ 6x ออกมาเป็น 3(2(2x) และ 2(3(2x) ตามลำดับ ซึ่งแน่นอนว่านิพจน์สองแบบนั้นมีค่าเท่ากัน
3. 
   3
   ใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเพื่อแยกตัวประกอบสมการเชิงพีชคณิต. ใช้ความรู้ของคุณเรื่องวิธีการแยกตัวประกอบตัวเลขโดดกับตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ คุณสามารถทอนสมการเชิงพีชคณิตให้อยู่ในรูปแบบง่ายโดยการหาตัวประกอบที่ตัวเลขกับตัวแปรในสมการมีร่วมกัน ปกติแล้วถ้าจะทำให้สมการอยู่ในรูปที่ง่ายที่สุด เราต้องลองค้นหาตัวหารร่วมมาก กระบวนการทอนสมการนี้เป็นไปได้เพราะคุณสมบัติการกระจายของการคูณ ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวน a, b, และ c ใดๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac

   • มาลองสมมติตัวอย่างโจทย์กัน ในการแยกตัวประกอบของสมการเชิงพีชคณิต 12 x + 6, ก่อนอื่นมาลองหาตัวประกอบหารร่วมมากของ 12x และ 6 จะพบว่า 6 เป็นตัวเลขที่มีค่าสูงที่สุดที่สามารถหารทั้ง 12x และ 6 ได้ลงตัว ดังนั้น เราจึงสามารถทอนสมการเป็น 6(2x + 1)
   • กระบวนการนี้ยังสามารถประยุกต์ใช้กับสมการที่เป็นค่าลบและเศษส่วนได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น x/2 + 4 สามารถทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายเป็น 1/2(x + 8) และสมการ -7x + -21 สามารถแยกตัวประกอบเป็น -7(x + 3)
   โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 3:

แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ให้แน่ใจว่าสมการนั้นอยู่ในรูปแบบกำลังสอง (ax² + bx + c = 0). สมการกำลังสองนั้นจะอยู่ในรูปแบบ ax² + bx + c = 0 โดยที่ a, b, และ c เป็นจำนวนค่าคงที่และไม่ได้เท่ากับ 0 (โปรดสังเกตว่า a สามารถ เท่ากับ 1 หรือ -1 ได้) หากคุณมีสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว (x) โดยที่พจน์ x หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นมีค่ายกกำลังสอง คุณสามารถย้ายพจน์ภายในสมการโดยใช้หลักพีชคณิตเพื่อให้ข้างหนึ่งของสมการเป็น 0 และอีกข้างอยู่ในรูป ax² เป็นอาทิ

   • ตัวอย่าง กำหนดให้สมการเชิงพีชคณิต 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 สามารถเขียนในรูปแบบง่ายเป็น x² + 6x + 9 = 0, ซึ่งอยู่ในรูปแบบสมการกำลังสอง
   • สมการที่ x มีค่ายกกำลังสูงกว่านั้น เช่น x³, x⁴, เป็นต้น ไม่ใช่สมการกำลังสอง พวกมันเป็นสมการกำลังสาม สมการกำลังสี่ เช่นนั้นไปเรื่อยๆ เว้นเสียแต่ว่าสมการเหล่านั้นสามารถทอนให้ง่ายขึ้นโดยกำจัดพจน์ x ที่มีค่ายกกำลังมากกว่า 2 ออกไป
2. 
   2
   ในสมการกำลังสองที่ a = 1, แยกตัวประกอบเป็น (x+d )(x+e), โดยที่ d × e = c และ d + e = b. หากสมการกำลังสองของคุณอยู่ในรูป x² + bx + c = 0 (หรือพูดอีกแบบหนึ่งว่า หากสัมประสิทธิ์ของพจน์ x² = 1), มันเป็นไปได้ (แต่ไม่รับประกัน) ว่าสามารถใช้วิธีลัดในการแยกตัวประกอบสมการ ให้หาตัวเลขสองจำนวนที่สามารถคูณกันแล้วได้ c และ บวกกันแล้วได้ b พอคุณสามารถหาตัวเลขสองจำนวนนี้คือ d กับ e ให้แทนค่ามันในพจน์ดังต่อไปนี้: (x+d)(x+e) พจน์ทั้งสองนี้เมื่อคูณกันจะทำให้ได้สมการกำลังสอง หรือพูดอีกอย่างก็คือ พวกมันคือตัวประกอบของสมการกำลังสองของคุณนั่นเอง

   • ตัวอย่าง ลองพิจารณาสมการกำลังสอง x² + 5x + 6 = 0 ซึ่งจำนวน 3 กับ 2 สามารถคูณกันได้ 6 และยังบวกกันได้ 5 อีกด้วย ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปอย่างง่ายเป็น (x + 3)(x + 2)
   • วิธีลัดนี้ยังมีแตกต่างออกไปตามความแตกต่างในตัวสมการเอง:
     • หากสมการกำลังสองอยู่ในรูป x²-bx+c, คำตอบของคุณจะอยู่ในรูปนี้: (x - _)(x - _)
     • หากมันอยู่ในรูป x²+bx+c, คำตอบของคุณจะมีหน้าตาเช่นนี้: (x + _)(x + _)
     • หากมันอยู่ในรูป x²-bx-c, คำตอบของคุณจะอยู่ในรูป (x + _)(x - _)
   • ข้อสังเกต: ตัวเลขในช่องที่ว่างไว้สามารถเป็นได้ทั้งเศษส่วนหรือจุดทศนิยม ตัวอย่างเช่น สมการ x² + (21/2)x + 5 = 0 สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x + 10)(x + 1/2)
3. 
   3
   หากเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบโดยการตรวจสอบ. เชื่อหรือไม่ว่าสำหรับสมการกำลังสองที่ไม่ซับซ้อนนั้น วิธีการแยกตัวประกอบวิธีหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับกันคือการตรวจดูโจทย์ แล้วก็หาคำตอบที่เป็นไปได้จนกระทั่งคุณเจอคำตอบที่ถูกต้อง นี่เป็นที่รู้จักกันว่าการแยกตัวประกอบโดยการตรวจสอบ หากสมการนั้นอยู่ในรูป ax²+bx+c and a>1, คำตอบของการแยกตัวประกอบของคุณจะอยู่ในรูป (dx +/- _)(ex +/- _) โดยที่ d และ e เป็นจำนวนค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งคูณกันแล้วจะได้ a ไม่ว่า d หรือ e (หรือทั้งคู่) สามารถ เป็นเลข 1 ได้ แม้มันไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น หากทั้งคู่เป็น 1 คุณก็สามารถใช้วิธีลัดที่อธิบายข้างต้นได้เลย

   • มาลองดูตัวอย่างโจทย์ ในตอนแรกสมการ 3x² - 8x + 4 ดูยากๆ เหมือนกัน กระนั้น พอเราตระหนักว่า 3 นั้นมีตัวประกอบแค่สองตัวเท่านั้น (3 กับ 1) มันก็ดูง่ายขึ้นมาทันที เพราะเรารู้ว่าคำตอบจะต้องอยู่ในรูป (3x +/- _)(x +/- _) ในกรณีนี้ การเติม -2 เข้าไปตรงตำแหน่งที่ว่างไว้ทั้งคู่จะได้คำตอบที่ถูกต้องพอดี เพราะ -2 × 3x = -6x และ -2 × x = -2x ซึ่ง -6x กับ -2x บวกกันได้ -8x อีกทั้ง -2 × -2 = 4 ดังนั้นเราจะเห็นว่าพจน์ที่แยกตัวประกอบแล้วในวงเล็บนั้นคูณกันจะได้สมการตัวเริ่มต้น
4. 
   4
   แก้โจทย์โดยการคูณเลขยกกำลัง. ในบางกรณี สมการกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างง่ายๆ และรวดเร็วโดยการใช้อัตลักษณ์พิเศษเชิงพีชคณิต สมการกำลังสองใดๆ ที่อยู่ในรูป x² + 2xh + h² = (x + h)² ดังนั้น หากในสมการของคุณ ค่าของ b เป็นสองเท่าของเลขยกกำลังสองของค่า c สมการของคุณจะสามารถแยกตัวประกอบเป็น (x + (sqrt(c)))²

   • ตัวอย่าง สมการ x² + 6x + 9 เข้ากับรูปแบบนี้พอดี 3² คือ 9 และ 3 × 2 คือ 6 ดังนั้น เรารู้ว่ารูปแบบของสมการเมื่อแยกตัวประกอบออกมาแล้วจะได้ (x + 3)(x + 3), หรือ (x + 3)².
5. 
   5
   ใช้ตัวประกอบในการแก้โจทย์สมการกำลังสอง. ไม่ว่าคุณจะแยกตัวประกอบวิธีใด พอแยกได้แล้วนั้น คุณสามารถหาคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับค่าของ x โดยการตั้งให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์แล้วแก้โจทย์ เนื่องจากคุณกำลังมองหาค่าของ x ที่จะทำให้สมการของคุณเท่ากับศูนย์ ค่าของ x ที่ทำให้ตัวประกอบทั้งสองของคุณเท่ากับศูนย์จึงเป็นคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับสมการกำลังสองนั้น

   • ขอกลับไปที่สมการ x² + 5x + 6 = 0 สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น (x + 3)(x + 2) = 0 หากตัวประกอบทั้งคู่เท่ากับ 0 แล้ว สมการทั้งหมดก็จะเท่ากับ 0 ไปด้วย ดังนั้นคำตอบสำหรับค่า x ที่เป็นไปได้จึงเป็นจำนวนที่จะทำให้ (x + 3) กับ (x + 2) เท่ากับ 0 เลขจำนวนนั้นก็คือ -3 และ -2 ตามลำดับนั่นเอง
6. 
   6
   ตรวจทานคำตอบ บางทีคำตอบอาจจะไม่เกี่ยวกันเลย! เวลาที่คุณคำตอบที่อาจเป็นไปได้สำหรับ x แล้วนั้น ให้แทนค่าพวกมันกลับไปในสมการเริ่มต้นเพื่อดูว่ามันทำให้สมการเป็นจริงหรือไม่ บางครั้งคำตอบที่คุณหามาได้ ไม่ ทำให้สมการเริ่มต้นเท่ากับศูนย์เมื่อแทนค่ากลับลงไป เราเรียกคำตอบเหล่านี้ว่า พวกไม่เกี่ยวข้อง แล้วหั่นมันทิ้งไปได้เลย

   • มาแทนค่า -2 กับ -3 ลงใน x² + 5x + 6 = 0 โดยตัวแรกเป็น -2:
     • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0 นี่ถูกต้อง ดังนั้น -2 จึงเป็นคำตอบที่เป็นจริง
   • ตอนนี้มาลองดู -3:
     • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0 นี่ก็ถูกต้องอีก ดังนั้น -3 ก็เป็นคำตอบที่เป็นจริงเช่นกัน
   โฆษณา

วิธีการ 3

วิธีการ 3 ของ 3:

แยกตัวประกอบสมการรูปแบบอื่น

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   หากสมการอยู่ในรูป a²-b² ให้แยกตัวประกอบมันเป็น (a+b)(a-b). สมการที่มีตัวแปรสองตัวจะแยกตัวประกอบแตกต่างจากสมการกำลังสองทั่วไป สำหรับสมการใดๆ ที่ a²-b² โดยที่ a และ b ไม่ได้เท่ากับ 0 นั้น สมการจะแยกตัวประกอบเป็น (a+b)(a-b)

   • ตัวอย่าง สมการ 9x² - 4y² = (3x + 2y)(3x - 2y)
2. 
   2
   หากสมการอยู่ในรูป a²+2ab+b² แยกตัวประกอบมันเป็น (a+b)². โปรดสังเกตว่า หากพหุนามในแบบ trinomial อยู่ในรูป a²-2ab+b² แล้วนั้น รูปแบบที่แยกตัวประกอบจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย: (a-b)²

   • สมการ 4x² + 8xy + 4y² สามารถเขียนใหม่ได้เป็น 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y² ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่ามันอยู่ในรูปแบบที่ถูกต้องแล้ว เราจึงบอกได้อย่างมั่นใจว่าสมการของเราจะแยกตัวประกอบได้เป็น (2x + 2y)²
3. 
   3
   หากสมการอยู่ในรูป a³-b³ แล้ว จะแยกตัวประกอบได้เป็น (a-b)(a²+ab+b²). ท้ายที่สุดควรต้องบอกว่าสมการกำลังสามหรือกระทั่งสมการที่มีกำลังสูงกว่านั้นสามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน ถึงแม้กระบวนการแยกตัวประกอบจะกลายเป็นความยุ่งยากซับซ้อนเสียจนแทบลืมไปได้เลยก็ตาม

   • ตัวอย่างเช่น 8x³ - 27y³ สามารถแยกตัวประกอบเป็น (2x - 3y)(4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)
   โฆษณา

เคล็ดลับ

• a²-b² นั้นสามารถแยกตัวประกอบได้ a²+b² นั้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
• จำวิธีการแยกตัวประกอบค่าคงที่ มันมีประโยชน์เสมอ
• ระวังเรื่องเศษส่วนในกระบวนการแยกตัวประกอบและทำด้วยความระมัดระวัง
• หากคุณมีพหุนามแบบ trinomial ในรูป x²+bx+ (b/2)² รูปแบบหลังแยกตัวประกอบออกมาแล้วคือ (x+(b/2))² (คุณอาจตกอยู่ในสภาพนี้ในขณะคูณเลขยกกำลัง)
• จำไว้ว่า a0=0 (คุณสมบัติผลการคูณด้วยศูนย์)

โฆษณา

สิ่งของที่ใช้

• กระดาษ
• ดินสอ
• หนังสือคณิตศาสตร์ (หากจำเป็น)