Как применять линейную функцию (из алгебры)

Линейная функция записывается в виде "y = mx + b", где значения букв должны быть подставлены или найдены, то есть: "x" и "y" - координаты прямой, , "m" – угловой коэффициент (угол наклона прямой к оси х), "b" – свободный член (точка пересечения прямой с осью y). Если вы хотите научиться применять линейную функцию, прочтите эту статью.

Метод 1

Метод 1 из 5:

Линейная функция для решения нематематических задач

Загрузить PDF

Перед тем, как приступить к решению, вы должны внимательно прочитать задачу для уяснения поставленного вопроса. Например: Сумма на вашем банковском счете растет линейно. Если после 20 недель на Вашем счете лежит $560, а после 21 недели - $585, выразите в линейной форме зависимость накопленной суммы от количества прошедших недель.
Запишите y = mx + b и учтите, что "m" – угол наклона, а "b" – точка пересечения. Заметьте, что "сумма на вашем банковском счете растет линейно", то есть значение накопляемой суммы за определенный период времени постоянно и поэтому график в этом случае - прямая. Если накопляемая сумма разная в определенной период времени, то график не может быть прямой.
Для этого вычислите изменение значения функции (в данном случае - сумма на счету). Если через 20 недель сумма равна $560, а еще через неделю - $585, то вы заработали $25 ($585 - $560 = $25) за 1 неделю.
4
Найдите точку пересечения с осью у. Чтобы найти точку пересечения с осью у, или "b" в y = mx + b, необходимо знать стартовую сумму на счету. Если у вас $560 после 20 недель и вы знаете, что зарабатываете $25 за каждую неделю, то умножьте 20 х 25 и выясните, сколько денег вы заработали за 20 недель. 20 х 25 = 500, то есть вы заработали $500 за 20 недель.
- Так как на счету $560 после 20 недель и за этот срок вы заработали $500, то начальная сумма на счету: $560 - $500 = $60.
- Таким образом "b" (или или точка пересечения с осью у) = 60.
5
Записываем уравнение в виде линейной функции. Теперь, когда вам известно, что m= 25 (прирост $25 за 1 неделю), а b=60, Вы можете подставить их в уравнение:
- y = mx + b
- y = 25x + 60
6
Проверьте уравнение. В этом уравнении "у" - количество заработанных (накопленных) денег, а "х " - количество недель. Попробуйте подставить в уравнение различное количество недель, чтобы вычислить накопленную сумму. Попробуйте два примера:
- Сколько денег вы заработаете в течение 10 недель? Для этого подставьте "10" вместо " х" в уравнение.
  - y = 25x + 60 =
  - y = 25(10) + 60 =
  - y = 250 + 60 =
  - y = 310. За 10 недель вы заработаете $310.
- Сколько недель вам нужно работать, чтобы накопить $800? Подставьте "800" вместо "у" и найдите "х".
  - y = 25x + 60 =
  - 800 = 25x + 60 =
  - 800 - 60 =
  - 25x = 740 =
  - 25x/25 = 740/25 =
  - x = 29.6. Вы можете заработать $800 в течение примерно 30 недель.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 5:

Преобразование уравнения в линейную функцию

Загрузить PDF

Допустим, вам дано уравнение 4y +3x = 16.
2
Выделите переменную у. Перенесите переменную х на одну сторону уравнения. Помните про изменения знака при переносе за знак равенства. То есть " 3x", перемещенная в другую часть уравнения, станет "-3х ". Уравнение должно выглядеть как:
- 4y + 3x = 16 =
  - 4y + 3x - 3x = -3x +16
- 4y = -3x +16
3
Разделите все члены уравнения на коэффициент при у. Если при у коэффициента нет, то ничего делать не нужно. Если есть коэффициент, то нужно разделить каждый член уравнения на это число. В нашем случае коэффициент при у - это 4, так что делим 4у, - 3x, и 16 на 4, чтобы получить окончательный ответ в виде линейной функции.
- 4y = -3x +16=
- ⁴/₄ y = ^-3/₄ x +¹⁶/₄
- y = ^-3/₄ x + 4
Если вы используете уравнение для построения графика, то "у" представляет собой координаты у , "-3/4" – угловой коэффициент, "х" - координаты х, "4" – координата пересечения с с осью у.
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 5:

Нахождение линейной функции, когда известны угловой коэффициент и точка на прямой

Загрузить PDF

Во-первых, просто напишите y = mx + b. Допустим, дана следующая задача: Найти уравнение прямой, у которой угловой коэффициент = 4 и она проходит через точку (-1,-6)
2
Подставьте значения. "m" - угловой коэффициент = 4, "у" и "х " – координаты данной точки. В этом случае, "х" = -1 и "у" = -6. «b» - координата пересечения с осью у (она нам неизвестна).
- y = -6, m = 4, x = -1 (данные значения)
- y = mx + b (уравнение)
- -6 = (4)(-1) + b
3
Найдите координату пересечения с осью у.
- -6 = (4)(-1) + b
- -6 = -4 + b
- -6 +4 = b
- -2 = b
4
Напишите уравнение . Теперь, когда Вы нашли "b", вы можете записать уравнение в виде линейной функции:
- m = 4, b = -2
- y = mx + b
- y = 4x -2
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 5:

Нахождение линейной функции, когда известны две точки на прямой

Загрузить PDF

Пусть дана задача: Найти уравнение прямой, которая проходит через точки (-2 , 4) и ( 1 , 2)
2
Используйте две точки для вычисления углового коэффициента. Формула нахождения углового коэффициента прямой, которая проходит через две точки: (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁). Здесь X₁ и Y₁ - координаты первой точки (-2,4), а X₂ и Y₂ - координаты второй точки (1,2). Теперь подставьте их в формулу:
- (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) =
- (2 - 4)/(1 - -2) =
- -2/3 = m
- Угловой коэффициент = -2/3.
3
Выберите одну из точек для вычисления координаты пересечения с осью у. Не имеет значения, какую точку вы возьмете. Теперь просто подставьте значения в уравнение y = mx + b, где "m" – угловой коэффициент, "x" и "y" – координаты выбранной точки. Находим b:
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 + 2/3 = b, или b = ⁸/₃
4
Подставьте найденные значения в исходное уравнение. Теперь, когда вам известно, что угловой коэффициент =-2/3, а свободный член = 2 2/3 , просто подставьте их в исходное уравнение для прямой.
- y = mx + b
- y = ^-2/₃ x + 2 2/3
Реклама

Метод 5

Метод 5 из 5:

Построение графика линейной функции

Загрузить PDF

Допустим, дано уравнение y = 4x + 3.
Свободный член в нашем примере = "+3", то есть положительная величина. Это означает, что прямая пересекает ось у в точке (0 ,3).
3
Используйте угловой коэффициент для вычисления координаты другой точки на прямой. Угловой коэффициент =4 и это означает, что при росте координаты у на 4 единицы, координата х увеличивается на 1 единицу. Соответственно, если вы начинаете в точке (0,3), то следующая точка на прямой - (1,7).
- Если угловой коэффициент – отрицательная величина, то следующая точка лежит ниже точки пересечения прямой с осью у.
Теперь все, что вам нужно сделать, это провести прямую линию через эти две точки, и вы получите график линейной функции. Вы можете продолжать вычислять координаты точек на прямой (взять новую точку как начальную точку и найти следующую).
Реклама

Советы

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.
Постарайтесь проверять свои ответы. Если вам даны или вы нашли координаты х и у, подставьте их обратно в уравнение. Например, если х = 10, а именно вы нашли х=10 в уравнении y=x+3, подставьте 10 вместо х. Ответом должна быть соответствующая координата у, у = 13 в точке (х, у) = (10, 13). Y=13 может быть графически представлена в виде прямой горизонтальной линии, пересекающую ось у, с угловым коэффициентом =0 Вертикальная линия будет иметь бесконечный (несуществующий) угловой коэффициент.
Алгебра – наука, основанная на вычислениях. Вы должны их записывать для наилучшего усвоения процесса.
Если Вы делаете простейшие вычисления в своем уме, не записывая, то при решении более сложной задачи это может привести к ошибкам.
При ускорении или уменьшении скорости движения (скорость не линейна), график уравнения такого движения не будет прямой линией. Однако средняя скорость движения за определенный промежуток времени меняется равномерно, и график в этом случае – прямая линия. Поэтому во многих задачах дана именно средняя скорость.
Используйте калькулятор. Вы сможете найти уравнение прямой с помощью линейной регрессии данных , которая делается автоматически с помощью программы калькулятора. Этим надо пользоваться после того, как вы научитесь делать все это вручную. Калькулятор – удобный инструмент в руках опытного математика.
Записывайте примеры и практикуйтесь в решении задач для усвоения процесса вычислений.
Вы произведете впечатление на преподавателя, если поймете, как применить линейное уравнение для любой задачи.
Декартова система координат, использующаяся для построения графиков уравнений и т.д., была названа в честь французского ученого Рене Декарта. Эта система используется в математике, астрономии, навигации, для освещения пикселей на экранах компьютеров и вообще везде, где требуется определение координат.
Не забудьте умножить перед сложением, когда работаете с уравнением y = mx + b. То есть не складывайте х + b, а сначала умножьте m на x.