Как делить логарифмы

Действия с логарифмами могут показаться довольно сложными, но, как и со степенными функциями или многочленами, необходимо просто знать основные правила. Их совсем немного: чтобы поделить логарифмы с одинаковым основанием или разложить логарифм частного, достаточно использовать пару основных свойств логарифмов.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Как делить логарифмы вручную

Загрузить PDF

1
Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ $How.com.vn Русский: {\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}$ . Однако он не годится для некоторых особых случаев:^{[1]XИсточник информации}
- Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, $\log(-3)$ или $\log _{4}(-5)$ ). В этом случае напишите "нет решения".
- Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался $\ln(0)$ , запишите "нет решения".
- Логарифм единицы по любому основанию ( $\log(1)$ ) всегда равен нулю, поскольку $x^{0}=1$ для всех значений x. Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
- Если логарифмы имеют разные основания, например ${\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}$ , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.
2
Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ $How.com.vn Русский: {\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}=\log _{{a}}(x)$ .
- Пример 1: рассмотрим выражение ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)$ .
- Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.
3
При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти $\log _{a}(x)$ $How.com.vn Русский: \log _{{a}}(x)$ , представьте себе выражение " $a^{?}=x$ $How.com.vn Русский: a^{{?}}=x$ ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a, чтобы получить x?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
- Пример 1 (продолжение): Перепишите $\log _{2}(16)$ в виде $2^{?}=16$ . Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
  $2^{2}=2*2=4$
  $2^{3}=4*2=8$
  $2^{4}=8*2=16$
  Итак, искомым числом является 4: $\log _{2}(16)$ = 4.
4
Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:
- пример 2: чему равно ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}$ ?
- Преобразуем данное выражение в один логарифм: ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)$ . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание ₃ исчезает; это справедливо для любого основания.
- Перепишем выражение в виде $7^{?}=58$ и попробуем найти значение ?:
  $7^{2}=7*7=49$
  $7^{3}=49*7=343$
  Поскольку 58 находится между этими двумя числами, $\log _{7}(58)$ не выражается целым числом.
- Оставляем ответ в логарифмическом виде: $\log _{7}(58)$ .
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Как находить логарифмы частного

Загрузить PDF

1
Рассмотрим случай, когда под знаком логарифма стоит частное (дробь). Данный раздел посвящен выражениям вида $\log _{a}({\frac {x}{y}})$ $How.com.vn Русский: \log _{{a}}({\frac {x}{y}})$ .
- Предположим, необходимо решить следующее задание:
  "Найдите n, при котором $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$ ".
2
Проверьте, нет ли под знаком логарифма отрицательных чисел. Логарифм отрицательного числа не определен. Если x или y отрицательны, убедитесь в том, что задача имеет решение, прежде чем приступать к его поиску:
- Если x или y меньше нуля, задача не имеет решения.
- Если оба числа x и y отрицательны, сократите знак минус: ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$ .
- В приведенном выше примере под знаком логарифма нет отрицательных чисел, поэтому можно перейти к следующему шагу.
3
Разложите логарифм частного на два логарифма. Еще одно полезное свойство логарифмов описывается следующей формулой: $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ $How.com.vn Русский: \log _{{a}}({\frac {x}{y}})=\log _{{a}}(x)-\log _{{a}}(y)$ . Иными словами, логарифм частного всегда равен разности логарифмов делимого и делителя.^{[2]XИсточник информации}
- Используем эту формулу, чтобы разложить левую часть равенства:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)$
- Подставим полученное выражение в наше равенство:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$
  →
  $\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
4
По возможности упростите выражение. Если получившиеся логарифмы представляются целыми числами, можно упростить выражение.
- В нашем примере появился новый член: $\log _{3}(27)$ . Поскольку 3³ = 27, вместо $\log _{3}(27)$ можно подставить 3.
- В результате получаем следующее выражение:
  $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
5
Отделим неизвестную величину. Как и при решении других алгебраических уравнений, рекомендуется перенести искомую величину в одну сторону, а все остальные члены — в другую сторону уравнения. При этом объединяйте подобные члены, чтобы упростить уравнение.
- $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
  $9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$ .
6
При необходимости используйте другие свойства логарифмов. В нашем случае неизвестная величина стоит под знаком логарифма. Чтобы отделить ее от других членов, следует использовать другие свойства логарифмов.
- В нашем примере n входит в состав слагаемого $\log _{3}(6n)$ .
  Чтобы отделить n, используем следующее свойство логарифмов: $\log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)$
- Подставим эту сумму логарифмов в наше выражение:
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
7
Продолжайте упрощать выражение, пока не получите ответ. Используйте для этого правила алгебры и свойства логарифмов. Если ответ не выражается целым числом, используйте калькулятор и округлите результат до ближайшей значимой цифры.
- $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(n)=9$
  Так как 3⁹ = 19683, n =19683 .
Реклама