Logaritmen delen

Logaritmen zien er misschien moeilijk te gebruiken uit, maar net als exponenten of veeltermen moet je gewoon de juiste technieken leren. Je hoeft alleen maar een paar basiseigenschappen te kennen om twee logaritmen met hetzelfde grondtal te delen, of om een logaritme uit te breiden met een quotiënt.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Logaritmen met de hand delen

Pdf downloaden

1
Controleer op negatieve getallen en enen. Deze methode behandelt problemen in de vorm ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}$ . Hij werkt echter niet voor een paar speciale gevallen:^[1]XBron
- De logaritme van een negatief getal is niet gedefinieerd voor alle grondtallen (zoals $\log(-3)$ of $\log _{4}(-5)$ ). Schrijf dan 'Geen oplossing'.
- De logaritme van nul is ook ongedefinieerd voor alle grondtallen. Als je een term ziet zoals $\ln(0)$ , schrijf dan ook 'Geen oplossing'.
- De logaritme van één in elk grondtal ( $\log(1)$ ) is altijd gelijk aan nul, aangezien $x^{0}=1$ voor alle waarden van x. Vervang die logaritme door 1 in plaats van de onderstaande methode te gebruiken.
- Als de twee logaritmen verschillende grondtallen hebben, zoals ${\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}$ , en je kunt geen van beide vereenvoudigen tot een geheel getal, dan is het probleem niet met de hand op te lossen.
2
Bewerk de uitdrukking in één logaritme. Ervan uitgaande dat je geen van de bovenstaande uitzonderingen heeft gevonden, kun je nu het probleem in één logaritme vereenvoudigen. Om dit te doen, gebruik je de formule ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)}$ .^[2]XBron
- Voorbeeld 1: Los op: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Begin door dit om te zetten in een logaritme met behulp van de bovenstaande formule: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)$ .
- Deze formule is de 'verandering van grondtal' formule, afgeleid van de logaritmische basiseigenschappen.
3
Bereken dit zo mogelijk met de hand. Onthoud: om $\log _{a}(x)$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle \log _{a}(x)}$ op te lossen, denk je aan ' $a^{?}=x$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle a^{?}=x}$ ' of 'Met welke exponent kan ik a verheffen om x te krijgen?' Het is niet altijd mogelijk om dit op te lossen zonder een rekenmachine, maar als je geluk hebt, eindig je met een gemakkelijk te vereenvoudigen logaritme.^[3]XBron
- Voorbeeld 1 (cont.): Herschrijf $\log _{2}(16)$ als $2^{?}=16$ . De waarde van '?' is het antwoord op de opgave. Je moet wellicht wat proberen om het te vinden:
  $2^{2}=2*2=4$
  $2^{3}=4*2=8$
  $2^{4}=8*2=16$
  16 is waar je naar op zoek was, dus $\log _{2}(16)$ = 4.
4
Laat het antwoord in logaritmevorm als je het niet kunt vereenvoudigen. Sommige logaritmen zijn erg moeilijk met de hand op te lossen. Je hebt een rekenmachine nodig als je het antwoord voor een praktisch doel nodig hebt. Als je problemen in de wiskundeles oplost, verwacht je leraar waarschijnlijk dat je het antwoord als logaritme laat staan. Hier is nog een voorbeeld dat deze methode gebruikt voor een lastiger opgave:^[4]XBron
- Voorbeeld 2: Wat is ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}$ ?
- Zet dit om in een logaritme:: ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)$ . (Merk op dat de ₃ in elke initiële log verdwijnt -- dit geldt voor elk grondtal).
- Herschrijf als $7^{?}=58$ en test mogelijke waarden van ?:
  $7^{2}=7*7=49$
  $7^{3}=49*7=343$
  Omdat 58 tussen deze twee getallen valt, heeft $\log _{7}(58)$ geen geheel getal als antwoord.
- Laat je antwoord staan als: $\log _{7}(58)$ .
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Met de logaritme van een quotiënt werken

Pdf downloaden

1
Begin met een deelprobleem in een logaritme. Deze sectie helpt je bij het oplossen van opgaven met expressies in de vorm $\log _{a}({\frac {x}{y}})$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})}$ .^[5]XBron
- Begin bijvoorbeeld met dit probleem:
  'Los op voor n als $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$ .'
2
Controleer op negatieve getallen. De logaritme van een negatief getal is niet gedefinieerd. Als x of y een negatief getal zijn, controleer dan of het probleem een oplossing heeft voordat je verder gaat:^[6]XBron
- Als ofwel x of y negatief is, is er geen oplossing voor het probleem.
- Als zowel x als y negatief zijn, verwijder dan de negatieve tekens met behulp van de eigenschap ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$
- Er zijn geen logaritmen van negatieve getallen in het voorbeeldprobleem, dus je kunt doorgaan naar de volgende stap.
3
Verdeel het quotiënt in twee logaritmen. Een nuttige eigenschap van logaritmen wordt beschreven door de formule: $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ $How.com.vn Nederlands: {\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$ . Met andere woorden, De logaritme van een quotiënt is altijd gelijk aan de logaritme van de teller, minus de logaritme van de noemer.^[7]XBron
- Gebruik dit om de linkerkant van de voorbeeldopgave uit te breiden:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)$
- Substitueer dit weer in de originele vergelijking:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$
  →
  $\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
4
Vereenvoudig de logaritmen indien mogelijk. Als een van de nieuwe logaritmen in de uitdrukking een geheel getal is, vereenvoudig ze dan nu.
- Het voorbeeldprobleem heeft een nieuwe term: $\log _{3}(27)$ . Omdat 3³ = 27, vereenvoudig je $\log _{3}(27)$ naar 3.
- De volledige vergelijk is nu:
  $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
5
Isoleer de variabele. Net als elke wiskundige opgave helpt het om de term te isoleren met de variabele aan één kant van de vergelijking. Werk gelijke termen waar mogelijk weg, om de vergelijking te vereenvoudigen.
- $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
  $9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$ .
6
Gebruik aanvullende eigenschappen van logaritmen wanneer dat nodig is. Om de variabele te isoleren van andere termen binnen dezelfde logaritme, herschrijf je de term met behulp van andere logaritmische eigenschappen.
- In het voorbeeldprobleem zit de n nog steeds gevangen in de term $\log _{3}(6n)$ .
  Om de n te isoleren, gebruik je de productregel van logaritmen: $\log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)$
- Substitueer dit weer terug in de volledige vergelijking:
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
7
Ga door met vereenvoudigen totdat je de oplossing hebt gevonden. Herhaal dezelfde algebraïsche en logaritmische technieken om het probleem op te lossen. Als er geen oplossing is met een geheel getal, gebruik dan een rekenmachine en rond af naar het dichtstbijzijnde significante getal.
- $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(n)=9$
  Since 3⁹ = 19683, n =19683
Advertentie