Como Simplificar Expressões Matemáticas

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Usando a ordem das operações

Simplificando expressões complexas

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Referências

Os estudantes de Matemática precisam frequentemente dar respostas nos "termos mais simples." Apesar de uma expressão assustadoramente grande e outra bem concisa terem o mesmo resultado, um problema não é considerado resolvido até que a resposta tenha sido reduzida nos termos mais simples possíveis. Além disso, as respostas mais curtas são muito mais fáceis de serem trabalhadas. Por esses motivos, aprender a simplificar expressões é uma habilidade essencial para os que pretendem se tornar matemáticos.

Passos

Método 1

Método 1 de 2:

Usando a ordem das operações

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   Lembre-se da ordem das operações. Primeiro se resolvem as expressões dentro das chaves, depois colchetes e, em seguida, parênteses. Além disso, dentro dessas expressões, a seguinte ordem prevalece: expoentes, multiplicação, divisão, adição e subtração. Caso a expressão seja simplificada fora dessa ordem, a conta pode dar errado. Para ajudar a decorar a ordem correta, lembre-se de “PEnseM nas balaDAS”, ou seja, PEMDAS (parênteses, expoentes, Multiplicação, Divisão, Adição e, finalmente, Subtração).

   • Observe que, enquanto o conhecimento básico da ordem das operações permite a simplificação das expressões mais básicas, são necessárias técnicas especiais para simplificar muitas expressões variáveis, incluindo quase todas as polinomiais. Veja o Método Dois abaixo para mais detalhes.
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   Comece resolvendo todos os termos dentro dos parênteses. Em Matemática, os parênteses indicam que os termos dentro deles devem ser calculados separadamente. Independentemente das operações realizadas dentro deles, o primeiro passo rumo à simplificação é resolver os termos entre parênteses. Vale lembrar que, dentro de cada par de parênteses, a ordem das operações ainda prevalece. Por exemplo, dentro de parênteses, deve-se multiplicar antes de somar, somar antes de subtrair, etc.

   • Como exemplo, vamos simplificar a expressão 2x + 4(5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). Nela, resolvemos os termos entre parênteses, ou seja, 5 + 2 e 3 + 4/2, primeiro. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • O segundo termo em parênteses é simplificado para 5, pois dividimos 4/2 como o primeiro passo a ser dado com os termos dentro de parênteses. Se fôssemos simplesmente resolver da esquerda para a direita, somaríamos 3 e 4 primeiro e depois dividiríamos por 2, o que daria um resultado errado: 7/2.
   • Se houver parênteses múltiplos, um dentro do outro, resolva os que estão mais no interior primeiro, depois os próximos a esse, e assim por diante. A ordem é de dentro para fora.
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   Resolva os expoentes. Depois de resolver tudo entre parênteses, chegou a hora de resolver os expoentes. Encontre a solução para cada expoente. Em seguida, encaixe as respostas na equação.

   • Depois de lidar com os parênteses, nossa expressão de exemplo ficou em 2x + 4(7) + 3² - 5. O único expoente em nosso exemplo é 3², o qual resulta em 9. Encaixe esse resultado à equação no lugar do 3² para obter 2x + 4(7) + 9 - 5.
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   Resolva os problemas de multiplicação da expressão. Lembre-se de que a multiplicação pode ser representada de várias maneiras. Um × símbolo, um ponto ou um asterisco são todos usados para representar uma multiplicação. Porém, um número junto a um parênteses ou variável (como 4(x)) também é usado para indicar uma multiplicação.

   • Há dois exemplos de multiplicação no nosso problema: 2x (2x é 2 × x) e 4(7). Não sabemos o valor de x, então deixaremos 2x como está. 4(7) = 4 × 7 = 28. Podemos então reescrever a equação como 2x + 28 + 9 - 5.
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   Prossiga com a divisão. A divisão, assim como a multiplicação, também pode ser expressa de diferentes maneiras: &divide e barra (como em 3/4, por exemplo).

   • Como já resolvemos um problema de divisão (4/2) quando resolvemos os termos entre parênteses, nosso exemplo não tem mais problemas de divisão a serem resolvidos. Logo , podemos pular esse passo. Isso mostra que não temos que resolver toda operação inclusa na abreviação PEMDAS ao simplificar uma expressão. Basta resolver as que estão presentes no nosso problema.
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   Some. Você pode ir resolvendo as somas da esquerda para a direita ao longo da expressão, mas é mais fácil somar os números que são próximos no valor primeiro. Por exemplo, na expressão 49 + 29 + 51 +71, é mais fácil somar 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, e 100 + 100 = 200, do que somar 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, e 129 + 71 = 200.

   • Nosso exemplo foi parcialmente simplificado em "2x + 28 + 9 - 5". Agora, precisamos somar o que pudermos — vamos examinar cada problema de adição da esquerda para a direita. Não podemos somar 2x e 28, pois não sabemos o valor de x, então vamos deixar como está. Vamos em frente com 28 + 9 = 37, para podermos então reescrever a expressão como "2x + 37 - 5".
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   Subtraia. Esse é o último passo do PEMDAS. Resolva todos os problemas de subtração. Você pode resolver a adição de números negativos nesse passo ou no mesmo passo da adição normal — o resultado final será o mesmo.

   • Na nossa expressão, "2x + 37 - 5", há apenas um problema de subtração. 37 - 5 = 32
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   Revise a expressão. Depois de resolver todos os problemas seguindo a ordem correta da operação, você terá uma expressão simplificada. Porém, se a sua expressão tem uma ou mais variáveis, elas ficarão do jeito de estão. Isso porque, para simplificá-las, é preciso encontrar o valor das variáveis ou usar técnicas especiais para simplificar a expressão (como mostrado abaixo).

   • Nossa resposta final será "2x + 32". Não podemos abordar o final do problema até sabermos o valor de x. Quando soubermos, será muito mais fácil resolver o problema.
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Método 2

Método 2 de 2:

Simplificando expressões complexas

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   Some as variáveis semelhantes. Ao lidar com expressões contendo variáveis, é importante lembrar que os termos com a mesma variável e expoente podem ser somados e subtraídos como números normais. Os termos devem obrigatoriamente ter a mesma variável e o mesmo expoente. Por exemplo, 7x e 5x podem ser somados, mas 7x e 5x² não podem.

   • Essa regra também se aplica a termos com variáveis múltiplas. Por exemplo, 2xy² pode ser somada a -3xy², mas não a -3x²y ou a -3y².
   • Vamos dar uma olhada na expressão x² + 3x + 6 - 8x. Nela, podemos somar 3x e -8x, pois são semelhantes. Simplificando, obtemos x² - 5x + 6.
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   Simplifique frações numéricas dividindo ou "cancelando fatores. Frações que têm apenas números (ou seja, não possuem variáveis) no numerador e no denominador podem ser simplificadas de diversas formas. O jeito mais fácil é resolver a fração como um simples problema de divisão. Além disso, qualquer fator multiplicador que apareça no numerador e no denominador ao mesmo tempo pode ser cancelado. Isso porque ele resulta em 1 (número dividido por ele mesmo). Em outras palavras, se o numerador e o denominador compartilham um fator, ele pode ser retirado da fração, deixando a resposta mais simples.

   • Por exemplo, vamos analisar a fração 36/60. Com uma calculadora, podemos obter o resultado 0.6. Podemos também simplificar a fração retirando os fatores comuns. Outra forma de encarar a fração 36/60 é (6 × 6)/(6 × 10). Isso pode ser reescrito como 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, logo, nossa expressão é, na verdade, 1 × 6/10 = 6/10. Mas ainda não acabamos — ambos 6 e 10 compartilham o fator 2. Repetindo o processo feito acima, obtemos 3/5.
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   Em frações com variáveis, cancele os fatores variáveis. Expressões com variáveis na forma de frações oferecem oportunidades únicas de simplificação. Assim como as frações normais, as frações com variáveis permitem que você retire os fatores compartilhados por ambos o numerador e o denominador. Mas em frações com variáveis, esses fatores podem ser tanto números quanto expressões com variáveis.

   • Vamos ver a expressão (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Essa fração pode ser reescrita como (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x aparece tanto no numerador quanto no denominador. Retirando esses fatores da equação, obtemos (x + 1)/(5 - x). De forma parecida, na expressão (2x² + 4x + 6)/2, como cada termo é divisível por 2, podemos escrever a expressão como (2(x² + 2x + 3))/2 e então simplificá-la para x² + 2x + 3.
   • Observe que não se pode cancelar qualquer termo — você só pode cancelar fatores multiplicativos que aparecem tanto no denominador quanto no numerador. Por exemplo, na expressão (x(x + 2))/x, o "x" pode ser cancelado tanto no numerador quanto no denominador, resultando em (x + 2)/1 = (x + 2). Porém, (x + 2)/x não pode ser cancelado em 2/1 = 2.
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   Multiplique termos entre parênteses pelas suas constantes. Ao lidar com variáveis entre parênteses com uma constante junto a elas, às vezes podemos multiplicar cada termo entre parênteses pela constante e obter um resultado mais simples. Isso se aplica a constantes puramente numéricas e para constantes que incluem variáveis.

   • Por exemplo, a expressão 3(x² + 8) pode ser simplificada para 3x² + 24, enquanto que 3x(x² + 8) pode ser simplidicada para 3x³ + 24x.
   • Repare que, em alguns casos (como frações com variáveis), a constante adjacente aos parênteses dá a chance para cancelar. Portanto, é melhor não usá-la para multiplicar através dos parênteses. Na fração (3(x² + 8))/3x, por exemplo, o fator 3 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo e simplificar a expressão para (x² + 8)/x. É mais fácil trabalhar assim do que com (3x³ + 24x)/3x, que é o resultado que obteríamos se tivéssemos multiplicado através dos parênteses.
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   Simplifique usando fatoração. A fatoração é uma técnica pela qual algumas expressões com variáveis, incluindo polinomiais, podem ser simplificadas. Pense na fatoração como o oposto da "multiplicação através dos parênteses" vista acima - às vezes, uma expressão pode ficar mais simples se multiplicarmos um termo pelo outro, ao invés de trabalhar com uma só expressão unificada. Isso se aplica principalmente se a fatoração de uma expressão permitir que você cancele parte dela (da mesma forma que você faria em uma fração). Em casos especiais (normalmente, com equações quadráticas), a fatoração permite até mesmo que você encontre soluções para a equação.

   • Vamos observar a expressão x² - 5x + 6 mais uma vez. Essa expressão pode ser fatorada em (x - 3)(x - 2). Logo, se x² - 5x + 6 é o numerador de uma determinada expressão com um desses termos no denominador, como é o caso da expressão (x² - 5x + 6)/(2(x - 2)), podemos escrevê-la de forma fatorada para que possamos cancelá-la com o denominador. Em outras palavras, com (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), os termos em (x - 2) são cancelados, resultando em (x - 3)/2.
   • Como indicado acima, outro motivo para fatorar uma expressão tem a ver com o fato de que a fatoração revela a resposta para certas equações, principalmente quando essas equações são escritas como expressões que igualam a zero. Por exemplo, vamos examinar a equação x² - 5x + 6 = 0. Através da fatoração, obtemos (x - vamos 3)(x - 2) = 0. Como qualquer número multiplicado por zero resulta em zero, sabemos que qualquer termo entre parênteses pode ser igualado a zero. Logo, toda a expressão do lado esquerdo resultará em zero também. Então, 3 e 2 são as respostas para a equação.
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