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A menudo, se les pide a los estudiantes de matemáticas que den su respuesta en “términos más simples”, es decir, escribirlas de la forma más elegante posible. Si bien una expresión larga y desgarbada, y una corta y elegante técnicamente pueden parecer lo mismo, generalmente un problema matemático no se considera “resuelto” hasta que la respuesta se haya reducido a su mínima expresión. Además, casi siempre es más fácil trabajar con respuestas en términos más simples. Es por ello que aprender a simplificar expresiones es una habilidad imprescindible para los que aspiran a convertirse en matemáticos.
Pasos
Conoce el orden de las operaciones. Al simplificar expresiones matemáticas, no puedes solo proceder de izquierda a derecha, multiplicando, sumando, restando, etc. Algunas operaciones matemáticas pueden tener prioridad sobre otras y deben resolverse en primer lugar. De hecho, resolver operaciones en el orden incorrecto puede darte una respuesta errónea. El orden de las operaciones es: términos entre paréntesis, exponentes, multiplicación, división, adición (o suma) y, por último, sustracción (o resta). Un acrónimo que puede ayudarte a recordar este orden es "Para Entender Matemáticas, Debo Aprender a Sumar" o "PEMDAS".- Ten en cuenta que, si bien el conocimiento básico del orden de las operaciones posibilita la simplificación de la mayoría de expresiones básicas, se requiere de técnicas especializadas para simplificar muchas expresiones con variables, incluyendo casi todos los polinomios. Lee el método dos para obtener más información.
Comienza resolviendo todos los términos entre paréntesis. En matemáticas, los paréntesis indican que los términos dentro deben calcularse por separado del resto de la expresión. Cuando intentes simplificar una expresión, independientemente de las operaciones que se realicen dentro de ellos, asegúrate de resolver primero los términos entre paréntesis. Sin embargo, ten en cuenta que, dentro de cada paréntesis, aún debe aplicarse el orden de operaciones. Por ejemplo, es necesario resolver la multiplicación antes que la suma o la resta.[1]- Como un ejemplo, intentemos simplificar esta expresión: 2x + 4(5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). En esta expresión, resolveremos primero los términos entre paréntesis, 5 + 2 y 3 + 4/2. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
- El segundo término entre paréntesis se simplifica a 5 porque debido al orden de las operaciones, dividimos 4/2 en primer lugar. Si simplemente fuéramos izquierda a derecha, sumaríamos 3 y 4 y luego lo dividiríamos entre 2, dando como respuesta a 7/2, lo cual es incorrecto.
- Nota: si hay múltiples paréntesis colocados uno dentro del otro, resuelve primero los que se encuentran en el interior y continúa hacia afuera.
- Como un ejemplo, intentemos simplificar esta expresión: 2x + 4(5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). En esta expresión, resolveremos primero los términos entre paréntesis, 5 + 2 y 3 + 4/2. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
Resuelve los exponentes. Luego de resolver lo que se encuentra dentro de los paréntesis, continúa con los exponentes de las expresiones. Esto es fácil de recordar porque, en los exponentes, el número base y la potencia se ubican uno al lado del otro. Resuelve cada exponente y luego sustitúyelos por las respuestas en la ecuación.[2]- Después de resolver lo que se encuentra dentro de los paréntesis, nuestra expresión queda de esta manera: 2x + 4(7) + 32 - 5. El único exponente en nuestro ejemplo es 32, el cual equivale a 9. Coloca esta cifra en la ecuación en lugar de 32 para obtener 2x + 4(7) + 9 - 5.
Resuelve los problemas de multiplicación en la expresión. A continuación, realiza todas las operaciones de multiplicación necesarias en la expresión. Un símbolo ×, un punto o un asterisco son formas de expresar la operación de multiplicación. Sin embargo, un número colocado entre paréntesis o una variable (como 4(x)) también denotan esta operación.[3]- Hay dos ejemplos de multiplicación en nuestro problema: 2x (2x es 2 × x) y 4(7). No conocemos el valor de x, así que lo dejamos tal cual (2x). 4(7) = 4 × 7 = 28. Podemos reescribir nuestra ecuación como 2x + 28 + 9 - 5.
Continúa con la división. A medida que buscas los problemas de división en la expresión, ten en cuenta que, al igual que la multiplicación, la división puede escribirse de diversas formas. El símbolo ÷ es una de ellas, pero recuerda que las diagonales y las barras en una fracción (como 3/4, por ejemplo) también significan división.[4]- Debido a que ya resolvimos un problema de división (4/2) cuando abordamos los términos entre paréntesis, nuestro ejemplo ya no tiene ninguna otra operación de este tipo, así que omitiremos este paso. Esto nos lleva a un punto importante; no necesitas realizar todas las operaciones mencionadas en el acrónimo PEMDAS cuando simplifiques una expresión, solo haz las que se encuentren presentes en el problema.
Suma. Ahora, resuelve todos los problemas de suma que encuentres en la expresión. En este caso, puedes proceder simplemente de izquierda a derecha, pero podría serte más sencillo sumar primero los números que combinen de forma simple y manejable. Por ejemplo, en la expresión 49 + 29 + 51 +71, es más fácil sumar 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 y 100 + 100 = 200, en lugar de 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 y 129 + 71 = 200.- En nuestro ejemplo, hemos simplificado parcialmente la expresión a "2x + 28 + 9 - 5". Ahora, debemos sumar lo que podamos, echándole un vistazo a cada problema de suma de izquierda a derecha. No podemos sumar 2x con 28 porque no conocemos el valor de x, así que lo omitimos. 28 + 9 = 37, de modo que al reescribir la expresión esta queda como "2x + 37 - 5".
Resta. El último paso en PEMDAS es la resta. Procede con el problema resolviendo todos los problemas de resta que queden. En este paso, podrías resolver la suma de números negativos o también podrías haberlo hecho en el anterior; de cualquier modo, no afectará la respuesta.- En nuestra expresión: "2x + 37 - 5", solo hay un problema de resta. 37 - 5 = 32
Revisa la expresión. Después de seguir el orden de las operaciones, la expresión debe quedar en los términos más simples. Sin embargo, si la expresión contiene una o más variables, ten en cuenta que los términos de las variables no se verán alterados. Para simplificar expresiones con variables, es necesario que halles los valores de tus variables o uses técnicas especializadas para simplificar la expresión (lee a continuación).- Nuestra respuesta final es "2x + 32". No podemos darle una solución a este problema de suma hasta que sepamos el valor de x, pero cuando lo hagamos, la expresión será mucho más fácil de resolver que la original que era de mayor tamaño.
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Suma los términos con variables semejantes. Cuando trates con expresiones con variables, es importante recordar que los términos con la misma variable y exponente (o “términos semejantes”) pueden sumarse o restarse como números normales. Los términos no solo deben tener la misma variable, sino también el mismo exponente. Por ejemplo, es posible sumar 7x y 5x, pero no 7x y 5x2.[5]- Esta regla también se aplica a los términos con múltiples variables. Por ejemplo, 2xy2 puede sumarse con -3xy2, pero no con -3x2y o -3y2.
- Echémosle un vistazo a la expresión x2 + 3x + 6 - 8x. En esta expresión, podemos sumar los términos 3x y -8x porque son semejantes. Al simplificarse, nuestra expresión es x2 - 5x + 6.
Simplifica fracciones numéricas al dividir o "cancelar" factores. Las fracciones que solo tienen números (y no variables) tanto en el numerador como en el denominador puede simplificarse de muchas maneras. Lo primero (y quizás lo más sencillo) es simplemente tratar la fracción como un problema de división al dividir el denominador entre el numerador. Asimismo, cualquier factor multiplicador que se encuentre tanto en el numerador como en el denominador puede “cancelarse” porque el resultado de su división es 1. En otras palabras, si el numerados y el denominador comparten un factor, este puede cancelarse para obtener una respuesta simplificada.- Por ejemplo, pensemos en la fracción 36/60. Si tenemos una calculadora a la mano, podemos hacer una división para obtener una respuesta de 0,6. Por el contrario, si no contamos con una, aun podemos simplificar la fracción al eliminar factores en común. Otra forma de pensar en 36/60 es (6 × 6)/(6 × 10). Puedes reescribir esto como 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, de modo que nuestra expresión es en realidad 1 × 6/10 = 6/10. Sin embargo, aún no se termina; tanto 6 como 10 comparten el factor 2. Al repetir el procedimiento anterior, nos quedamos con 3/5.
En fracciones con variables, se cancela los factores que tengan variables. Las expresiones con variables en la forma de fracciones ofrecen oportunidades únicas para la simplificación. Al igual que con las fracciones normales, las fracciones con variables te permiten eliminar factores presentes en el numerador y en el denominador. Sin embargo, en fracciones con variables, estos factores pueden ser números y expresiones variables reales.[6]- Consideremos la expresión (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x).Esta fracción puede reescribirse como (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), donde 3x aparece tanto en el numerador como en el denominador. Eliminar estos factores en la ecuación nos deja con (x + 1)/(5 - x). De manera similar, en la expresión (2x2 + 4x + 6)/2, dado que cada término es divisible entre 2, podemos escribir la expresión como (2(x2 + 2x + 3))/2 y simplificarla a x2 + 2x + 3.
- Ten en cuenta que no puedes cancelar cualquier término; solo puedes cancelar los factores multiplicadores que aparecen en el numerador y en el denominador. Por ejemplo, en la expresión (x(x + 2))/x, la "x" se cancela tanto en el numerador como en el denominador, dando como resultado (x + 2)/1 = (x + 2). Sin embargo, (x + 2)/x no se cancela en 2/1 = 2.
Multiplica los términos entre paréntesis por sus constantes. A veces, cuando se lidia con términos que tengan variables entre paréntesis con una constante adyacente, multiplicar cada término ubicado en los paréntesis por la constante puede dar como resultado una expresión más simple. Esto se aplica en constantes puramente numéricas y en aquellas que incluyen variables.[7]- Por ejemplo, la expresión 3(x2 + 8) puede simplificarse en 3x2 + 24, mientras que 3x(x2 + 8) puede simplificarse en 3x3 + 24x.
- Ten en cuenta que, en algunos casos, como en el de las fracciones con variables, la constante adyacente a los paréntesis puede cancelarse, por lo que no debe multiplicarse con los términos que se encuentran dentro de dichos paréntesis. Por ejemplo, en la fracción (3(x2 + 8))/3x, el factor 3 aparece tanto en el numerador como en el denominador, de modo que es posible cancelarlo y simplificar la expresión a (x2 + 8)/x. Dicha expresión es más fácil de manejar que (3x3 + 24x)/3x, la cual sería la respuesta que obtendríamos si hubiéramos hecho la multiplicación.
Simplifica mediante la factorización. La factorización es una técnica con la cual puede simplificarse algunas expresiones con variables, incluyendo los polinomios. Piensa en la factorización como lo opuesto de “multiplicar a través de los paréntesis” mencionado en el paso anterior. A veces, una expresión puede representarse de manera más simple como dos términos multiplicados entre sí en lugar de como una sola expresión unificada. Esto se aplica particularmente a casos en los que una expresión te permite cancelar una parte de ella (como lo harías en una fracción). En casos especiales (generalmente con ecuaciones cuadráticas), la factorización te permite incluso hallar las respuestas a la ecuación.[8]- Consideremos una vez más la siguiente expresión: x2 - 5x + 6. Esta expresión puede factorizarse a (x - 3)(x - 2). Entonces, si x2 - 5x + 6 es el numerador de una determinada expresión con uno de estos términos en el denominador, como en el caso de la expresión (x2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), es posible que debamos escribirlo en forma factorizada para que podamos cancelarlo con el denominador. En otras palabras, con (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), el término (x - 2) se cancela, dejándonos con (x - 3)/2.
- Como se indicó anteriormente, otra razón por la que sería necesario factorizar la expresión tiene que ver con el hecho de que esta operación puede revelar respuestas a ciertas ecuaciones, sobre todo cuando dichas ecuaciones se escriben como expresiones iguales a 0. Por ejemplo, pensemos en la ecuación x2 - 5x + 6 = 0. Al factorizarla obtenemos (x - 3)(x - 2) = 0. Dado que cualquier número multiplicado por cero nos da cero, sabemos que, si podemos hacer que alguno de los términos dentro de los paréntesis sea igual a cero, toda la expresión al lado izquierdo del signo igual dará también como resultado cero. Por lo tanto, 3 y 2 son dos respuestas a la ecuación.
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Referencias
- ↑ https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/orderops.htm
- ↑ https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/orderops.htm
- ↑ http://www.algebra-class.com/simplifying-algebraic-expressions.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/simplify.html
- ↑ http://www.algebra-class.com/simplifying-algebraic-expressions.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/simplify.html
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