Como Racionalizar o Denominador

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Neste Artigo:

Racionalizando denominadores monomiais

Racionalizando denominadores binomiais

Usando números inversos

Racionalizando denominadores com raiz cúbica

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Referências

De modo geral, o denominador (a parte de baixo) de uma fração não pode ter radicais ou números irracionais. Se isso acontecer com um problema que estiver resolvendo, você vai ter que multiplicar a fração por um ou mais valores que ajudem a remover essa expressão. Sendo assim, leia este artigo se precisar de ajuda nessa operação durante a aula de matemática!

Passos

Método 1

Método 1 de 4:

Racionalizando denominadores monomiais

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   Examine a fração. A fração está correta quando não há radicais no denominador. Se houver uma raiz quadrada ou outro radical nela, você vai ter que multiplicar as partes de cima e de baixo por um valor que resolva a situação. De todo modo, lembre-se de que o numerador pode conter radicais.

   • Por exemplo: ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$
   • Esse exemplo traz um ${\sqrt {7}}$ no denominador.
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   Multiplique o numerador e o denominador pelo radical que está no denominador. É mais fácil racionalizar qualquer fração quando o denominador é monomial. Só não se esqueça de que você precisa multiplicar as duas partes (de cima e de baixo) pelo mesmo termo — já que, na verdade, vai multiplicar tudo por 1.

   • Por exemplo: ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
   • Se for usar uma calculadora, lembre-se de colocar parênteses em cada equação para não misturar as coisas.
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   Simplifique os termos da fração. Transforme a fração que você acabou de criar na sua forma mais simples. Nesse caso, corte os fatores em comum no numerador e no denominador (7).

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}$
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Método 2

Método 2 de 4:

Racionalizando denominadores binomiais

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   Examine a fração. Se a fração contém dois termos no denominador e pelo menos um deles é irracional, você não pode usar nada do tipo para multiplicar as partes de cima e de baixo.

   • Por exemplo:${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$
   • Não deu para entender? Escreva uma fração arbitrária ${\frac {1}{a+b}}$, na qual $a$ e $b$ são irracionais. Na sequência, a expressão $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ contém um "termo cruzado": $2ab$. Se pelo menos $a$ ou $b$ é irracional, então esse termo cruzado vai conter um radical.
   • Veja como isso se aplica ao exemplo:
     • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}$
   • Como você pode ver, não dá para eliminar o $4{\sqrt {2}}$ do denominador depois disso.
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   Multiplique a fração pelo conjugado do denominador. O conjugado de uma expressão equivale à mesma expressão, mas com o sinal invertido. Por exemplo: o conjugado de $2+{\sqrt {2}}$ é $2-{\sqrt {2}}$.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$
   • Por que usar o conjugado dá certo? Se você multiplicar a fração arbitrária ${\frac {1}{a+b}}$ pelo conjugado no numerador e no denominador, vai ter como resultado o denominador $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$. Nesse caso, o segredo é que não há termos cruzados. Como as duas partes estão em raiz quadrada, elas cortam uma à outra.
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   Simplifique os termos da fração. Transforme a fração na sua versão mais simples encontrando o fator em comum no numerador e no denominador. Nesse caso, 4 - 2 = 2 — o qual você pode usar para cortar o valor da parte de baixo.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}$
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Método 3

Método 3 de 4:

Usando números inversos

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   Examine o problema. Se você precisar escrever o inverso de um conjunto de termos que contém um radical, comece racionalizando antes de simplificar. Use esse método em frações de denominadores mono ou binomiais, dependendo do problema em particular.

   • Por exemplo: $2-{\sqrt {3}}$
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   Escreva o inverso normalmente. O inverso de um número corresponde apenas à troca do numerador pelo denominador. Usando o exemplo citado acima, o inverso seria $2-{\sqrt {3}}$ (uma fração de um número dividido por 1).

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$
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   Multiplique os termos por algo que elimine o radical na parte de baixo. Lembre-se de que você vai multiplicar os termos por 1. Portanto, aplique essa operação ao numerador e ao denominador. Como o exemplo acima é binomial, basta multiplicar as duas partes pelo conjugado.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$
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   Simplifique os termos da fração. Transforme a fração na sua versão mais simples e com menos números possível. Nesse exemplo, 4 - 3 = 1 — portanto, você pode remover a parte de baixo dela de uma vez.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}$
   • Não se assuste porque o inverso da fração é igual ao conjugado. É uma simples coincidência.
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Método 4

Método 4 de 4:

Racionalizando denominadores com raiz cúbica

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   Examine a fração. Apesar de ser algo raro, pode acontecer de você dar de cara com uma raiz cúbica no denominador. Nesse caso, este método também generaliza as raízes de qualquer índice.

   • Por exemplo: ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}$
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   Reescreva o denominador em termos de expoentes. Você precisa seguir um processo um pouco diferente para encontrar uma expressão que ajude a racionalizar o denominador aqui, visto que não dá para simplificar a expressão usando o radical.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}$
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   Multiplique as partes de cima e de baixo por um termo que transforme o expoente do denominador em 1. No exemplo acima, com raiz cúbica, você pode multiplicar o valor por ${\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$. Lembre-se de que os expoentes transformam qualquer problema de multiplicação em um problema de adição de acordo com a propriedade $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$
   • Isso também serve para generalizar as enésimas raízes no denominador. Se você tivesse ${\frac {1}{a^{1/n}}}$, poderia multiplicar as partes de cima e de baixo por $a^{1-{\frac {1}{n}}}$. Dessa forma, os expoentes se transformariam no denominador 1.
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   Simplifique os termos da fração.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}$
   • Se você precisar escrever a expressão na forma radical, fatore o $1/3$.
     • $3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}$
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