Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Одночлен в знаменателе

Двучлен (бином) в знаменателе

Обратное выражение

Кубический корень в знаменателе

Показать еще 1...

Показать меньше...

Дополнительные статьи

Источники

В математике не принято оставлять корень или иррациональное число в знаменателе дроби. Если в знаменателе находится корень, умножьте дробь на некоторый член или выражение, чтобы избавиться от корня. Современные калькуляторы позволяют работать с корнями в знаменателе, но образовательная программа требует, чтобы учащиеся умели избавляться от иррациональности в знаменателе.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 4:

Одночлен в знаменателе

Загрузить PDF

1. 
   1
   Изучите дробь. Дробь записана корректно, если в знаменателе нет корня. Если в знаменателе есть квадратный или любой другой корень, нужно умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен, чтобы избавиться от корня. Обратите внимание, что в числителе может стоять корень — это нормально.

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$
   • Здесь в знаменателе есть корень ${\sqrt {7}}$.
2. 
   2
   Умножьте числитель и знаменатель на корень, который находится в знаменателе. Если в знаменателе находится одночлен, рационализировать такую дробь довольно просто. Умножьте числитель и знаменатель на один и тот же одночлен (то есть вы умножаете дробь на 1).

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
   • Если вы вводите выражение для решения на калькуляторе, не забудьте заключить каждую часть в скобки, чтобы разделить их.
3. 
   3
   Упростите дробь (если возможно). В нашем примере ее можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 7.

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}$
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

Двучлен (бином) в знаменателе

Загрузить PDF

1. 
   1
   Изучите дробь. Если в ее знаменателе находится сумма или разность двух одночленов, один из которых содержит корень, нельзя умножить дробь на такой бином, чтобы избавиться от иррациональности.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$
   • Чтобы понять это, запишите дробь ${\frac {1}{a+b}}$, где одночлен $a$ или $b$ содержит корень. В этом случае: $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$. Таким образом, одночлен $2ab$ все равно будет включать корень (если $a$ или $b$ содержит корень).
   • Рассмотрим это на нашем примере.
     • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}$
   • Вы видите, что в знаменателе нельзя избавиться от одночлена $4{\sqrt {2}}$.
2. 
   2
   Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе. Сопряженный бином — это бином с теми же одночленным, но с обратным знаком между ними. Например, бином $2+{\sqrt {2}}$ сопряжен двучлену $2-{\sqrt {2}}.$

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$
   • Уясните смысл этого метода. Опять рассмотрим дробь ${\frac {1}{a+b}}$. Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$. Таким образом, нет одночленов, которые содержат корни. Так как одночлены $a$ и $b$ возводятся в квадрат, корни будут ликвидированы.
3. 
   3
   Упростите дробь (если возможно). Если в числителе и знаменателе присутствует общий множитель, сократите его. В нашем случае 4 - 2 = 2, что можно использовать для сокращения дроби.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}$
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

Обратное выражение

Загрузить PDF

1. 
   1
   Изучите задачу. Если нужно найти выражение, обратное данному, которое содержит корень, придется рационализировать полученную дробь (и только потом упрощать ее). В этом случае используйте метод, описанный в первом или втором разделах (в зависимости от задачи).

   • $2-{\sqrt {3}}$
2. 
   2
   Запишите обратное выражение. Для этого разделите 1 на данное выражение; если дана дробь, поменяйте местами числитель и знаменатель. Помните, что любое выражение является дробью, в знаменателе которой находится 1.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$
3. 
   3
   Умножьте числитель и знаменатель на некоторое выражение, чтобы избавиться от корня. Умножая числитель и знаменатель на одно и то же выражение, вы умножаете дробь на 1, то есть значение дроби не меняется. В нашем примере дан бином, поэтому умножьте числитель и знаменатель на сопряженный двучлен.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$
4. 
   4
   Упростите дробь (если возможно). В нашем примере 4 - 3 = 1, так что выражение в знаменателе дроби можно сократить полностью.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}$
   • В ответе получился бином, сопряженный данному биному. Это просто совпадение.
   Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

Кубический корень в знаменателе

Загрузить PDF

1. 
   1
   Изучите дробь. В задаче могут встретиться кубические корни, хотя это довольно редко. Описанный метод применим к корням любой степени.

   • ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}$
2. 
   2
   Перепишите корень в виде степени. Здесь нельзя умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен или выражение, потому что рационализация осуществляется немного по-другому.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}$
3. 
   3
   Умножьте числитель и знаменатель дроби на некоторую степень, чтобы показатель степени в знаменателе стал равен 1. В нашем примере умножьте дробь на ${\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$. Помните, что при умножении степеней их показатели складываются: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$
   • Этот метод применим к любым корням степени n. Если дана дробь ${\frac {1}{a^{1/n}}}$, умножьте числитель и знаменатель на $a^{1-{\frac {1}{n}}}$. Таким образом, показатель степени в знаменателе станет равным 1.
4. 
   4
   Упростите дробь (если возможно).

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}$
   • Если нужно, в ответе запишите корень. В нашем примере показатель степени разложите на два множителя: $1/3$ и $2$.
     • $3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}$
   Реклама