Cómo racionalizar el denominador

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En este artículo:

Racionalizar un denominador de un solo término (monomio)

Racionalizar un denominador de dos términos (binomio)

Trabajar con recíprocos

Racionalizar denominadores con una raíz cúbica

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Por convención, los radicales o números irracionales siempre deben eliminarse del denominador (la parte de abajo de la fracción). Cuando hay un radical en el denominador, debes multiplicar la fracción por un término o un conjunto de términos que hagan desaparecer esa expresión radical. Si bien el uso de calculadoras hace que la racionalización de fracciones sea una técnica anticuada, algunos profesores siguen evaluando este tema en clases.

Pasos

Parte 1

Parte 1 de 4:

Racionalizar un denominador de un solo término (monomio)

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   Observa la fracción. La fracción solo puede estar escrita correctamente si no hay radicales en el denominador. Si el denominador contiene el signo de raíz cuadrada (o cualquier otro radical), debes multiplicar tanto la parte de arriba como la de debajo de la fracción por un número que haga desaparecer ese radical. Ten en cuenta que el numerador sí puede contener radicales. No te preocupes por el numerador.

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$
   • En esta expresión se puede ver una ${\sqrt {7}}$ en el denominador.
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   Multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador. Las fracciones que tienen solo un monomio en el denominador son las más fáciles de racionalizar. Tanto la parte de arriba como la de abajo deben multiplicarse por el mismo número. Al hacer esto, en realidad estás multiplicando la fracción por 1.

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
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   Simplifica la expresión según sea necesario. Ahora la fracción quedará racionalizada.

   • ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}$
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Parte 2

Parte 2 de 4:

Racionalizar un denominador de dos términos (binomio)

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   Observa la fracción. Si el denominador de la fracción está formado por la suma de dos términos y al menos uno de los dos es irracional, entonces no puedes multiplicar la fracción por ese término en el numerador y el denominador.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$
   • Para ver por qué ocurre esto, escribe una fracción cualquiera ${\frac {1}{a+b}}$, donde $a$ y $b$ sean irracionales. La expresión $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ contiene un término combinado $2ab$. Si al menos uno de los términos ($a$ o $b$) es irracional, entonces el término combinado también tendrá un radical.
   • Observa cómo quedaría el ejemplo anterior.
     • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}$
   • Como puedes ver, no hay forma de deshacerse del $4{\sqrt {2}}$ del denominador después de hacer esto.
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   Multiplica la fracción por el conjugado del denominador. El conjugado de una expresión es la misma expresión, pero con el signo invertido. Por ejemplo, el conjugado de $2+{\sqrt {2}}$ es $2-{\sqrt {2}}$.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$
   • ¿Cómo funciona el conjugado? Si tomas una fracción arbitraria como la anterior ${\frac {1}{a+b}},$ y multiplicas el numerador y el denominador por el conjugado, obtendrás como denominador $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$. La clave es que ahora no hay ningún término combinado. Como ambos términos se elevan al cuadrado, desaparecen todas las raíces cuadradas.
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   Simplifica según sea necesario.

   • ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}$
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Parte 3

Parte 3 de 4:

Trabajar con recíprocos

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   Analiza el problema. Si te piden que escribas el recíproco de un conjunto de términos que contienen expresiones radicales, tendrás que racionalizar antes de simplificar. Utiliza este método para denominadores de uno o dos términos dependiendo de cuál se aplique al caso.

   • $2-{\sqrt {3}}$
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   Escribe el recíproco de la forma en la que aparecería normalmente. El recíproco se obtiene invirtiendo la fracción. La expresión $2-{\sqrt {3}}$ en realidad es una fracción. Solo que se divide por 1.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$
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   Multiplícala por una expresión que te permita deshacerte del radical de la parte de abajo. Recuerda que en realidad vas a multiplicarla por 1, así que tienes que multiplicar tanto el numerador como el denominador. El ejemplo anterior es un binomio, así que en este caso debes multiplicar la parte de arriba y la de abajo por el conjugado.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$
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   Simplifica según sea necesario.

   • ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}$
   • No confundas recíproco con conjugado: no es lo mismo. En este caso es simplemente una coincidencia.
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Parte 4

Parte 4 de 4:

Racionalizar denominadores con una raíz cúbica

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   Observa la fracción. También pueden aparecer raíces cúbicas en el denominador en algún momento, aunque no es muy común. Este método también sirve para deshacerse de raíces de cualquier índice.

   • ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}$
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   Reescribe el denominador en términos de exponentes. En este caso, encontrar una expresión para racionalizar el denominador será un poco diferente ya que no puedes simplemente multiplicar por el radical.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}$
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   Multiplica la parte de arriba y la de abajo por alguna expresión que transforme el exponente del denominador en 1. En este caso, se trata de una raíz cúbica así que debes multiplicarla por ${\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}.$. Recuerda que los exponentes transforman un problema de multiplicación en un problema de suma, debido a la propiedad $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}$
   • Esta propiedad se puede generalizar a las n-ésimas raíces del denominador. Si tienes ${\frac {1}{a^{1/n}}},$, multiplica la parte de arriba y la de abajo por $a^{1-{\frac {1}{n}}}$. Esto transformará el exponente del denominador en 1.
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   Simplifica según sea necesario.

   • ${\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}$
   • Si tienes que escribirla en forma radical, factoriza el $1/3$.
     • $3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}$
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