Como Normalizar um Vetor

O vetor é um objeto geométrico com direção e tamanho. Ele pode ser representado na forma de um segmento de linha com um ponto inicial em uma extremidade e uma seta na outra, de modo que o comprimento do segmento de linha representa o tamanho do vetor e a seta representa sua direção. A normalização vetorial é um exercício comum na matemática, além de ter aplicações práticas na computação gráfica.

Método 1

Método 1 de 5:

Definindo termos

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O vetor unitário de um vetor $A$ é aquele que possui mesmo ponto inicial e direção de $A$ , mas com comprimento igual a $1$ unidade. É possível provar matematicamente que há um e apenas um vetor unitário para cada vetor $A$ dado.^{[1]XFonte de pesquisa}
Este é o processo para identificar o vetor unitário para um vetor $A$ dado.^{[2]XFonte de pesquisa}
O vetor ligado em um espaço cartesiano tem seu ponto inicial na origem do sistema de coordenadas, expresso como $(0,0)$ em duas dimensões. Isso permite que você identifique um vetor puramente em termos de seu ponto terminal.
Ao se restringir aos vetores ligados, $A=(x,y)$ , no qual o par ordenado $(x,y)$ indica o local do ponto terminal do vetor $A$ .
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Método 2

Método 2 de 5:

Analise o objetivo

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A partir da definição do vetor unitário, sabemos que seu ponto e sua direção iniciais serão os mesmos de um dado vetor $A$ . Além disso, sabe-se que o comprimento de um vetor unitário equivale a $1$ .^{[3]XFonte de pesquisa}
A única variável que precisa ser calculada é o ponto terminal do vetor unitário.
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Método 3

Método 3 de 5:

Derive uma solução para o vetor unitário

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Determine o ponto terminal do vetor unitário para o vetor $A=(x,y)$ . A partir da proporcionalidade dos triângulos, é possível estabelecer que qualquer vetor com a mesma direção do vetor $A$ terá um ponto terminal $({\frac {x}{c}},{\frac {y}{c}})$ para um dado $c$ . Além disso, você já sabe que o comprimento do vetor unitário equivale a $1$ . Logo, usando-se o teorema de Pitágoras, tem-se que:

${\sqrt {{\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}}}=1$
${\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{c^{2}}}}=1$
${\frac {\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}{c}}=1$
$c={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

^{[4]XFonte de pesquisa}
Logo, o vetor unitário $u$ do vetor $A=(x,y)$ será dado como:
$u=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)$

Método 4

Método 4 de 5:

Normalize um vetor em um espaço bidimensional

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Que o vetor $A$ dado seja um vetor com ponto inicial na origem e ponto terminal em $(2,3)$ , de modo que $A=(2,3)$ . Calcule o vetor unitário $u=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)$ :

$u=\left({\frac {2}{\sqrt {2^{2}+3^{2}}}},{\frac {3}{\sqrt {2^{2}+3^{2}}}}\right)$
$u=\left({\frac {2}{\sqrt {13}}},{\frac {3}{\sqrt {13}}}\right)$
Logo, $A=(2,3)$ será normalizado como $u=\left({\frac {2}{\sqrt {13}}},{\frac {3}{\sqrt {13}}}\right)$ .

Método 5

Método 5 de 5:

Normalize um vetor em um espaço n-dimensional

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Generalize a equação para uma normalização vetorial em um espaço de qualquer dimensão. Um vetor $A=(a,b,c,\ldots )$ terá vetor unitário $u=({\frac {a}{z}},{\frac {b}{z}},{\frac {c}{z}},\ldots )$ , onde $z={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+\ldots }}$ ^{[5]XFonte de pesquisa}