Como Encontrar o Vértice

Há diversas funções matemáticas que utilizam vértices. Poliedros as têm, sistemas de desigualdades podem ter uma ou mais vértices, e parábolas ou equações quadráticas também as podem ter. Encontrar o vértice varia de acordo com a situação, mas aqui estão as diretrizes que você deve conhecer em cada cenário.

Método 1

Método 1 de 5:

Descobrindo o Número de Vértices em um Polígono

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1
Aprenda a fórmula de Euler. A fórmula de Euler, como usada em referência a geometria e gráficos, afirma que, para qualquer poliedro sem intersecção, o número de faces mais o número de vértices, menos o número de arestas, sempre será igual a 2.^{[1]XFonte de pesquisa}
- Escrita como equação, a fórmula pode ser definida como: F + V - E = 2
  - F se refere ao número de faces.
  - V se refere ao número de vértices, ou cantos.
  - E se refere ao número de arestas.
2
Rearranje a fórmula para descobrir o número de vértices. Se você sabe quantas faces e arestas um poliedro tem, é possível rapidamente contar o número de vértices utilizando-se a fórmula de Euler. Subtraia F de ambos os lados da equação e adicione E a ambos, isolando V no outro
- V = 2 - F + E
3
Insira os números e resolva a equação. Tudo o que você precisa fazer a esse ponto é colocar os números de lados e de arestas na equação antes de adicionar ou subtrair. A resposta obtida lhe dirá o número de vértices e completará o problema.
- Exemplo: Um poliedro tem 6 faces e 12 arestas.
  - V = 2 - F + E
  - V = 2 - 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8
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Método 2

Método 2 de 5:

Descobrindo Vértices em Sistemas de Desigualdades Lineares

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1
Grafique as soluções do sistema de desigualdades lineares. Em alguns casos, graficar as soluções de todas as desigualdades lhe pode mostrar visualmente onde alguns, se não todos, os vértices estarão. No entanto, quando isso não acontecer, você precisará encontrá-lo algebricamente.
- Se você estiver usando uma calculadora de gráficos, é normalmente possível rolar até os vértices e encontrar as coordenadas dessa maneira.
2
Transforme as desigualdades em equações. Para resolver o sistema de desigualdades, será preciso transformar temporariamente as desigualdades em equações, permitindo-lhe a habilidade de encontrar os valores de x e y.
- Exemplo: No seguinte sistema de desigualdades:
  - y < x
  - y > -x + 4
- Transforme as desigualdades em:
  - y = x
  - y = -x + 4
3
Substitua uma variável pela outra. Embora haja algumas formas diferentes com as quais você pode resolver para x e y, a substituição é frequentemente a mais fácil de usar. Insira o valor de y de uma equação na outra, efetivamente "substituindo" y na outra com os valores x adicionais.
- Exemplo: Se:
  - y = x
  - y = -x + 4
- Então, y = -x + 4 pode ser escrito como:
  - x = -x + 4
4
Resolva para a primeira variável. Agora que você tem apenas uma variável na equação, pode facilmente resolver para essa variável, x, como o faria em qualquer outra: adicionando, subtraindo, dividindo e multiplicando.
- Exemplo: x = -x + 4
  - x + x = -x + x + 4
  - 2x = 4
  - 2x / 2 = 4 / 2
  - x = 2
5
Resolva para a variável restante. Insira o novo valor para x em uma das equações originais para encontrar o valor de y.
- Exemplo: y = x
  - y = 2
6
Determine o vértice. O vértice é, simplesmente, a coordenada que consiste em seus novos valores x e y.
- Exemplo: (2, 2)
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Método 3

Método 3 de 5:

Descobrindo o Vértice de uma Parábola com Eixos de Simetria

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1
Fatore a equação. Reescreva a equação quadrática em sua forma fatorada. Há diversas maneiras de se fatorar uma equação quadrática, mas, quando feita, restarão dois conjuntos em parênteses que, multiplicados, são iguais à equação original.
- Exemplo (através de decomposição):
  - 3x² - 6x - 45
  - Descubra o fator comum: 3 (x² - 2x - 15)
  - Multiplique os termos a e c: 1 × -15 = -15
  - Encontre dois números com um produto igual a -15 e uma soma igual ao valor b, -2: 3 × -5 = -15; 3 - 5 = -2
  - Substitua os dois valores na equação: ax² + kx + hx + c: 3 (x² + 3x - 5x - 15)
  - Fatore o polinômio por agrupamento: f(x) = 3 × (x + 3) × (x - 5)
2
Encontre o ponto no qual a equação cruza o eixo x.^{[2]XFonte de pesquisa} Sempre que a função de x, ou f(x), for igual a 0, a parábola cruzará o eixo x. Isso ocorrerá quando qualquer dos conjuntos de fatores for igual a 0.
- Exemplo: x + 3; -3 + 3 = 0
  - x - 5; 5 - 5 = 0
  - Logo, as raízes são: (-3, 0) e (5, 0)
3
Calcule o ponto médio. O eixo de simetria da equação estará diretamente entre as duas raízes da equação. Você precisará descobrir o eixo de simetria, já que o vértice está sobre ele.
- Exemplo: x = 1; esse valor está diretamente entre -3 e 5
4
Coloque o valor de x na equação original. Coloque o valor de x para o eixo de simetria em qualquer das equações para a parábola. O valor y será o valor y para o vértice.
- Exemplo: y = 3x² - 6x - 45 = 3(1)² - 6(1) - 45 = -48
5
Escreva o ponto vértice. A essa altura, os últimos valores para x e y lhe devem dar as coordenadas do vértice.
- Exemplo: (1, -48)
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Método 4

Método 4 de 5:

Descobrindo o Vértice de uma Parábola Completando o Quadrado

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1
Reescreva a equação original em sua forma de vértice.^{[3]XFonte de pesquisa} A forma de "vértice" de uma equação é escrita como y = a (x - h)² + k, e o ponto vértice será (h, k). A sua equação quadrática atual deverá ser reescrita nessa forma e, para fazê-lo, é preciso completar o quadrado.
- Exemplo: y = -x² - 8x - 15
2
Isole o valor a. Fatore o coeficiente do primeiro termo, a, a partir dos primeiros dois termos da equação. Deixe o termo final, c, por agora.
- Exemplo: -1 (x² + 8x) - 15
3
Encontre um terceiro termo para os parênteses. O terceiro termo deve completar o conjunto nos parênteses de modo que os valores entre eles formem um quadrado perfeito. Esse novo termo será o valor quadrático de metade do coeficiente do termo central.
- Exemplo: 8 / 2 = 4; 4 × 4 = 16; logo,
  - -1 (x² + 8x + 16)
- Ainda, lembre-se que, o que você faz internamente, deve ser feito externamente:
  - y = -1 (x² + 8x + 16) - 15 + 16
4
Simplifique a equação. Uma vez que os parênteses formam agora um quadrado perfeito, você pode simplificar a porção parentética à forma fatorada. Simultaneamente, é possível realizar adições ou subtrações necessárias aos valores externos aos parênteses.
- Exemplo: y = -1 (x + 4)² + 1
5
Descubra quais coordenadas estão baseadas na equação de vértice. Lembre-se que a forma de vértice de uma equação é dada por y = a (x - h)² + k, com (h, k) representando as coordenadas do vértice. Você agora tem informações suficientes para inserir os valores nos espaços h e k e completar o problema.
- k = 1
- h = -4
- Logo, o vértice dessa equação pode ser encontrado em: (-4, 1)
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Método 5

Método 5 de 5:

Descobrindo o Vértice de uma Parábola com uma Simples Fórmula

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1
Encontre a coordenada x do vértice diretamente. Se a equação de sua parábola pode ser escrita como y = ax² + bx + c, o x do vértice pode ser descoberto através da fórmula x = -b / 2a. Simplesmente insira os valores a e b a partir da equação, para encontrar x.
- Exemplo: y = -x² - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8) / 2 × (-1) = 8 / (-2) = -4
- x = -4
2
Insira esse valor na equação original. Ao inserir o valor de x na equação, será possível resolver para y. Esse valor y será a coordenada y de seu vértice.
- Exemplo: y = -x² - 8x - 15 = -(-4)² - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
  - y = 1
3
Escreva as coordenadas do vértice. Os valores x e y obtidos serão as coordenadas de seu ponto vértice.
- Exemplo: (-4, 1)
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