Как найти вершину

В математике существует ряд задач, в которых требуется найти вершину. Например, вершину многогранника, вершину или несколько вершин области системы неравенств, вершину параболы или квадратного уравнения. Эта статья расскажет вам, как найти вершину в разных задачах.

Метод 1

Метод 1 из 5:

Поиск числа вершин многогранника

Загрузить PDF

1
Теорема Эйлера. Теорема утверждает, что в любом многограннике число его вершин плюс число его граней минус число его ребер всегда равно двум.^{[1]XИсточник информации}
- Формула, описывающая теорему Эйлера: F + V - E = 2
  - F - число граней.
  - V - число вершин.
  - E - число ребер.
2
Перепишите формулу, чтобы найти число вершин. Если вам дано число граней и число ребер многогранника, вы можете быстро найти число его вершин с помощью формулы Эйлера.
- V = 2 - F + E
3
Подставьте данные вам значения в эту формулу. В результате вы получите число вершин многогранника.
- Пример: найдите число вершин многогранника, у которого 6 граней и 12 ребер.
  - V = 2 - F + E
  - V = 2 - 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 5:

Поиск вершины области системы линейных неравенств^{[2]XИсточник информации}

Загрузить PDF

1
Постройте график решения (области) системы линейных неравенств. В определенных случаях на графике можно увидеть некоторые или все вершины области системы линейных неравенств. В противном случае вам придется найти вершину алгебраически.
- При использовании графического калькулятора вы можете посмотреть весь график и найти координаты вершин.
2
Преобразуйте неравенства в уравнения. Для того, чтобы решить систему неравенств (то есть найти «х» и «у»), вам необходимо вместо знаков неравенства поставить знак «равно».
- Пример: дана система неравенств:
  - у < х
  - у> - х + 4
- Преобразуйте неравенства в уравнения:
  - у = х
  - у = - х + 4
3
Теперь выразите любую переменную в одном уравнении и подставьте ее в другое уравнение. В нашем примере подставьте значение «у» из первого уравнения во второе уравнение.
- Пример:
  - у = х
  - у = - х + 4
- Подставляем у = х в у = - х + 4:
  - х = - х + 4
4
Найдите одну из переменных. Сейчас у вас есть уравнение только с одной переменной «х», которую легко найти.
- Пример: х = - х + 4
  - х + х = 4
  - 2x = 4
  - 2x/2 = 4/2
  - х = 2
5
Найдите другую переменную. Подставьте найденное значение «х» в любое из уравнений и найдите значение «у».
- Пример: у = х
  - у = 2
6
Найдите вершину. Вершина имеет координаты, равные найденным значениям «х» и «у».
- Пример: вершина области данной системы неравенств есть точка О(2,2).
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 5:

Поиск вершины параболы через ось симметрии

Загрузить PDF

1
Разложите уравнение на множители. Есть несколько способов разложения квадратного уравнения на множители. В результате разложения вы получаете два двучлена, которые при перемножении приведут к исходному уравнению.
- Пример: дано квадратное уравнение
  - 3x2 - 6x - 45
  - Сначала вынесите за скобку общий множитель: 3(x2 - 2x - 15)
  - Перемножьте коэффициенты «а» и «с»: 1 * (-15) = -15.
  - Найдите два числа, результат умножения которых равен -15, а их сумма равна коэффициенту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2.
  - Подставьте найденные значения в уравнение ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15).
  - Разложите исходное уравнение: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2
Найдите точку (точки), в которой график функции (в данном случае парабола) пересекает ось абсцисс.^{[3]XИсточник информации} График пересекает ось Х при f(x) = 0.
- Пример: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
  - х +3 = 0
  - х - 5 = 0
  - х = -3; х = 5
  - Таким образом, корни уравнения (или точки пересечения с осью Х): А(-3, 0 ) и В(5, 0)
3
Найдите ось симметрии. Ось симметрии функции проходит через точку, лежащую посередине между двумя корнями. При этом вершина лежит на оси симметрии.
- Пример: х = 1; это значение лежит посередине между -3 и +5.
4
Подставьте значение «х» в исходное уравнение и найдите значение «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
- Пример: у = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
5
Запишите ответ.
- Пример: вершина данного квадратного уравнения есть точка О(1,-48)
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 5:

Поиск вершины параболы через дополнение до полного квадрата

Загрузить PDF

1
Перепишите исходное уравнение в виде^{[4]XИсточник информации}: y = a(x - h)^2 + k, при этом вершина лежит в точке с координатами (h,k). Для этого нужно дополнить исходное квадратное уравнение до полного квадрата.
- Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
2
Рассмотрите первые два члена. Вынесите за скобку коэффициент первого члена (при этом свободный член игнорируется).
- Пример: -1(х^2 + 8x) - 15.
3
Разложите свободный член (-15) на два числа так, чтобы одно из них дополнило выражение в скобках до полного квадрата. Одно из чисел должно быть равно квадрату половины коэффициента второго члена (из выражения в скобках).
- Пример: 8/2 = 4; 4*4 = 16; поэтому
  - -1(х^2 + 8x + 16)
  - -15 = -16 + 1
  - у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1
4
Упростите уравнение. Так как выражение в скобках есть полный квадрат, можно переписать это уравнение в следующем виде (если необходимо, проведите операции сложения или вычитания за скобками):
- Пример: у = -1(х + 4)^2 + 1
5
Найдите координаты вершины. Напомним, что координаты вершины функции вида y = a(x - h)^2 + k равны (h,k).
- k = 1
- h = -4
- Таким образом, вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
Реклама

Метод 5

Метод 5 из 5:

Поиск вершины параболы по простой формуле

Загрузить PDF

1
Найдите координату «х» по формуле: x = -b/2a (для функции вида y = ax^2 + bx + c). Подставьте значения «a» и «b» в формулу и найдите координату «х».
- Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
- х = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- х = -4
2
Подставьте найденное значение «х» в исходное уравнение. Таким образом вы найдете «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
- Пример: у = - х^2 - 8x - 15 = -(-4 )^2 - 8(-4) - 15 = -(16) -(-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
  - у = 1
3
Запишите ответ.
- Пример: вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
Реклама