Het zwaartepunt berekenen

Het centrum van de zwaartekracht (het massamiddelpunt) is het centrum van de gewichtsverdeling van een object -- het punt waar de zwaartekracht inwerkt op dat object. Dit is het punt waar het object zich in een perfecte balans bevindt, ongeacht hoe het object rond dat punt is gedraaid of draait. Als je wilt weten hoe je het zwaartepunt van een object kunt berekenen, dan heb je het gewicht nodig van het object, en van alle objecten die zich erop bevinden. Daarna bepaal je een nulpunt en verwerk je de bekende hoeveelheden in de vergelijking, voor de berekening van het zwaartepunt van een object of stelsel. Als je wilt weten hoe je het zwaartepunt kunt berekenen, volg dan onderstaande stappen.

Methode 1

Methode 1 van 4:

Bepaal het gewicht

Pdf downloaden

Bij het berekenen van het zwaartepunt, zal je eerst het gewicht van het object moeten achterhalen. Laten we zeggen dat je het gewicht van een wipwap met een massa van 30 kilo wilt berekenen. Aangezien het gaat om een symmetrisch object zal het zwaartepunt ervan zich precies in het midden bevinden (als er niemand op zit). Maar als op de wip mensen zitten met verschillende massa's, dan wordt het probleem wat ingewikkelder.^[1]XBron
Voor het bepalen van het zwaartepunt van de wip met twee kinderen erop, zal je het afzonderlijke gewicht van elk kind moeten bepalen. Het eerste kind heeft een massa van 40 kilo en het tweede kind is 60 kilo.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 4:

Bepaald het nulpunt

Pdf downloaden

Het nulpunt is een willekeurig startpunt aan een kant van de wip. Je kunt het nulpunt aan de ene kant van de wip plaatsen of aan de andere kant. Laten we zeggen dat de wip 6 meter lang is. Laten we het nulpunt aan de linkerkant van de wip plaatsen, dichtbij het eerste kind.
2
Meet de afstand van het nulpunt tot aan het midden van het belangrijkste object alsmede tot de twee extra gewichten. Laten we zeggen dat de kinderen elk 1 meter van elk uiteinde van de wip zitten. Het midden van de wip is het middelpunt van de wip, of 3 meter, omdat 6 meter gedeeld door 2 gelijk is aan 3. Hier volgen de afstanden vanaf het midden van het grootste object en de twee extra gewichten vormen het nulpunt:
- Centrum van de wip=4 meter van het nulpunt.
- Kind 1=1 meter verwijderd van het nulpunt
- Kind 2=5 meter verwijderd van het nulpunt
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 4:

Bepaal het zwaartepunt

Pdf downloaden

1
Vermenigvuldig de afstand van elk object tot aan het nulpunt met het gewicht om het moment te vinden. Dit geeft je het moment voor elk object. Hier volgt hoe je de afstand van elk object tot aan het nulpunt vermenigvuldigd met het gewicht:
- De wip: 30 kilo x 3 m=90 m*kg.
- Kind 1=40 kilo x 1 m=40 m*kg.
- Kind 2=60 kilo x 5 m=300 m*kg.
Gewoon het volgende berekenen: 90 m*kg + 40 m*kg + 300 m*kg=430 m*kg. Het totale moment is 430 m*kg.
Bepaal de som van de gewichten van de wip en de twee kinderen. Doe dit als volgt: 30 kilo + 40 kilo + 60 kilo=130 kilo.
4
Deel het totale moment door het totale gewicht. Hiermee krijg je de afstand van het nulpunt tot het zwaartepunt van het object. Dit door je door 430 m*kg te delen door 130 kilo.
- 430 m*kg ÷ 130 kilo=3,31 m
- Het zwaartepunt is 3,31 meter van het nulpunt, of gemeten vanaf het nulpunt is het 3,31 meter vanaf het einde van de linkerkant van de wip, waar het nulpunt werd geplaatst.
Advertentie

Methode 4

Methode 4 van 4:

Controleer je antwoord

Pdf downloaden

1
Zoek het zwaartepunt in het diagram. Als het centrum van de zwaartekracht die je hebt gevonden buiten het stelsel van de objecten ligt, dan heb je het verkeerde antwoord gevonden. Misschien heb je de afstand berekend van meer dan één punt. Probeer het opnieuw met slechts één nulpunt.
- Bijvoorbeeld: voor mensen die op de wip zitten moet het zwaartepunt ergens op de wip liggen, niet links of rechts van de wip. Het hoeft zich niet op een persoon te bevinden.
- Dit geldt ook bij problemen in twee dimensies. Teken een vierkant net groot genoeg om alle objecten in je probleem te passen. Het zwaartepunt moet binnen dit vierkant liggen.
Als je het ene uiteinde van het systeem als je nulpunt hebt gekozen, dan plaatst een klein antwoord het zwaartepunt direct naast één uiteinde. Dit kan het juiste antwoord zijn, maar het is vaak een aanwijzing dat er iets mis is gegaan. Heb je bij de berekening het gewicht en de afstand met elkaar vermenigvuldigd? Dat is de juiste manier om dit moment te vinden. Als je ze per ongeluk bij elkaar hebt opgeteld, dan zal je waarschijnlijk een veel kleiner antwoord krijgen.
Elk systeem heeft slechts een enkel zwaartepunt. Zijn het er meer, dan heb je misschien de stap overgeslagen waarbij je alle momenten bij elkaar moest optellen. Het zwaartepunt is het totale moment gedeeld door het totale gewicht. Je hoeft niet elk moment te delen door elk gewicht, waarmee je alleen maar de positie van elk object krijgt.
4
Controleer het nulpunt als je antwoord er een geheel getal naast zit. Het antwoord in ons voorbeeld is 3,31 m Stel dat je als antwoord 2,31 m, 4,31 m, of een ander getal hebt gekregen dat eindigt op '.31.' Dit komt waarschijnlijk omdat we het linker uiteinde van de wip als nulpunt hebben gekozen, terwijl jij het rechter uiteinde of een ander punt op een afstand van een geheel getal tot ons nulpunt hebt gekozen. Je antwoord klopt wel, ongeacht het nulpunt dat je kiest! Je hoeft alleen te onthouden dat het nulpunt altijd staat voor x=0. Hier is een voorbeeld:
- De manier waarop we het hebben opgelost, bevindt het nulpunt zich aan de linkerkant van de wip. Ons antwoord is 3,31 m, dus onze massamiddelpunt is 3,31 m van het nulpunt aan de linkerkant.
- Kies je een nieuw nulpunt, 1 m vanaf de linkerkant kiest, dan krijg je als antwoord 2,31 m van het massamiddelpunt. Het massamiddelpunt is 2,31 m vanaf het nieuwe nulpunt, oftewel 1 m vanaf de linkerkant. Het massamiddelpunt is 2,31 + 1=3,31 m vanaf de linkerkant, en daarmee hetzelfde antwoord als we hiervoor hadden berekend.
- (Opmerking: bij het meten van afstand, vergeet niet dat afstanden links van het nulpunt negatief zijn, en afstanden rechts ervan positief.)
5
Verzeker je ervan dat al je metingen rechte lijnen zijn. Stel dat je een ander voorbeeld met 'kinderen op een wipwap' ziet, maar het ene kind is veel groter dan het andere, of een jongen hangt onder de wip, in plaats van erop te zitten. Negeer het verschil en neem al je maten langs de rechte lijn van de wip. Het meten van afstanden in een hoek zal antwoorden opleveren die wel in de buurt komen, maar net afwijken.
- Bij wipwap-opgaven is het enige dat van belang is waar het zwaartepunt zich van links naar rechts langs de lijn van de wip bevindt. Later leer je wellicht meer geavanceerdere manieren voor het berekenen van het zwaartepunt in twee dimensies.
Advertentie

Tips

Om de afstand te bepalen waarover een persoon zich moet verplaatsen om de wip op het steunpunt te laten balanceren gebruik je deze formule: (verplaatst gewicht) / (totale gewicht)=(afstand waarover zwaartepunt is verplaatst) / (afstand waarover gewicht is verplaatst ). Deze formule kan worden herschreven om aan te tonen dat de afstand die het gewicht (de persoon) moet worden verplaatst gelijk is aan de afstand tussen het zwaartepunt en het steunpunt, maal het gewicht van de persoon gedeeld over het totale gewicht. Dus moet het eerste kind -1,31 m *40 kilo / 130 kilo=-0.40 m verplaatsen (naar het uiteinde van de wipwap). Of moet het tweede kind zich -1.08 m *130 kilo / 60 kilo=-2.84 m verplaatsen. (naar het midden van de wipwap).
Om het zwaartepunt van een twee dimensionale object te vinden, gebruik je de formule Xcg=∑xW/∑W voor het vinden van het zwaartepunt langs de x-as, en Ycg=∑yW/∑W om het zwaartepunt langs de y-as te vinden. Het punt waarop ze elkaar snijden is het zwaartepunt.
De definitie van het zwaartepunt van een algemene massaverdeling is (∫ r dW/∫ dW) waarbij dW gelijk is aan de afgeleide van het gewicht, r de plaatsvector, en waarbij de integralen moeten worden geïnterpreteerd als Stieltjesintegralen over het gehele lichaam. Ze kunnen echter worden uitgedrukt als meer conventionele Riemann of Lebesgue-volume integralen voor distributies met een kansdichtheidsfunctie. Beginnend met deze definitie kunnen alle eigenschappen van het zwaartepunt, met inbegrip van de eigenschappen die in dit artikel zijn gebruikt, worden afgeleid uit de eigenschappen van Stieltjesintegralen.

Advertentie

Waarschuwingen

Probeer niet blindelings deze mechanica toe te passen zonder inzicht in de theorie te hebben, wat dat kan tot fouten leiden. Probeer eerst de achterliggende wetten/theorieën te begrijpen.

Advertentie