Cara Melakukan Pembuktian Matematika

Unduh PDF

Unduh PDF

Dalam Artikel Ini:

Memahami Soal

Pemformatan Bukti Matematika

Menulis Pembuktian

Tip dan Peringatan

Artikel Terkait

Referensi

Pembuktian matematika mungkin sulit dilakukan, tetapi ini bisa diatasi dengan latar belakang pengetahuan yang tepat dalam bidang matematika dan format pembuktian. Sayangnya, tidak ada cara cepat dan mudah untuk belajar cara membuat pembuktian. Anda harus memiliki dasar yang kuat dalam subjek yang dikerjakan, berikut teorema dan definisi yang sesuai untuk merancang pembuktian secara logis. Dengan membaca contoh-contoh pembuktian matematika dan mempraktikkannya sendiri, Anda akan mampu mengembangkan keahlian dalam menulis bukti matematika.

Langkah

Metode 1

Metode 1 dari 3:

Memahami Soal

Unduh PDF

1. 
   1
   Identifikasi pertanyaannya. Anda harus menentukan secara tepat apa yang sedang dibuktikan. Pertanyaan ini juga berfungsi sebagai pernyataan akhir dalam bukti matematka. Pada langkah ini, definisikan berbagai asumsi yang akan dikerjakan. Mengidentifikasi pertanyaan dan asumsi-asumsi yang diperlukan akan menjadi titik awal untuk memahami soal dan mengerjakan bukti matematikanya.
2. 
   2
   Buat diagram. Ketika Anda mencoba untuk memahami pengerjaan soal matematika, terkadang cara termudah adalah dengan menggambar diagram untuk memperjelas apa yang sedang terjadi. Secara khusus, diagram penting untuk pembuktian geometri. Dalam hal ini, diagram akan memvisualisasikan sesuatu yang Anda coba buktikan.

   • Gunakan informasi yang diberikan dalam soal untuk membuat sketsa bukti. Beri label pada hal-hal yang diketahui dan tidak diketahui.
   • Sambil mengerjakan bukti, kumpulkan informasi penting yang bisa menjadi fakta untuk pembuktian.
3. 
   3
   Pelajari berbagai teorema yang terkait dengan pembuktian. Belajar menulis pembuktian cukup sulit dilakukan, tetapi salah satu cara yang dahsyat untuk belajar pembuktian adalah dengan mempelajari pelbagai teorema dan cara-cara membuktikannya.

   • Sadari bahwa suatu bukti matematika adalah sekadar argumentasi yang bagus dengan pembuktian pada tiap langkahnya . Banyak pembuktian yang bisa didapatkan dengan belajar daring atau dari buku teks.
4. 
   4
   Ajukan pertanyaan. Macet ketika melakukan pembuktian sama sekali bukan masalah. Jika ada pertanyaan, ajukan kepada guru atau rekan sekelas. Mungkin mereka menghadapi masalah yang sama dan Anda bisa bekerja sama untuk memecahkan persoalan tersebut. Lebih baik jika Anda bertanya dan mendapat penjelasan daripada terperangkap tanpa petunjuk ketika melakukan pembuktian.

   • Temui guru matematika di luar kelas untuk mendapatkan petunjuk tambahan.
   Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 3:

Pemformatan Bukti Matematika

Unduh PDF

1. 
   1
   Definisikan pembuktian matematika. Bukti matematika adalah serangkaian pernyataan logis yang didukung oleh berbagai teorema dan definisi yang membuktikan kebenaran pernyataan matematika lainnya. Pembuktian adalah satu-satunya cara untuk mengetahui validitas suatu pernyataan secara matematis.

   • Kemampuan menulis pembuktian matematika adalah indikasi adanya pemahaman mendasar terhadap soal dan semua konsep yang digunakan dalam soal.
   • Pembuktian juga memaksa Anda melihat matematika dengan sudut pandang yang baru dan menyenangkan. Sekadar mencoba membuktikan sesuatu akan memberikan Anda pengetahuan dan pemahaman. Bahkan jika pada akhirnya Anda gagal melakukan pembuktian.
2. 
   2
   Pahami audiens Anda. Sebelum mulai menulis bukti, Anda harus memikirkan audiens yang menjadi sasaran tulisan dan informasi yang sudah mereka ketahui. Menulis pembuktian matematika untuk suatu publikasi ilmiah akan berbeda dengan menulis untuk pelajaran matematika SMA.

   • Memahami audiens akan memungkinkan Anda untuk menulis pembktian dengan cara yang akan mereka pahami terkait latar belakang pengetahuan yang mereka miliki.
3. 
   3
   Identifikasi jenis pembuktian yang Anda tulis. Terdapat beberapa jenis pembuktian dan pilihan Anda akan tergantung pada audiens dan penugasan yang diberikan. Jika Anda tidak yakin tentang versi pembuktian yang digunakan, mintalah arahan pada guru. Di SMA, Anda tidak akan diminta menulis pembuktian formal.

   • Pembuktian dengan dua kolom adalah pengaturan yang menyediakan satu kolom untuk hal-hal yang diketahui dan pernyataan matematika, serta kolom di sebelahnya untuk bukti-bukti pendukung. Cara ini sangat umum digunakan dalam geometri.
   • Pembuktian formal menggunakan pernyataan yang benar secara tata bahasa dan tanpa simbol. Pada tingkat yang lebih tinggi, Anda selalu harus menggunakan pembuktian formal.
4. 
   4
   Tulis pembuktian dua kolom sebagai ikhtisar. Anda bisa menggunakan pembuktian dua kolom sebagai ikhtisar pembuktian formal sebelum menuliskannya. Pembuktian dua kolom adalah cara yang mudah untuk menata beragam pemikiran terkait soal yang dihadapi. Tarik garis ke bawah di tengah halaman, lalu tulis semua hal yang diketahui dan pernyataan-pernyataannya di sisi kiri. Tulis definisi/teorema pendukung yang sesuai di sisi kanan, di sebelah hal-hal yang diketahui.

   • Sebagai contoh:
   • Sudut A dan sudut B membentuk pasangan linear. Diketahui.
   • Sudut ABC lurus. Definisi sudut lurus.
   • Sudut ABC tepat 180°. Definisi garis.
   • Sudut A + Sudut B = sudut ABC. Postulat penjumlahan sudut.
   • Sudut A + Sudut B = 180°. Substitusi.
   • Sudut A berpelurus terhadap sudut B. Definisi sudut berpelurus.
   • Q.E.D.
5. 
   5
   Ubah pembuktian dua kolom ke pembuktian formal tertulis. Dengan menggunakan pembuktian dua kolom sebagai dasar, pembuktian Anda dalam bentuk paragraf formal tanpa terlalu banyak simbol dan singkatan.

   • Misalnya: Sudut A dan sudut B adalah pasangan linear. Secara hipotesis, sudut A dan sudut B adalah sudut berpelurus. Sudut A dan sudut B membentuk garis lurus karena keduanya adalah pasangan linear. Pasangan linear didefinisikan sebagai sudut 180°. Berdasarkan postulat penjumlahan sudut, sudut A dan sudut B jika dijumlahkan akan membentuk garis ABC. Dengan substitusi, jumlah sudut A dan sudut B adalah 180°, maka keduanya adalah sudut berpelurus. Q.E.D.
   Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 3:

Menulis Pembuktian

Unduh PDF

1. 
   1
   Pelajari kosakata pembuktian. Terdapat beberapa pernyataan dan frasa yang akan Anda lihat berkali-kali dalam pembuktian matematika. Berikut adalah beberapa frasa yang Anda harus mengakrabkan diri dengannya serta mengetahui cara menggunakannya dengan benar ketika menulis pembuktian matematika.

   • Pernyataan “Jika A, maka B” berarti Anda harus membuktikan bahwa ketika A benar, B juga harus benar.
   • “A jika dan hanya jika B” berarti Anda harus membuktikan bahwa A dan B benar sekaligus salah. Buktikan “jika A, maka B” dan “jika tidak A, maka tidak B”.
   • “A hanya jika B” sama dengan “jika A, maka B”, pernyataan ini tidak terlalu sering digunakan. Meskipun demikian, lebih baik Anda mengetahuinya karena mungkin saja yang semacam itu akan muncul.
   • Ketika menulis pembuktian, hindari penggunaan kata “saya”, gunakan “kami”.
2. 
   2
   Tulis semua yang diketahui. Ketika menulis pembuktian, langkah pertama adalah mengidentifikasi dan menulis semua yang diketahui. Inilah cara terbaik untuk memulai karena Anda akan terbantu untuk berpikir hal-hal yang diketahui dan informasi yang dibutuhkan untuk melengkapi pembuktiannya. Baca keseluruhan soal dan tulis semua yang diketahui.

   • Sebagai contoh: Buktikan bahwa dua sudut (sudut A dan sudut B) membentuk pasangan linear yang berpelurus.
   • Diketahui: sudut A dan sudut B adalah pasangan linear
   • Buktikan: sudut A berpelurus terhadap sudut B
3. 
   3
   Definisikan semua variabelnya. Selain menulis semua yang diketahui, Anda akan terbantu jika mendefinisikan semua variabelnya. Tulis definisi di awal pembuktian agar pembaca tidak bingung. Jika variabel tidak didefinisikan, pembaca bisa dengan mudah tersesat ketika mencoba memahami pembuktian Anda.

   • Jangan menggunakan variabel yang belum didefinisikan dalam pembuktian Anda.
   • Sebagai contoh: Variabelnya adalah ukuran sudut A dan ukuran sudut B.
4. 
   4
   Kerjakan pembuktian secara mundur. Sangat memudahkan jika soal dipikir secara mundur. Mulai dengan kesimpulan, sesuatu yang hendak dibuktikan, selanjutnya pikirkan langkah-langkah yang bisa membawa Anda ke permulaan.

   • Manipulasi langkah-langkahnya dari awal dan akhir, lihat apakah Anda bisa membuat keduanya tampak sama. Gunakan hal-hal yang diketahui, definisi yang sudah dipelajari, dan bukti-bukti yang serupa dengan yang sedang dikerjakan
   • Ajukan pertanyaan pada diri Anda sendiri sambil mengerjakan bukti. "Mengapa seperti ini?" dan "Apakah ini bisa salah?" adalah pertanyaan yang bagus untuk tiap pernyataan atau klaim.
   • Ingatlah untuk menulis ulang langkah-langkah pembuktian dalam urutan yang tepat untuk pembuktian akhir.
   • Sebagai contoh: Jika A dan B adalah sudut berpelurus, jumlah sudutnya adalah 180°. Kombinasi kedua sudut membentuk garis ABC. Anda tahu kedua sudut itu membentuk garis karena definisi pasangan linear. Karena sudut suatu garis adalah 180°, gunakan substitusi untuk membuktikan bahwa sudut A dan sudut B berjumlah 180°.
5. 
   5
   Urutkan langkah-langkah pembuktian secara logis. Mulai pembuktian dari awal dan kerjakan menuju arah kesimpulan. Meskipun cara berpikir pembuktian dengan memulai dari kesimpulan dan bekerja secara mundur cukup membantu, pada pembuktian sesungguhnya kesimpulan harus dinyatakan di akhir. Pembuktian harus mengalir dari satu pernyataan ke pernyataan yang lain, dengan pendukung untuk masing-masing pernyataan.

   • Mulailah dengan menyatakan asumsi yang sedang dikerjakan.
   • Buat langkah-langkah yang sederhana dan jelas agar pembaca tidak bertanya-tanya tentang perpindahan dari satu langkah ke langkah berikutnya.
   • Menulis lebih dari satu rancangan pembuktian bukanlah hal yang aneh. Teruslah melakukan pengaturan ulang sampai semua langkah berada dalam urutan yang paling logis.
   • Sebagai contoh: Mulailah dari awal.
     • Sudut A dan sudut B membentuk pasangan linear.
     • Sudut ABC lurus.
     • Sudut ABC berukuran 180°.
     • Sudut A + Sudut B = Sudut ABC.
     • Sudut A + Sudut B = Sudut 180°.
     • Sudut A berpelurus terhadap Sudut B.
6. 
   6
   Hindari penggunaan tanda panah dan singkatan dalam pembuktian tertulis. Ketika Anda merancang rencana untuk pembuktian, Anda bisa menggunakan tulisan cepat dan simbol. Akan tetapi, ketika menuliskan pembuktian akhir, simbol semacam tanda panah bisa membuat pembaca bingung. Alih-alih, gunakan kata-kata seperti “maka” atau “dengan demikian”.

   • Singkatan yang umum masih mungkin digunakan, dalam bahasa Inggris antara lain adalah e.g (misalnya) dan i.e (yakni). Akan tetapi, tetap saja berbagai singkatan harus digunakan dengan tepat.
7. 
   7
   Dukung semua pernyataan dengan teorema, hukum, atau definisi. Nilai suatu pembuktian tergantung pada bukti yang digunakan. Pernyataan tidak bisa disampaikan tanpa mendukungnya dengan definisi. Merujuklah ke pembuktian lain yang serupa dengan yang sedang dikerjakan untuk mendapat contoh bukti.

   • Coba terapkan pembuktian Anda pada kasus yang seharusnya gagal, dan perhatikan apa yang sebenarnya terjadi. Jika pembuktiannya tidak gagal, kerjakan lagi agar gagal.
   • Banyak pembuktian geometri yang ditulis sebagai pembuktian dua kolom, dengan pernyataan dan bukti. Pembuktian formal matematika untuk publikasi ilmiah ditulis sebagai paragraf dengan tata bahasa yang benar.
8. 
   8
   Akhiri dengan kesimpulan atau Q.E.D. Pernyataan terakhir suatu pembuktian adalah konsep yang sedang dibuktikan. Begitu Anda membuat pernyataan ini, akhiri pembuktiannya dengan simbol kesimpulan akhir seperti Q.E.D. atau kotak yang diarsir sebagai indikasi bahwa pembuktian telah selesai.

   • Q.E.D. (quod erat demonstrandum, merupakan bahasa Lartin yang berarti "yang sudah dibuktikan").
   • Jika Anda tidak yakin pembuktiannya benar, tulis beberapa kalimat yang menegaskan kesimpulan Anda dan nilai pentingnya.
   Iklan

Tips

• Semua informasi harus berhubungan atau menuju ke pembuktian akhir. Jika ada sesuatu yang tidak berkontribusi apa pun, Anda tidak perlu menuliskannya dalam pembuktian.

Iklan