Как делать математические доказательства

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Поймите условие задачи

Сформулируйте доказательство

Запишите доказательство

Дополнительные статьи

Источники

Нахождение математического доказательства может оказаться непростой задачей, но вам поможет знание математики и умение оформить доказательство. К сожалению, не существует быстрых и простых методов научиться решать математические задачи. Необходимо как следует изучить предмет и запомнить основные теоремы и определения, которые пригодятся вам при доказательстве того или иного математического постулата. Изучайте примеры математических доказательств и тренируйтесь сами — это поможет вам усовершенствовать свое мастерство.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

Поймите условие задачи

Загрузить PDF

1. 
   1
   Определите, что требуется найти. Первым делом необходимо выяснить, что именно следует доказать. Помимо прочего, этим будет определяться последнее утверждение в вашем доказательстве. На данном этапе следует также сделать определенные допущения, в рамках которых вы будете работать. Чтобы лучше понять задачу и приступить к ее решению, выясните, что требуется доказать, и сделайте необходимые предположения.
2. 
   2
   Сделайте рисунок. При решении математических задач иногда полезно изобразить их в виде рисунка или схемы. Это особенно важно в случае геометрических задач — рисунок помогает наглядно представить условие и значительно облегчает поиск решения.

   • При создании рисунка или схемы используйте приведенные в условии данные. Отметьте на рисунке известные и неизвестные величины.
   • Рисунок облегчит вам поиск доказательства.
3. 
   3
   Изучите доказательства схожих теорем. Если вам не удается сходу найти решение, найдите подобные теоремы и посмотрите, как они доказываются.

   • Учтите, что необходимо аргументировать каждый шаг доказательства. Посмотрите, как доказываются различные теоремы в интернете или учебниках по математике.
4. 
   4
   Задавайте вопросы. Ничего страшного, если вам не удастся сразу же найти доказательство. Если вам что-то неясно, спросите об этом учителя или одноклассников. Возможно, у ваших товарищей возникли те же вопросы, и вы сможете разобраться с ними вместе. Лучше задать несколько вопросов, чем вновь и вновь безуспешно пытаться найти доказательство.

   • Подойдите к учителю после уроков и выясните все неясные вопросы.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Сформулируйте доказательство

Загрузить PDF

1. 
   1
   Сформулируйте математическое доказательство. Математическим доказательством называют подкрепленную теоремами и определениями последовательность утверждений, которая доказывает какой-либо математический постулат. Доказательства являются единственным способом определить, что то или иное утверждение верно в математическом смысле.

   • Умение записать математическое доказательство свидетельствует о глубоком понимании задачи и владении необходимыми инструментами (леммами, теоремами и определениями).
   • Строгие доказательства помогут вам по-новому взглянуть на математику и почувствовать ее притягательную силу. Просто попробуйте доказать какое-либо утверждение, чтобы получить представление о математических методах.
2. 
   2
   Учтите свою аудиторию. Прежде чем приступить к записи доказательства, следует подумать о том, для кого оно предназначено, и учесть уровень знаний этих людей. Если вы записываете доказательство для дальнейшей публикации в научном журнале, оно будет отличаться от того случая, когда вы выполняете школьное задание.

   • Знание целевой аудитории позволит вам записать доказательство с учетом подготовки читателей, чтобы они поняли его.
3. 
   3
   Определите тип доказательства. Есть несколько видов математических доказательств, и выбор конкретной формы зависит от целевой аудитории и решаемой задачи. Если вы не знаете, какой вид выбрать, посоветуйтесь со своим учителем. В старших классах школы требуется оформлять доказательства в две колонки.

   • При записи доказательства в две колонки в одну заносят исходные данные и утверждения, а во вторую — соответствующие доказательства этих утверждений. Такую форму записи часто используют при решении геометрических задач.
   • При менее формальной записи доказательств используют грамматически правильные конструкции и меньшее количество символов. На более высоких уровнях следует применять именно эту запись.
4. 
   4
   Сделайте набросок доказательства в виде двух колонок. Такая форма помогает упорядочить мысли и последовательно решить задачу. Разделите страницу пополам вертикальной линией и запишите исходные данные и вытекающие из них утверждения в левой части. Справа напротив каждого утверждения запишите соответствующие определения и теоремы.

   • Например:
   • углы A и B являются смежными — дано;
   • угол ABC является развернутым — определение развернутого угла;
   • величина угла ABC составляет 180° — определение прямой линии;
   • угол A + угол B = угол ABC — правило сложения углов;
   • угол A + угол B = 180° — подстановка;
   • угол A является дополнительным к углу B — определение дополнительных углов;
   • что и требовалось доказать.
5. 
   5
   Запишите доказательство из двух колонок в виде неформального доказательства. Возьмите за основу запись в виде двух колонок и запишите доказательство в более краткой форме с меньшим количеством символов и сокращений.

   • Например: предположим, что углы А и В являются смежными. Согласно гипотезе, эти углы дополняют друг друга. Будучи смежными, угол A и угол B образуют прямую линию. Если стороны угла образуют прямую линию, такой угол равен 180°. Сложим углы A и B и получим прямую линию ABC. Таким образом, сумма углов A и B равна 180°, то есть эти углы являются дополнительными. Что и требовалось доказать.
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Запишите доказательство

Загрузить PDF

1. 
   1
   Освойте язык доказательств. Для записи математических доказательств используют стандартные утверждения и фразы. Необходимо выучить эти фразы и знать, как ими пользоваться.

   • Фраза “Если A, то B” означает, что если утверждение А верно, то должно быть верным и утверждение В.
   • “A тогда и только тогда, если B” означает, что утверждения A и B либо верны, либо неверны одновременно. Такая конструкция эквивалентна двум одновременным утверждениям: “Если A, то B” и “Если A не выполняется, то не выполняется и B”.
   • “A только если B” эквивалентно “Если В, то А”, поэтому такая конструкция встречается нечасто. Тем не менее необходимо помнить о ней.
   • При записи доказательств старайтесь вместо личного местоимения “я” использовать “мы”.
2. 
   2
   Запишите все исходные данные. При составлении доказательства первым делом следует определить и выписать все, что дано в задаче. В этом случае вы будете иметь перед глазами все исходные данные, на основании которых необходимо получить решение. Внимательно прочитайте условие задачи и выпишите все, что в нем дано.

   • Например: докажите, что два смежных угла (угол A и угол B) дополняют друг друга.
   • Дано: смежные углы A и B.
   • Доказать: угол A является дополнительным к углу B.
3. 
   3
   Определите все переменные. Помимо записи исходных данных полезно также выписать остальные переменные. Чтобы читателям было удобнее, запишите переменные в самом начале доказательства. Если переменные не определены, читатель может запутаться и не понять ваше доказательство.

   • Не используйте в ходе доказательства неопределенные ранее переменные.
   • Например: в рассмотренной выше задаче переменными являются величины углов A и B.
4. 
   4
   Попробуйте найти доказательство в обратном порядке. Многие задачи легче решать в обратной последовательности. Начните с того, что требуется доказать, и подумайте, как можно связать выводы с исходным условием.

   • Перечитайте начальные и конечные шаги и посмотрите, не похожи ли они друг на друга. Используйте при этом начальные условия, определения и похожие доказательства из других задач.
   • Задавайте самому себе вопросы и продвигайтесь вперед. Чтобы доказать отдельные утверждения, спрашивайте себя: “Почему это именно так?” — и: “Может ли это оказаться неправильным?”
   • Не забывайте последовательно записывать отдельные шаги, пока не получите конечный результат.
   • Например: если углы A и B являются дополнительными, их сумма должна составлять 180°. Согласно определению смежных углов, углы A и B образуют прямую линию ABC. Так как линия образует угол 180°, в сумме углы A и B дают 180°.
5. 
   5
   Расположите отдельные шаги доказательства так, чтобы оно было последовательным и логичным. Начните с самого начала и продвигайтесь к доказываемому тезису. Хотя иногда и полезно начать поиск доказательства с конца, при его записи необходимо соблюдать правильный порядок. Отдельные тезисы должны следовать один за другим, чтобы доказательство было логичным и не вызывало сомнений.

   • Для начала рассмотрите выдвинутые предположения.
   • Подтвердите сделанные утверждения простыми и очевидными шагами, чтобы у читателя не возникало сомнений в их правильности.
   • Иногда приходится не один раз переписывать доказательство. Продолжайте группировать утверждения и их доказательства до тех пор, пока не добьетесь наиболее логичного построения.
   • Например: начнем с начала.
     • Углы A и B являются смежными.
     • Стороны угла ABC образуют прямую линию.
     • Угол ABC составляет 180°.
     • Угол A + угол B = угол ABC.
     • Угол A + угол B = угол 180°.
     • Угол A является дополнительным к углу B.
6. 
   6
   Не используйте в доказательстве стрелочки и сокращения. При работе с черновым вариантом можно пользоваться различными сокращениями и символами, однако не включайте их в окончательный чистовой вариант, так как это может запутать читателей. Используйте вместо этого такие слова, как “следовательно” и “тогда”.

   • В качестве исключений допускаются понятные сокращения, например “т. е.” (то есть), однако используйте их должным образом.
7. 
   7
   Подтверждайте каждый тезис теоремой, законом или определением. Доказательство должно быть безупречным. Нельзя делать ничем не подкрепленных утверждений. Посмотрите, как строятся доказательства задач, схожих с вашей.

   • Попробуйте применить найденное доказательство к случаям, когда оно не должно выполняться, и посмотрите, так ли это. Если доказательство подходит и для таких случаев, проверьте, где вы допустили ошибку.
   • Часто доказательства геометрических задач записываются в виде двух колонок. Справа пишутся утверждения, а слева приводятся их доказательства. В то же время в публикациях математические доказательства оформляются в виде абзацев с соответствующей грамматикой.
8. 
   8
   Завершайте доказательства фразой “что и требовалось доказать”. В конце доказательства должен стоять доказываемый тезис. После него следует написать “что и требовалось доказать” (сокращенно “ч. т. д.” или символ в виде закрашенного квадрата) — это означает, что доказательство завершено.

   • На латыни фразе “что и требовалось доказать” соответствует аббревиатура Q.E.D. (quod erat demonstrandum, то есть “что и требовалось показать”).
   • Если вы сомневаетесь в правильности доказательства, просто напишите несколько фраз о том, к какому выводу вы пришли и почему он важен.
   Реклама

Советы

• Вся приводимая в доказательстве информация должна служить достижению поставленной цели. Не включайте в доказательство то, без чего можно обойтись.

Реклама